1. 引言
近年来,新Q型空间在经典调和分析和现代调和分析中扮演着重要的角色,作为经典函数空间
,
等空间的推广,被学者们广泛研究。早年间,
空间就被学者广泛研究,参见 [1] [2] [3] [4]。函数空间的对偶性问题很早就得到国内外学者的关注,许多经典空间的对偶空间也陆续建立起来。对偶结果提供了不同函数空间之间的联系,著名的结果Fefferman [5] 将BMO与实Hardy空间
的对偶联系起来,而Lipschitz空间与
空间是对偶的。2000年Essén-Janson-Peng-Xiao [6] 引入了
空间的定义及其基本性质。2004年Dafni-Xiao [7] 引入了一些帐篷空间,并将其用于解决分数阶Carleson测度和
空间的对偶性问题。2008年Yang-Yuan [8] 引入了一类新的函数空间
,统一和推广了Triebel-Lizorkin空间和
空间,通过建立
空间的Carleson测度刻画,确定了Triebel-Lizorkin空间与
空间之间的关系,从而回答了Dafni-Xiao [7] 提出的一个问题。
这些函数空间被广泛应用于研究流体力学中的基本方程例如不可压缩的Navier-Stokes方程、不可压缩磁流体力学方程,相关的研究进展参见文献 [9] [10] [11] [12]。
本文的目的是引入新帐篷空间,并用它们来解决新
型空间
的原子分解及其对偶问题。利用Hausdorff容量( [4] Definition4.0)的概念,我们将
定义一个前对偶空间,称之为“Hardy-Hausdorff”空间
,作为齐次Sobolev空间
的分布空间。
本文引入了一种新
型空间,定义如下:
定义1 令
,
。若
则称
属于
空间,其中
为
上平行于坐标轴的方体。
2.
的基本性质
在本节当中,我们给出
的一些基本性质,以及
空间的等价刻画如下:
引理1 令
,
。若
则
。
引理2 令
,
。
1) 设
和
为两常数对,其中
。若
,
,则
。
2) 若
,则
,其中
的定义为:
为
上平行于坐标轴的方体。
引理3 令
,
。
1) 若
,
,则
。
2) 令
,
。若
,则
。
引理4 任取
,则存在一个函数
使得以下条件成立:
1)
;
2)
是径向函数;
3)
;
4) 若
,则
,其中
;
5) 若
,则
。
定理1 令
为满足上述引理的一个函数,并且满足
,
,
。若函数
,则
是一个
Carleson测度。
证明 由
,则有
。根据Minkowski不等式和Fubini定理得:
其中C为任意常数。
定义2 令
且
,我们定义
为
上的全体Lebesgue可测函数
的类,且满足:
其中
为
上的球,
为球
上的帐篷,定义为:
。
下面我们定义帐篷空间的原子分解:
定义3 令
且
,在
上存在一个函数
,使得
支于帐篷
,且满足:
则称
为
上的
原子,其中
为
上的球。
下面我们引入
的对偶空间
:
定义4 令
且
,设
为
上的全体Lebesgue可测函数,且满足如下条件:
则称为
。其中,
为
上满足
的全体非负Borel可测函数。
引理5 若
,则
且
其中
为常数。
引理6 令
且
1) 若
,当且仅当存在一个
原子序列
和一个
序列使得
。更进一步,
,
等式右边定义了一个
空间上的范数,使得
空间成为Banach空间。
2) 若
,
,则不等式
成立。
3)
空间的Banach对偶可由
空间在如下条件:
成立,来等价定义。
3.
的前对偶空间
定义5 令
为满足引理4的一个函数,且
,
,满足如下条件:
的全体分布类
,我们称之为Hardy-Hausdorff空间,记作
。
定理2
是一个准范数,更确切来讲在这个范数下
是完备的。
证明 根据
的相应性质和
的线性,我们可得
是一个准范数。
设
是一个Cauchy列,由引理3和Calderon再生公式 [13] 可得
↪
。对任意
,
所以
在
上是一个Cauchy列。由完备性可知,在
空间中,
。故存在一个子列使得在
中,
且满足
,那么
且
。
定义6 令
且
,存在一缓增分布
支于方体
,且满足如下两个条件:
1) 对任意
,有
;
2) 对任意
,有
。
则称分布
为一个
原子。
定理3 令
且
,
上的缓增分布
当且仅当存在
原子
和
序列
,使得
在分布意义下成立。更确切地说,
证明 1) 充分性。对任意
,令
,其中
为常数,
为
的支集,
为
的中心。
所以,
令
,
且
。
假设
为
上
的支集,所以
因此,存在一个中心为
的半球覆盖
,由此可得
。
所以,
对
上的积分,有
且
。
因此,
易知
,所以
综上所述,
2) 必要性。假设
,则
,其中
定义为:
。
存在一个
,使得
且
其中
在
几乎处处成立。
设
,令
覆盖
,其中
,
有至多个不相交的内部。
令
,我们需证分布
使得当
时,
,当
时,
。
因此,
同样地,对于
和
,可得
综上所述,当
且
时,
。
所以,在分布意义下
,
支于
且满足
令
,
,
则
所以
为
原子。
由Cauchy-Schwarz不等式,可得
所以
。
任意
,
,
所以
,
。
另外,
所以在
上,
且
。这就完成了定理3的证明。
定理4 1)
上的一个非负可测函数
,满足条件
,若
成立,则称
是一个
原子。
2)
在
中是稠密的。
证明 1) 对任意
,
的定义与定理3相同,
,
,可得
,且
(1)
另外,
其中,
,
。
由Fourier变换,当
时,第一部分积分可得
当
,
时,
,
因此,
所以,
,且
。
另外,
由上式和
可得,当
时
所以,当
时,
。
2) 任取
,支集在球
上,且满足
。可知在
中,当
时,
。对
上的任意非负可测函数
,其满足条件
,可得
由1)可知当
足够大时,对任意
,存在一个
,使得
。
取下确界可得
,也就是在
中,
。
因此,对任意
,可以用原子的有限和来近似。这就完成了定理4的证明。
定理5 将算子
定义为
(2)
1) 算子
是从
到
的有界且满射算子。更确切地,若
,则(2)式右边积分收敛于一个函数
且
,任意
都可以这样表示。
2) 算子
最初定义为一个函数
,从
到
延拓为一个有界且满射算子。
在
上具有紧支集。
证明 1) 令
,定义
下证
。
令
,可得
在
上成立。
取方体
,
,对
,可得
所以,对于
,若
对于
,若
,由变量替换可得
其中,
。
由Fubinis定理可得
其中
,
。
对于
,令
,根据( [4], Theorem5.4)
下证
,参见( [9] Lemma3.17)。
对任意
,令
其中
,
是常数。
若
,则
。
由此可得,
所以
,则
由Hardy不等式可得
所以对每一
,
说明
,则
,即
,
。
2) 设
支于
,任意
,令
为
。
由Cauchy-Schwarz不等式和( [9] Lemma3.18)可得,对任意
其中
是球
的固定扩张。
因此,
。
另外,对
,有
因此
在
上成立。
这一分布支于
且
满足条件( [9] Definition3.13)中相同条件,所以
是一个
原子。
由( [9] Theorem3.9(ii))知在
中函数
和测试函数
,可得
因此
为
中的函数。
所以
且
。
这就完成了定理5的证明。
致谢
作者衷心感谢李澎涛教授对此课题的指导与建议。