1. 引言
Burgers方程由Bateman 1915年在研究流体运动时提出 [1]。浅水波以及一些物理系统中的波动过程可以归结为Burgers方程。一维Burgers方程精确解首先由Benton和Platzman得到 [2],因此,求解Burgers方程是科学或工程领域中的重要课题。一些作者用Chebyshev谱–Euler混合方法、高阶紧致有限体积、时空耦合谱元方法和迎风LDQ方法求解Burgers方程初边值问题 [3] [4] [5] [6]。由于时间和空间方向的误差阶不同,导致时间和空间方向的模数不平衡,这就会增加计算工作量,为克服这个局限性,有作者对发展型方程构造了时空谱方法 [7] [8]。最近,一些作者研究了以Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点的微分矩阵的一些性质 [9] [10],并用于求解常微分方程定解问题的数值解 [11] [12],特别有作者构造了KdV方程Cauchy问题的时空谱配置方法 [13] [14],基于这些工作,本文构造Burgers方程初边值问题的时空Legendre谱配置方法,具体地就是考虑如下Burgers方程初边值问题:
(1)
用Lagrange二元插值多项式逼近(1)的精确解,在时间和空间方向用Legendre谱配置方法,将(1)式化为非线性矩阵方程,然后转化为非线性代数方程组,利用通常的不动点迭代方法求得数值解,显然在函数关于时间和空间两个变量充分光滑时,两个方向的数值误差阶是相同的,都具有谱精度,并且大大地减少了计算工作量。
2. 基于Gauss节点的插值多项式及其微分矩阵
记
为N次Legendre多项式。
是
的根 [11]。以
为节点的Lagrange插值基函数为:
(2)
记
为次数不超过
的多项式集合,对
,其Lagrange插值多项式
对
关于
求
阶导数,并令
,得
相应于
的
阶微分矩阵和一阶微分矩阵分别记为:
引理 根据文献 [9] 中的(3.68)和(3.203)式,则有 [9] [10] [11]:
(3)
而且m阶微分矩阵是一阶微分矩阵的m次幂。
3. Burgers方程初边值问题的谱配置格式
对(1)式作变换
,问题转化为:
(4)
记
及
。式(4)的Legendre时空谱配置方法就是求
满足:
(5)
用
逼近(4)式的解,并将其带入到(5)式中,得:
(6)
记
,利用Lagrange插值多项式的性质,式(6)关于
、
展开,则(6)式可转化成矩阵形式为:
(7)
用
表示
阶单位矩阵,“
”表示Kronecker积,
是矩阵
按行向量拉长后的转置向量,
是矩阵
按行向量拉长后的转置向量,“
”表示对应元素相乘,则(7)式可化为如下的非线性方程组:
(8)
![](//html.hanspub.org/file/59-2621592x50_hanspub.png)
4. 数值结果
Burgers方程有精确孤波解及初边值 [15]:
(9)
这里
和
都是常数。
在(1)式中时间方向令
。用下面的
范数度量数值误差
图1是(1)式中时间方向
,(9)式中的参数
,时间方向插值多项式次数
时最大值误差
随空间插值多项式次数
的变化情况,可以看出误差随
的增大而快速减小,算法格式在空间方向有谱精度,而且空间方向和时间方向所用的模数相差不大,算法格式平衡了两个方向的代价,这是所提算法的一个优点。
图2的参数和图1相同,空间方向插值多项式次数
时最大值误差
随时间插值多项式次数
的变化情况,表明算法格式在时间方向有谱精度。
图3的参数和图1的参数相同,表明在迭代30次时CPU所耗费的时间秒数,表明算法格式的高效性。
图4是(1)式中时间方向
,(9)式中的参数
,时间方向插值多项式次数
时最大值误差
随空间插值多项式次数
的变化情况,可以看出算法格式对(1)式中时间方向
取较大值仍然得到很好的结果。
![](//html.hanspub.org/file/59-2621592x73_hanspub.png)
Figure 1.
error with
图1.
时的
误差
![](//html.hanspub.org/file/59-2621592x78_hanspub.png)
Figure 2.
error with
图2.
时的
误差
![](//html.hanspub.org/file/59-2621592x83_hanspub.png)
Figure 3. Costing seconds of CPU with
图3.
时CPU耗费时间秒数
![](//html.hanspub.org/file/59-2621592x86_hanspub.png)
Figure 4.
error with
图4.
时的
误差
5. 结论
本文针对Burgers方程初边值问题用时空Legendre-谱配置方法构造了问题的二元Lagrange插值逼近格式,利用已有的微分矩阵将Burgers方程转化为非线性矩阵方程,再转化为等价形式的非线性方程组,利用通常的不动点迭代求解。算法格式简单有效,数值实验表明在时间和空间方向所用节点数相差很小,总节点个数
,大大地减少了工作量,这是所提算法的主要优点。另外,本文所提算法格式也可以用来求解其他经典的数学物理问题。
基金项目
国家自然科学基金(批准号:11371123);河南科技大学srtp基金(批准号:202010464053);河南自然科学基金(批准号:202300410156)。