1. 引言
对有界的非负序列
,定义:
近年来,学者们较多地关注生态系统中种群间重要关系–竞争 [1] - [8],得到了丰富的研究成果。张杰华 [1] 研讨了下列具Beddington-DeAngelis功能反应和反馈控制的竞争系统:
(1)
其中
和
为第n代种群i的密度及其对应的反馈控制;非负序列
,
,
,
,
,
,
,
,
的上下界为正且
。在无反馈控制变量影响的情况下,陈凤德等学者在文 [2] [3] 中最早提出了系统(1)所对应的连续系统,并探讨了该系统在有和无毒素影响的下的绝灭性、持久性、稳定性及概周期解的存在性等问题。考虑到离散系统对种群世代不重叠或数量很少时的更精准描述,张杰华在文 [2] [3] 的基础上探讨了系统(1)在无反馈控制变量影响下的绝灭性和稳定性问题。之后,张杰华 [1] 进一步考虑了反馈控制对系统的影响,在假定系统(1)满足初始条件:
(2)
及各系数均为概周期函数的条件下,运用差分不等式、Lyapunov函数法和概周期的相关理论,得到了系统(1)的唯一全局吸引的正概周期解和下列的持久性论述:
定理A定义
,
,若
(H0)
成立,则存在正常数
和
,使得对系统(1)的任意正解
均满足:
由(H0)易知,反馈控制变量会影响该系统的持久性,但近期的研究结果表明,持久性与反馈控制无关 [8] [9] [10] [11] [12]。于是,我们迫切需要知道:反馈控制对系统(1)的持久性是否也不起任何作用呢?借助文 [8] [9] [10] [11] [12] 的研究方法,我们有:
定理B若(H)
成立,则系统(1)永久持续生存。
注1:注意到(H0)比(H)强,且(H)与反馈控制无关,说明反馈控制不会对系统(1)的持久性产生影响,故定理B极大地改进了张杰华 [1] 的结论。
2. 引理及结论证明
引理1 [13]。设
为非负序列且其上下界为正,进一步假设正序列
满足
,
,
和
,则
引理2 [12]。若
且
,则
进一步地,若
且B有上界M,则
。
引理3 [12]。若
且
,则有
进一步地,若
且B有下界m,则
。
引理4 [1]。系统(1)的任一正解
满足:
引理5。若(H1)
成立,则对系统(1)的任一正解
,有
,
,这里
为常数。
证明根据引理4,对
,
,当
时,有
结合(H1),对上面的
,存在足够小的
,满足
(3)
由系统(1)的第一个方程及(3)式可得,若
,则有
(4)
其中
。对
来说,根据(4)式可得,
即
(5)
根据系统(1)可知
(6)
这里
。对
,结合(5)-(6)式和引理2可得,
(7)
根据
可知
,故当
时,有
。 (8)
固定
,这里
,从而当
时,有
(9)
另一方面,当
时,我们可得
(10)
其中
。
结合系统(1)、(3)式和(9)-(10)式可知,
(11)
其中
,
。借助引理1和上式可得,
取
,则有
。
故
,当
时,我们有
。
由此及系统(1)易得,
。
即有
。再根据引理3可知,
。证毕。
类似地,我们有:
引理6 若(H2)
成立,则对系统(1)的任一正解
,有
,
,这里
为常数。
结合引理5和6可推得定理B成立。
3. 数值模拟
例1 考虑系统
(12)
借助引理4和文 [1] 的定理2.1,我们可得
故
,
即(H)成立。根据定理B,系统(12)永久持续生存,数值模拟图也支持这一论断(图1)。然而,
即(H0)不成立,故我们无法借助定理A得到持久性的结论,因此我们的结论确确实实地改进了文献 [1]。
Figure 1. Numeric simulations of system (12) with the initial conditions
,
and
, respectively
图1. 系统(12)在初始条件为
,
和
下的数值模拟图
4. 小结
借助差分不等式,我们探讨了具Beddington-DeAngelis功能反应和反馈控制的离散非自治竞争系统,得到了一组比文 [1] 更弱的持久性条件,还明确了反馈控制变量不影响该系统的持久性的事实。数值模拟图展现了我们结论的正确性。
基金项目
2018年度福建省高等学校新世纪优秀人才支持计划;福建省自然科学基金资助项目(2019J01089)。
参考文献