1. 引言
对非线性系统的探索和研究已持续一个多世纪的时间，但仍然方兴未艾。20世纪70年代初，科学家们利用计算机和非线性数学，发现了非线性系统中的混沌行为，这一发现极大地激起了人们对复杂问题探索的热情，对混沌的研究热潮也开始了。混沌现象的研究对现代科学的影响是广泛的，几乎涉及到了任何领域。
1963年，气象学家E.N. Lorenz在数值实验中发现了混沌现象，提出了Lorenz系统 [1]，自此，不管是国际上还是国内，人们不断地提出和构建新的混沌系统。很多的学术专家都曾展示了自己的研究成果，在国内有影响力的像Chen-系统 [2] [3]，Lv-系统 [4] 等等，在2004年，刘崇新教授等人又提出了Liu-系统 [5]。Liu-混沌系统属于广义Lorenz系统，Chen-系统与Lorenz系统互为对偶系统，而Lv-系统在Lorenz系统和Chen系统之间架起了桥梁，四者之间的联系十分紧密。本文在Liu-系统的基础上，研究了一个新的非线性系统 [6]，对其动力学行为进行了数值仿真，因而初步分析了其混沌行为 [7] [8] [9]。
2. 数学模型
2.1. 系统描述
根据文献 [6] 所提到的一类新的混沌系统：
(1)
其中状态变量
均为时间t的函数，
为控制参数。
2.2. 对称性与不变性
对于系统(1)，通过变化
对系统(1)进行处理，发现系统的控制参数
不发生变动。对应的非线性系统(1)也保持它的原有属性，而且仍然以z轴为对称轴。系统(1)具有对称性和不变性。
2.3. 系统耗散性与吸引子不变性
对于系统(1)，作如下处理：
(2)
则系统(1)的散度为：
(3)
当
时，系统(1)是耗散的，故存在吸引子，即
是吸引子存在的条件。
2.4. 平衡点及局部稳定性
对于系统(1)中的各式，令其方程右边等于0，可以解得系统(1)的三个平衡点 [10]，分别为：
，
其中
和
对称的落在 轴的两侧，对于
，系统(1)有唯一的平衡点
。下面讨论各平衡点的稳定性。
在平衡点
处通过线性变换处理后，得到Jacobian矩阵为：
其对应的特征方程为：
(4)
解得上述Jacobian矩阵的三个特征值分别为：
, 
, 
当
时，
，故系统存在三个负实根，此时平衡点
稳定。为了直观地判
断平衡点稳定与否，我们不妨设
，
，
，此时三个特征值分别为−3，6.95，−14.95，存在一个大于0的特征值，由Routh-Hurwitz原理可知，平衡点
是不稳定的。
对于平衡点
和
，由于系统(1)通过变化
后，系统的控制参数
不发生变动。对应的非线性系统(1)也保持它的原有属性，而且P+和P−也关于 轴对称，所以二者性质相同，这里不妨只分析
。
对应的Jacobian矩阵为：
其特征方程为：
(5)
根据Routh-Hurwitz原理以及参数
的取值范围，可知该特征方程仅有实部为负的根，故
为不稳定的平衡点，同理，
也为不稳定的平衡点。
3. 数值仿真
本节对系统(1)的动力学行为进行数值仿真。当固定两个系统参数时，随着参数a的增大，系统的动力学行为发生了一系列的变化。采用龙格–库塔方法编写MATLAB程序，画出仿真图，并揭示系统(1)的混沌学行为 [11]。
当固定参数
，
时，图1和图2分别给出了
时的分岔图与最大Lyapunov指数，图3为当
时局部放大的分岔图，图4和图5分别为
，
，
时的吸引子图和庞家莱截面图，图6为
，
，
时的吸引子图。
系统经过一系列复杂演变过程，经Hopf分岔到达混沌态，当
时，系统彻底发生混沌，当
时，混沌现象已经出现，当
时，混沌结束，系统进入周期轨道。
Figure 1. Bifurcation diagram when 0 ≤ a ≤ 30, b = 3, c = 13
图1. 0 ≤ a ≤ 30，b = 3，c = 13时的分岔图
Figure 2. Graph of maximum Lyapunov index when 0 ≤ a ≤ 30, b = 3, c = 13
图2. 0 ≤ a ≤ 30，b = 3，c = 13时的最大Lyapunov指数图
Figure 3. Bifurcation diagram when 0 ≤ a ≤ 10, b = 3, c = 13
图3. 0 ≤ a ≤ 10，b = 3，c = 13时的分岔图
Figure 4. Attractor graph when a = 8, b = 3, c = 13
图4. a = 8，b = 3，c = 13时的吸引子图
Figure 5. Panjialai Section when a = 8, b = 3, c = 13
图5. a = 8，b = 3，c = 13时的庞家莱截面图
Figure 6. Attractor graph when a = 28, b = 3, c = 13
图6. a = 28，b = 3，c = 13时的吸引子图
Figure 7. Bifurcation diagram when 0 ≤ b ≤ 10, b = 3, c = 13
图7. 0 ≤ b ≤ 10，b = 3，c = 13时的分岔图
Figure 8. Graph of maximum Lyapunov index when 0 ≤ b ≤ 10, b = 3, c = 13
图8. 0 ≤ b ≤ 10，b = 3，c = 13时的最大Lyapunov指数图
当固定参数
，
时，图7和图8分别给出了
时的分岔图和最大Lyapunov指数图。当
时混沌出现，当
时混沌逐渐消失，其中有一个较为明显的周期窗口。
当固定参数
，
时，图9和图10分别给出当
时的分岔图和最大Lyapunov指数图。
时，系统处于混沌状态，其中存在一个明显的周期窗口。
Figure 9. Bifurcation diagram when a = 8, b = 3, 0 ≤ c ≤ 30
图9. a = 8，b = 3，0 ≤ c ≤ 30时的分岔图
Figure 10. Graph of maximum Lyapunov index when a = 8, b = 3, 0 ≤ c ≤ 30
图10. a = 8，b = 3，0 ≤ c ≤ 30时的最大Lyapunov指数图
综合以上三个系统参数使系统发生混沌的范围，不妨取
，
，
进行数值仿真。图11、图12和图13分别为该组参数下的返回映射、时间序列和功率谱，从中可以看出此时系统正处于混沌状态下。
Figure 11. Return map when a = 8, b = 3, c = 13
图11. a = 8，b = 3，c = 13时的返回映射
Figure 12. Time series when a = 8, b = 3, c = 13
图12. a = 8，b = 3，c = 13时的时间序列
Figure 13. Power Spectrum when a = 8, b = 3, c = 13
图13. a = 8，b = 3，c = 13时的功率谱
4. 结论
本文首先对所研究的内容研究现状及近期发展进行简介；其次，说明系统的对称性与不变性，讨论系统的耗散性与吸引子的存在性，计算平衡点及证明其局部稳定性，说明系统确实存在混沌；最后对系统的三个参数
分别进行数值仿真，确定混沌产生的区间，并选取一组参数值：
，
，
，仿真出吸引子图、庞家莱映射图、时间序列、返回映射和功率谱，充分证明在此参数值下，系统正在发生混沌。