1. 引言
贮液箱内带有自由液面的液体在受外部运动激励下会产生晃动,晃动问题广泛存在于船舶、土木水利工程等领域。工程设计中需要知道液动压力分布以及作用在贮液箱上的液动力、力矩,这些液体的动力学效应会对贮液箱及其相关结构安全性、稳定性以及动力学行为产生重要影响。
大型运输LNG (Liquefied Natural Gas)液体的船舶在波浪作用下,由于船体的运动将引发舱内巨量LNG液体的晃动,晃动液体将会对船体产生附加的力和翻转力矩,可能影响船舶结构及航行安全,晃动引起的载荷效应已成为载液船舶安全性评估的重要内容之一。土木水利工程中的架空水箱、渡槽、升船机等结构物在地震作用下,其结构内的水体也会发生晃动,这些结构的抗震设计需要计算水体晃动对结构产生的附加液动荷载。
矩形容器是工程中使用最广泛的一类贮液箱,当矩形容器承受水平加速度运动时(例如:水平地震作用),其液体的晃动问题得到了充分的研究 [1] [2] [3] [4]。当矩形容器承受转动运动激励时,Ibrahim [2] 在其专著中并未给出一般转动激励下的液体晃动解答;Faltinsen与Timokha [3] 在其著作中给出了一般激励(包括转动激励)下液体的晃动控制方程,提出了求解液体的晃动方程的一般步骤,然而文献 [3] 并未给出矩形容器承受转动激励时的精确解。
本文根据转动激励下的晃动控制方程,在小晃动假设下,采用线性势流理论,推导矩形容器内液体的动水压力分布,进而得到液体对矩形容器的动态力与翻转力矩,供相关工程设计参考。
2. 转动激励下液体晃动的控制方程及解答
图1显示了一个转动的刚性矩形容器,其中充有部分液体,液体静止时的宽度为2a,水深为H,设容器内壁厚度(垂直于纸面)为B。坐标
固定在容器上,坐标
平面与静止液面重合,坐标原点位于静止液面几何中心,其中符号
、
及
分别表示液体区域、自由液面及湿边界。设坐标系
为固定在地球上的坐标系,假定坐标系
在初始时与坐标系
重合,容器发生了绕
轴的转动,设转动位移、转动速度,转动加速度分别为
,
,
,设顺时针转动为正。假定液体为无粘性、不可压缩且无旋的液体,液体在纯转动作用下的二维线性晃动方程可以写为 [3] :
![](//html.hanspub.org/file/1-2810118x22_hanspub.png)
Figure 1. Rotating rigid rectangular tank filled with fluid
图1. 转动的充液刚性矩形容器
(1)
(2)
(3)
(4)
式中:t为时间,
为总的速度势函数,
为自由液面上的竖向位移,g为重力加速度,
为湿边界的法向量,
表示法向求导。设
与
(
)分别为坐标系
及
下的单位基矢,则
为任一液体质点的径向矢量,
为容器绕y轴转动的角速度矢量,其中
为小的激励。液体压力可以由Bernoulli方程表达为:
(5)
式中:ρ为液体质量密度,
为重力势,其中
,将
,
及
代入方程(1)~(5),注意到:
,在小转动位移下:
,所以以上方程(1)~(5)变为:
(6a)
(6b)
(6c)
(6d)
(6e)
(6f)
由傅里叶级数及级数收敛的必要性条件,设速度势函数的解为:
(7)
将式(7)代入方程(6a)~(6c),求解方程,得速度势函数为:
(8)
将式(8)代入方程(6d)和(6e),然后合并两个方程,得:
(9)
在零初始条件下(
),对方程(9)两边对时间t积一次分,再将方程(9)两边乘以
(
),方程两边对x积分得:
(10)
式中:
(11)
(12)
根据Duhamel积分,方程(10)的解为:
(13)
(14)
所以液体压力为:
(15)
于是液体对容器x方向的合力
及对容器底部中点
的翻转力矩
可以由下式积分得到:
(16)
(17)
其中:
(18)
3. 数值算例
由1) 方程的正确,2) 得到的解答满足方程,3) 级数解答收敛可知其精确解的可靠性。现设有一矩形水箱,静止水截面尺寸2a = 8 (m),H = 6 (m),容器内壁(垂直于)厚度为B = 1 (m),流体质量密度为
,液体一阶晃动自然圆频率为1.944 (rad/s),设容器的转动(共振)位移激励为谐波函数
,则角加速度激励为:
。取前三阶模态叠加计算得到作用在容器上液体力
及翻转力矩
如图2与图3所示,表明容器内的液体发生了共振相应。
![](//html.hanspub.org/file/1-2810118x77_hanspub.png)
Figure 2. The force
acting on the tank by fluid
图2. 液体作用在容器上的力
![](//html.hanspub.org/file/1-2810118x80_hanspub.png)
Figure 3. The overturning moment
acting on the tank by fluid
图3. 液体作用在容器上的翻转力矩
4. 结语
在小晃动假设下,导得了纯转动激励下的液体晃动线性化的控制方程,得到了矩形容器内液体压力分布的精确解,通过积分得到液体对矩形容器的动态力与翻转力矩的精确解,本文的精确解的适用范围为转动激励下的线性晃动问题,本文解答可供相关工程设计计算参考。
基金项目
国家自然科学基金面上项目(51879191)。
NOTES
*通讯作者。