离散观测下线性自吸引扩散的最小二乘估计

Least Squares Estimation for Self-Attracting Diffusion with Discrete Observations

摘要: 考虑如下分数布朗运动驱动的自吸引扩散过程X_t^H=B_t^H-θ∫₀^t∫₀^t（X_s^H-X_u^H）duds+vt，其中B_t^H表示Hurst指数为H∈[1/2，1）的分数布朗运动，而θ>0， v∈ℝ为未知参数。在离散观测下，给出了这两个未知参量的最小二乘估计量和，验证了它们无相合性同时构造新的弱相合估计量。

Abstract: In this paper, the self-attracting diffusion process driven by fractional Brownian motion X_t^H=B_t^H-θ∫₀^t∫₀^t（X_s^H-X_u^H）duds+vt is considered, where B_t^H is fractional Brownian motion with Hurst index H∈[1/2，1）, and θ>0， v∈ℝ are two unknown parameters. With discrete observation, we research the least squares estimators and for the unknown parameters. It is proved that they are not weakly consistency and we also construct some new estimators which have weakly consistency.

1. 引言

一个中心化高斯过程 $B^H=\left\{B_t^H,t\ge 0\right\}$ 称为Hurst指数为 $H\in \left(\text{0,1}\right)$ 的分数布朗运动(fractional Brownian motion，简记为fBm)，若它的协方差函数为：

$R_H\left(t,s\right)=E\left(B_t^H{B}_s^H\right)\frac{1}{2}\left(s^{2H}+t^{2H}-{\left|t-s\right|}^{2H}\right)\text{,}s,t\ge 0.$

特别的，当 $H=1/2$， $B^{1/2}$ 是标准布朗运动。分数布朗运动既不是马氏过程，也不是半鞅(布朗运动情形除外)，所以不能用经典的Ito随机分析理论来进行研究。关于分数布朗运动的随机积分的研究见文献 [1] [2]。

自吸引扩散的数学模型由Durrett和Rogers [3] 于1992年给出，用来刻画一种增长聚合物(布朗聚合物)的形状变化，在一定条件下建立了该模型对应随机微分方程解的渐近性态。随后，M. Cranston和Y. Le Jan [4] 推广了该模型并引入了自吸引扩散的概念。L. Yan等 [5] 考虑了由分数布朗运动驱动的自吸引扩散并研究了线性情形下相关结论。值得注意的是在线性情况下，相互作用的扩散足以吸引Ornstein-Uhlenbeck过程 [6] [7]，故而可以研究相关渐近行为。此外，由分数布朗运动驱动的随机方程的统计推断是现代随机分析以及应用概率论中的一个重要的课题。Y. Gan和L. Yan [7] 研究了连续观测下分数布朗运动驱动的线性自排斥扩散的最小二乘估计。

受上述文献启发，本文讨论由分数布朗运动驱动的自吸引扩散过程：

$X_t^H=B_t^H-\theta {\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_0^t\left(X_s^H-X_u^H\right)\text{d}u\text{d}s}}+vt.$

令 $Y_t^H={\displaystyle {\int }_0^t\left(X_s^H-X_u^H\right)\text{d}u}$，则模型简化为

$X_t^H=B_t^H-\theta {\displaystyle {\int }_0^t{Y}_s^H\text{d}s}+vt.$ (1)

若过程 $X_t^H$ 在离散时刻 $t_k=kh,k=1,2,\cdots ,n$ 被观测到，构造未知参数 $\theta ,v$ 的最小二乘估计量，并建立相关弱相合估计量。用 $t_n$ 表示观测窗口的长度，且当 $n\to \infty$ 时， $h\to 0$。

2. 准备知识

令 $B^H=\left\{B_t^H,t\ge 0\right\}$ 是定义在完备概率空间 $\left(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,{\rm P}\right)$ 上的Hurst指数为H的标准一维分数布朗运动。本节主要回顾分数布朗运动的一些基本概念和结论 $\mathcal{H}$ 表示与分数布朗运动有关的再生核Hlibert空间，它为示性函数 $\left\{1_{\left[0,t\right]},t\in \left[0,T\right]\right\}$ 关于内积

${\langle 1_{\left[0,t\right]},1_{\left[0,s\right]}\rangle }_{\mathcal{H}}=\frac{1}{2}\left(s^{2H}+t^{2H}-{\left|t-s\right|}^{2H}\right)$

生成的线性空间 的闭包。它可以写成

$\mathcal{H}=\left\{\phi :\left[0,T\right]\to \Re {\Vert {\mu }_{\phi }\Vert }_{\mathcal{H}}<\infty \right\},$

其中

${\Vert \phi \Vert }_{\mathcal{H}}^2:={\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^T\phi }}\left(t\right)\phi \left(s\right){\left|t-s\right|}^{2H-2}\text{d}t\text{d}s$

考虑的 $\mathcal{H}$ 子空间 $\left|\mathcal{H}\right|$，它是定义为 $\left[0,T\right]$ 上可测函数 $\phi$ 构成的集合，使得

${\Vert \phi \Vert }_{\left|\mathcal{H}\right|}^2:={\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^T\left|\phi \left(t\right)\right|\left|\phi \left(s\right)\right|{\left|t-s\right|}^{2H-2}\text{d}t\text{d}s}}<\infty ,$

容易得到 $\left|\mathcal{H}\right|$ 关于范数 ${\Vert \phi \Vert }_{\left|\mathcal{H}\right|}$ 是Banach空间，并且 $\mathcal{E}$ 在 $\left|\mathcal{H}\right|$ 中稠密。另外，对于任意 $\phi \text{,}\psi \in \left|\mathcal{H}\right|$

$E\left({\displaystyle {\int }_0^T{\phi }_s}\text{d}{B}_s^H{\displaystyle {\int }_0^T{\psi }_s}\text{d}{B}_s^H\right)={\alpha }_H{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^T\left|\phi \left(t\right)\right|\left|\psi \left(s\right)\right|{\left|t-s\right|}^{2H-2}\text{d}t\text{d}s}}$

令 $f,g:\left[0,T\right]\to ℝ$ 分别是阶为 $\alpha \in \left(0,1\right),\beta \in \left(0,1\right)$ 且 $\alpha +\beta >1$ 为Holder连续函数，Young [8] 证明了Riemann-Stieltjes积分(所谓Young积分) ${\displaystyle {\int }_0^T{f}_s}\text{d}{g}_s$ 是存在的。而且，若 $\alpha =\beta \in \left(1/2,1\right)$ 且 $F:{ℝ}^2\to ℝ$ 为 $C^1$ 的，积分 ${\displaystyle {\int }_0^{.}\frac{\partial F}{\partial f}}\left(f_u,g_u\right)\text{d}{f}_u$ 和 ${\displaystyle {\int }_0^{.}\frac{\partial F}{\partial g}}\left(f_u,g_u\right)\text{d}{g}_u$ 在Young积分意义下存在，并且有下述公式成立：

$F\left(f_t,g_t\right)=F\left(f_0,g_0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\partial F}{\partial f}}\left(f_u,g_u\right)\text{d}{f}_u+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\partial F}{\partial g}}\left(f_u,g_u\right)\text{d}g,t\in \left[0,T\right]$ (2)

众所周知，当 $H\ge 1/2$ 分数布朗运动具有阶为 $\beta <H$ 的Holder连续轨道。若过程 $\left\{u_t,t\in \left[0,T\right]\right\}$ 具有阶为 $\alpha >1-H$ 的Holder连续轨道，那么积分 ${\displaystyle {\int }_0^T{u}_s\text{d}{B}_s^H}$ 在Young积分意义下是适定的。

3. 最小二乘估计量

回顾分数布朗运动驱动的自吸引扩散为 $X_t^H=B_t^H-\theta {\displaystyle {\int }_0^t{Y}_s^H\text{d}s}+vt$。对其进行离散化，可得

$X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H=B_{ih}^H-B_{\left(i-1\right)h}^H-\theta h{Y}_{\left(i-1\right)h}^H+vh$ (3)

本节主要是建立 $\theta ,v$ 的最小二乘估计量，并研究相关估计量的相合性。

利用Hu和Nualart [6] 建立的最小二乘方法，通过对如下对比函数最小化

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H-\left(v-\theta Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)h\right|}^2}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}[{\left(X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H\right)}^2}-2h\left(v-\theta Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)\left(X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H\right)+h^2\left(v^2-2v\theta Y_{\left(i-1\right)h}^H+{\theta }^2{\left(Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)}^2\right)]\end{array}$ (4)

可以得到 $\theta ,v$ 的最小二乘估计量为：

$\begin{array}{l}{\stackrel{⌢}{\theta }}_{nh}=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}-n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H\right)Y_{\left(i-1\right)h}^H}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}\right)}^2},\\ {\stackrel{⌢}{v}}_{nh}=\frac{1}{nh}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H\right)}+\frac{{\stackrel{⌢}{\theta }}_{nh}}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}\end{array}$ (5)

由(3)，

$\begin{array}{c}{\stackrel{⌢}{\theta }}_{nh}-\theta =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}-n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ih}^H-X_{\left(i-1\right)h}^H\right)Y_{\left(i-1\right)h}^H}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}\right)}^2}-\theta \\ =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(B_{ih}^H-B_{\left(i-1\right)h}^H\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}-n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(B_{ih}^H-B_{\left(i-1\right)h}^H\right)Y_{\left(i-1\right)h}^H}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}\right)}^2}\\ =\frac{B_{nh}^H{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}-n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(B_{ih}^H-B_{\left(i-1\right)h}^H\right)Y_{\left(i-1\right)h}^H}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}\right)}^2}\\ =\frac{B_{nh}^H{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}-n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(B_{ih}^H-B_{\left(i-1\right)h}^H\right)Y_{\left(i-1\right)h}^H}}{\Phi \left(n,H\right)},\end{array}$ (6)

${\stackrel{⌢}{v}}_{nh}-v=\frac{1}{nh}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(B_{ih}^H-B_{\left(i-1\right)h}^H\right)}+\frac{{\stackrel{⌢}{\theta }}_{nh}-\theta }{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}=\frac{B_{nh}^H}{nh}+\left({\stackrel{⌢}{\theta }}_{nh}-\theta \right)\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}}{n}.$ (7)

其中 $\Phi \left(n,H\right)=nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{\left(i-1\right)h}^H\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{\left(i-1\right)h}^H}\right)}^2$。

显然，

$Y_s^H={\displaystyle {\int }_0^s\left(X_s^H-X_u^H\right)\text{d}u}=s{X}_s^H-{\displaystyle {\int }_0^s{X}_u^H}\text{d}u={\displaystyle {\int }_0^{s}u\text{d}{X}_u^H}$ (8)

同时由(1)可得

$\text{d}{X}_u^H=\left(v-\theta Y_u^H\right)\text{d}u+\text{d}{B}_u^H$ (9)

将(9)带入(8)式，并对两边同时求微分，得到

$\text{d}{Y}_S^H=-\theta s{Y}_S^H\text{d}s+vs\text{d}s+s\text{d}{B}_S^H,$

利用常数变易法解该微分方程可得 $Y_s^H={\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta s^2}{\displaystyle {\int }_0^{s}u{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta u^2}\text{d}{B}_u^H}+\frac{v}{\theta }\left(1-{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta s^2}\right)$

为方便记 ${\eta }_s={\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta s^2}{\displaystyle {\int }_0^{s}u{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta u^2}\text{d}{B}_u^H}$， ${\Lambda }_s=\frac{v}{\theta }\left(1-{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta s^2}\right)$，则 $Y_s^H={\eta }_s+{\Delta }_s$。

引理3.1：令 $\frac{1}{2}\le H<1$。当 $n\to \infty ,h\to 0$ 时，

$\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{ih}^H}\stackrel{a.s.}{\to }\frac{v}{\theta }\text{.}$ (10)

证明：

当 $n\to \infty ,h\to 0$ 时，有 $h{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{ih}^H}~{\displaystyle {\int }_0^{nh}{Y}_S^H}\text{d}s$。

利用(1)有

(11)

故。

引理3.2：令。当时，

(12)

证明：

利用洛必达法则，并令，则

引理3.3：令。当时，

(13)

证明：

考虑，由洛必达法则和引理3.2，当时，有，易知

令，容易得到。

由于，可得

又由于，

即。进一步，有。

考虑，当时，有，

通过简单计算有

考虑，当时，有。由于

故

(14)

从而

引理得证。

引理3.4：令。当时，

(15)

其中

证明：

根据引理3.1和引理3.2，易得

引理3.5：令。当时，

(16)

证明：

由(2)

故

最后，当时，有，从而

又。引理得证。

根据引理3.4和引理3.5，可知：

即。

定理3.1：令。当时，有

证明：

由。

显然。

基金项目

上海工程技术大学科研启动经费项目(项目编号：0244-E3-0507-19-05156)。