1. 引言
由某种噪声
(Levy过程)驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程可以看成郎之万微分方程的解
(1)
如果该微分方程(1)由分数布朗运动驱动,存在唯一解
(2)
这里的随机积分是Itô型积分或者是轨道型Riemann-Stieltjies积分。一个重要的问题是在过程
被观测下,对参数
的估计一般会使用极大似然法或者是最小二乘法。在2010年,Yaozhong Hu和David Nualart [1] 对于分数布朗运动在
时,讨论了上述参数估计的问题。在2019年Yaozhong Hu、David Nualart和Hongjuan Zhou [2] 完成了在Hurst指数一般意义下各种情况的讨论。Kleptsyna和Le Breton [3] 用极大似然法得到估计量。
本文用最小二乘法研究如下方程中
的参数估计
(3)
可以看出当
时,方程(1)与方程(3)相同,并且存在唯一解
(4)
最小二乘估计的目的是使得目标函数到达最小,受到下面二次函数的启发
虽然公式
不存在,然而当
时,二次函数可以达到最小。通过这样一个简单的讨论,我们初步得到了估计量的形式,把微分方程(3)代入计算得到
(5)
如果我们把上述随机积分
看作Riemann-Stieltjies积分,则
。这个估计量在后面的证明中知道不满足相合性。基于这个原因,在(5)中的随机积分
理解为散度型积分或者Itô-Skorohod积分。这样当T趋于无穷时,
几乎必然收敛于
。其次证明,在
情况下得到
的渐进分布。另一个推导的估计量
的相合性由下面的引理3.3收敛得到
(6)
所以
的表达式为
(7)
最后证明
的渐进分布。从方差角度来看
时,
比
好。
2. 预备知识
首先引进一些针对分数布朗运动涉及到的Malliavin分析 [4] 做阐述。分数布朗运动
定义在完备概率空间
上,它的协方差函数为
(8)
定义在
上的实值阶梯函数集合为
,并且在给定内积
下的闭包为希尔伯特空间
。这样线性对偶映射
可以拓展到
。当
时,
;当
时,
。任意
,
,有
(9)
公式(9)是公式(8)的推广形式,之后的所有内积都可以理解为公式(9)。令S是光滑圆柱随机变量
,
构成的空间。对于随机变量F,定义它的Malliavin导数是
-值随机变量
(10)
通过迭代,m重导数
是空间
中的元素。
是S在范数
下的闭包。
Malliavin导数D的伴随算子
称为散度算子。随机变量
属于散度算子定义域
当且仅当任意
时,
。如果
,随机变量
是由对偶关系得到,任意
,有
。
在估计量的渐进分布计算时用到多重维纳随机积分的中心极限定理 [5] [6]。
引理 2.1:在p重维纳噪声中的随机序列
满足
,则以下两个条件等价:
1)
依分布收敛于
2)
是
收敛于常数。
3. 估计量
的相合性与渐进性
3.1. 相合性
微分方程唯一解
与估计量
密切联系,它的Malliavin导数
可以由定义(11)计算得到。现在引理3.1提供了估计量
另一种表现方式。
引理3.1:假设
,则
(11)
证明:利用散度积分和Riemann-Stieltjies积分之间的联系,计算得到
(12)
另一方面,把微分方程(3)代入Riemann-Stieltjies积分,计算得到
(13)
结合(12)和(13)代入公式(5)即可得到结论。
下面将叙述四个引理,并得到相合性定理。
引理3.2:假设
,则
(14)
证明:通过变量替换
,
Gamma函数计算完毕,在之后的运算中会多次用到,有关计算将省略。
引理3.3:假设
,则当T趋于无穷时
和
证明:现在考虑随机过程
(15)
该过程是高斯平稳遍历过程。根据遍历性定理 [7]
这里我们知道当
时,
;当
时,用分数布朗运动的内积公式
把公式(15)与公式(2) (4)对比发现只有较少的区别,这样暗示了该引理的结论。
引理3.4 [7]:如果随机过程
满足:
,
和
,则
引理3.5 [1]:假设
,随机过程
为公式(17),当T趋于无穷,任意 a>0
则
定理3.1:假设
,则当T趋于无穷时
证明:从引理3.3知道
引理3.1中看出只要计算
的第二部分收敛
定理证毕。
3.2. 渐进性
引理3.6 [1]:下面两个无穷积分存在:
(16)
和
(17)
证明:可以看出
,若公式(16)存在,则公式(17)也存在。
变量替换
变量替换
,把等式
代入
引理3.7 [1]:假设
为公式(4),则有
(18)
和
(19)
定理3.2:假设
,则
。
证明:只需要证明满足引理3.1的条件即可。由于引理3.6只给出
存在,未能给出
具体数值,但可以通过
判断大致取值范围。
是二重随机积分
下面证明当T趋于无穷时,
收敛于常数以及
是
收敛于常数。
其中,
可以由公式(18)知道,极限存在
另一方面,对
求Malliavin导数
计算
时的范数
只需要计算第一项,另外两项相同计算过程
引理3.7结论中公式(18)和(19)代入
这样最终得到
事实上还有
其中p为随机积分积分重数,这里
。
4. 估计量
的渐进性
估计量
由引理3.3启发得到,相合性显然。
与
之间密切联系,下面用
研究估计量
的渐进性。再次呈现公式(7)
定理3.1:假设
,
,则
证明:利用估计量
公式(11)可以有
代入公式(7)
另一方面,
为
与
之间的一个随机变量
从下面的分解看,得到相应的结论。
基金项目
国家自然科学基金(No.11571071)。