短区间上权为d_k (n)的ErdO^¨ s-Kac型定理

An ErdO^¨ s-Kac Type Theorem in Short Intervals Weighted by d_k (n)

摘要: 设d_k (n)为k重除数函数。本文证明了一个短区间上权为d_k (n)的Erdös-Kac型定理，并证明了其中的余项估计是最优的。这推广了K. Liu和J. Wu最近的一个结果。

Abstract: Let d_k (n) be the k-fold divisor function. In this paper, we prove a weighted Erdös-Kac type theo-rem with weight d_k (n) in short intervals. This generalizes a recent result of K. Liu and J. Wu.

1. 介绍

对于固定的整数 $k\ge 2$，k重除数函数 $d_k\left(n\right)$ 是指 $n=n_1{n}_2\cdots n_k$ 的解的个数，其中 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$ 为正整数。如果n的标准分解形式 $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_s^{{\alpha }_s}$， ${\alpha }_i\ge 1$ ( $i=1,2,\cdots ,s$ )， $p_i$ ( $i=1,2,\cdots ,s$ )是不同的素数，则有(可参见 [1] )

$d_k\left(n\right)=\frac{\left({\alpha }_1+k-1\right)!}{{\alpha }_1!\left(k-1\right)!}\cdots \frac{\left({\alpha }_s+k-1\right)!}{{\alpha }_s!\left(k-1\right)!}.$ (1)

当 $k=2$ 时， $d_k\left(n\right)$ 即为经典除数函数 $d\left(n\right)$。

当 $x\ge 2$ 时，定义 $d_k\left(n\right)$ 的和函数

$D_k\left(x\right):={\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{d}_k\left(n\right)}.$

Landau [2] 和Voronoi [3] 证明了

$D_k\left(x\right)=x{P}_{k-1}\left(x\right)+{\Delta }_k(x)$

${\Delta }_k\left(x\right){\ll }_{\epsilon }{x}^{\frac{k-1}{k+1}+\epsilon },$

其中 $P_{k-1}$ 是 $k-1$ 次的多项式。对于 $k\ge 4$，Hardy和Littlewood改进了以上余项的上界估计，证明了

${\Delta }_k\left(x\right)\ll x^{\frac{k-1}{k-2}+\epsilon }.$

相关文献还可参见 [4]， [5]， [6] 和 [7]。

同时，人们还研究函数 $d_k\left(n\right)$ 在短区间上的均值问题。例如，Garaev，Luca和Nowak [8] 证明了当 $x^{1/2}\log x<y<x^{1/2}{\left(\log x\right)}^{5/2}$ 时，有

${\displaystyle \underset{x<n\le x+y}{\sum }{d}_4\left(n\right)}=\frac{1}{6}y{\log }^{3}x\left(1+O\left(\frac{x^{1/3}{\left(\log x\right)}^{2/3}}{y^{2/3}}\right)\right).$

当 $k\ne 4$ 时，目前短区间上相应问题的最佳结果可由 $D_k\left(x\right)$ 的渐进公式(“长区间”)推得。

本文中，我们考虑了 $d_k\left(n\right)$ 在短区间上另一种形式的均值问题。令 $\omega \left(n\right)$ 表示正整数n的不同素因子个数，定义

${\pi }_{l,k}\left(x,y\right):={\displaystyle \underset{\begin{array}{l}x<n\le x+y\\ \omega \left(n\right)=l\end{array}}{\sum }{d}_k\left(n\right)}.$

我们证明了下面的结果。

定理1.1对于固定的 $k\ge 2$， $B>0$ 及任意的 $\epsilon >0$，有

${\pi }_{l,k}\left(x,y\right)=\frac{y}{\log x}\frac{{\left(k\log \log x\right)}^{l-1}}{\left(l-1\right)!}\left\{\lambda \left(\frac{l-1}{k\log \log x}\right)+O_{B,\epsilon }\left(\frac{\log \log x}{l\log x}+\frac{l-1}{{\left(\log \log x\right)}^2}\right)\right\},$

对 $x\ge 2$， $x^{7/12+\epsilon }\le y\le x$， $1\le l\le Bk\log \log x$ 一致成立，这里

$\lambda \left(z\right)=\frac{k}{\Gamma \left(kz+1\right)}{\displaystyle \underset{p}{\prod }\left(1+{\displaystyle \underset{v\ge 1}{\sum }\frac{\left(v+k-1\right)!}{v!\left(k-1\right)!p^v}z}\right)}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{kz},$

并且O-符号中的隐含常数只依赖于B和 $\epsilon$。

1939年，Erdös和Kac [9] 证明了 $\omega \left(n\right)$ 的概率分布，对于每一个 $\lambda \in R$，他们证明了如下的中心极限定理：

$\frac{1}{x}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}n\le x\\ \omega \left(n\right)-\log \log x\le \lambda \sqrt{\log \log x}\end{array}}{\sum }1}\to \Phi \left(\lambda \right),x\to \infty$

其中

$\Phi \left(\lambda \right):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\lambda }{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}\text{d}\tau .$

2015年，Elliott [10] [11] 证明了如下权为 $d{\left(n\right)}^{\alpha }$ ( $\alpha \in R$ )的中心极限定理，即对每一个 $\lambda \in R$，有

$\frac{1}{D_{\alpha }\left(x\right)}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}n\le x\\ \omega \left(n\right)-2^{\alpha }\log \log x\le \lambda \sqrt{2^{\alpha }\log \log x}\end{array}}{\sum }d{\left(n\right)}^{\alpha }}\to \Phi \left(\lambda \right),x\to \infty$

其中

$D_{\alpha }\left(x\right):={\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }d{\left(n\right)}^{\alpha }}$

最近，K. Liu和J. Wu [12] 把此结果推广到了短区间。

本文中，我们推广了Elliott以及Liu和Wu的结果，证明了权为 $d_k\left(n\right)$ 的中心极限定理。

定理1.2对于每个实数 $\lambda$ 和任意的 $\epsilon >0$，当 $x\to \infty$， $x^{7/12+\epsilon }<y\le x$ 时，有

$\frac{1}{D\left(x,y\right)}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x<n\le x+y\\ \omega \left(n\right)-k\log \log x\le \lambda \sqrt{k\log \log x}\end{array}}{\sum }{d}_k\left(n\right)}=\Phi \left(\lambda \right)+O_{\epsilon }\left(\frac{1}{\sqrt{\log \log x}}\right),$

其中

$D\left(x,y\right):={\displaystyle \underset{x<n\le y}{\sum }{d}_k\left(n\right)},$

O-符号中的隐含常数只依赖于 $\epsilon$，并且误差项的上界估计是最优的。

记号：

N为全体自然数集，R为全体实数集，C为全体复数集； $\Gamma \left(z\right)$ 伽马函数；Landau符号， $f\left(x\right)=O\left(g\left(x\right)\right)$， $f\left(x\right)\ll g\left(x\right)$ 是指存在常数 $c>0$，使得 $\left|f\left(x\right)\right|\le cg\left(x\right)$； ${\displaystyle \underset{p}{\prod }}$ 表示p遍历所有素数并求乘积； $f\left(x\right)\sim g\left(x\right)$ 是指 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1$。

2. 预备知识

为了完成引理2.2的证明，我们需要下面的定义(参见 [12] )。令 $f\left(n\right)$ 表示算术函数， $F\left(s\right)$ 是 $f\left(n\right)$ 的Dirichlet级数，

$F\left(s\right):={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}f\left(n\right)n^{-s}}.$

设 $z\in C$， $\omega \in C$， $\alpha >0$， $\delta \ge 0$， $A\ge 0$， $B>0$， $C>0$， $M>0$ 为常数， $s=\sigma +i\tau$。如果 $F\left(s\right)$ 满足下列条件，则称其是 $P\left(z,\omega ,\alpha ,\delta ,A,B,C,M\right)$ 型的：

(a) 对于任意的 $\epsilon >0$，有

$\left|f\left(n\right)\right|{\ll }_{\epsilon }M{n}^{\epsilon }\left(n\ge 1\right)$

$\ll$ -中的隐含常数只与 $\epsilon$ 有关。

(b) 当 $\sigma >1$ 时有

(c) Dirichlet级数

可以解析延拓成上的全纯函数，并且满足

此结果对，及一致成立。

我们需要如下引理来证明引理2.2，此引理为 [1] 的推论1.2。

引理2.1假设对任意的，Dirichlet级数是型的，则有

此结果对，，，及一致成立，其中

O-符号中的隐含常数只依赖于A，B，，及。

令引理2.1中的，我们得到如下结果。

引理2.2令是一个常数，对于任意的，有

对，，及一致成立，其中

证明：因为函数是可乘函数，当时，我们有

(2)

把公式(1)带入公式(2)中，可得

其中欧拉乘积

的Dirichlet级数是

令，当时，函数是可乘函数，其在(p为素数，)的值可由下列公式给出

特别地，当，时，对于所有的素数p有

令

因为当，时函数收敛，所以该函数在，时有最大值：

由Cauchy公式，当，时有

所以的上界为

(3)

当，时，计算可得

再由公式(3)可得

这表明在，时收敛，且有上界：

其中

综合上述计算结果，我们可以得到Dirichlet级数是

型的。

这样应用引理2.1我们可以得到引理2.2. □

注记：如果，则由引理2.2可以推出

对，一致成立，其中

在证明定理1.2时，我们还需要下面的Berry-Esseen不等式(可参见 [13] )。

引理2.3令F、G为两个分布函数，f、g分别为F、G的特征函数。假设G可导，且在R上有界。则有

对所有的都成立。其中。

3. 定理1.1的证明

设

由Cauchy公式，可得

其中。

由引理2.2，可得

(4)

其中

首先计算的主项M，令

其中

接下来计算，考虑和两种情况。当时，因为在时解，所以

将此结果代入公式(4)，得到

当时，因为在时解析，所以，其中。在点处的Taylor展开为

(5)

这样，我们只需分别估计上述公式(5)右侧的三项对的贡献即可。

第一项对的贡献为：

(6)

第二项对的贡献为：

(7)

当，，时，有

因为当时解析，所以在上有上界，即存在一个常数，使得，容易计算出

由Stirling公式，第三项对的贡献为：

(8)

现在来估计的余项。我们有

令，可得

将公式(6) (7)、(8)代入公式(4)，即得定理1.1。

4. 定理1.2的证明

令，记为的特征函数，我们有

(9)

其中。

设，由引理2.3，计算得到下面结果：

所以我们只需要证明

(10)

对，时一致成立。

由引理2.2，设，则有

对，，一致成立，其中是关于z的整数函数，且。令，则有

对，及一致成立。

当时，因为，所以有

由此可以推出对，及一致成立。下面我们将分三种情况来证明公式(10)成立。

首先，当时，有

其次，当时，因为

则有

将上式代入公式(9)，得到

由此可得，

最后，当时，由和的Taylor展开：

可得

对，，一致成立。计算可得

现在我们来证明定理1.2中的余项估计是最优的。定义

以及

令，，我们得到

(11)

由Stirling公式及定理1.1，可得

(12)

根据公式(11)及公式(12)，可以求得

对，一致成立。由此可见，定理1.2中的余项估计是最优的。