1. 引言
考虑如下具有功能反应的Leslie捕食–食饵系统 [1] :
(1)
其中,
分别表示食饵种群和捕食者种群的密度;
,分别表示食饵和捕食者的内在增长率;
,表示食饵的环境承载力;
,
是支撑一个捕食者所需的食饵数量。根据生态系统的意义,我们在区域
上讨论 [2]。
近几年来,Ali Atabaigi等研究了由Holling IV型或Monod-Haldane功能反应产生的Leslie型捕食者–食饵系统的平衡点的类型和稳定性 [3]。黄秀琴研究了一般形式的捕食–食饵模型的平衡点的类型和稳定性 [4]。本文受其启发,研究由广义Holling III型功能性反应
产生的Leslie型捕食者–食饵系统:
(2)
是捕食者的摄取率作为食饵密度的函数 [5]。其中,
,对所有的
,使得
,因此,对所有的
,
。
对系统(2)作变换:
(3)
将
仍记为
,则系统(1)可以化为其等价系统:
(4)
2. 系统的平衡点分析
对于任意的参数,系统(4)总是存在一个边界平衡点
,并且
是一个双曲鞍点。这个边界平衡点的生态学解释是:当缺乏捕食者时,食饵种群达到它的环境承载能力 [6]。平衡点
将x轴正轴分成两个部分,这两个部分是
的两个稳定流形,并且在G的内部,存在
的唯一不稳定流形。
不失一般性,假设点
是系统(4)的任意正平衡点,则
是方程
(5)
在区间
上的根。由于系统(4)的正平衡点个数由方程(5)在区间
上的根的个数决定,并且我们注意到,方程(5)在区间
上可能有一个、两个或三个正根,则系统(4)在区间
上可能有一个、两个或三个正平衡点。系统(4)在正平衡点
处的雅可比矩阵为
(6)
并且雅可比矩阵的行列式和迹分别为
(7)
(8)
当
时,
是一个退化平衡点;当
时,是一个基本的平衡点;当
时,
是一个双曲鞍点。
3. 主要结论及证明
类似于参考文献 [7],考虑系统(4)的平衡点个数,我们能够得到下面的结论。
引理1:令
,
。
1) 如果
,则系统(4)有一个唯一的正平衡点
,它是一个基本的平衡点,并且是一个反鞍点;
2) 如果
,并且
2.1)
,系统(4)有两个正平衡点:一个是基本的反鞍平衡点
,另一个是退化平衡点
;
2.2)
,则系统(4)有唯一的正平衡点
,它是一个退化平衡点;
3) 如果
,
和
,则系统(4)有三个正平衡点
,
,和
,它们都是基本的平衡点,并且
是一个鞍点。
引理1的证明:对于引理中的情形1),唯一的正平衡点的稳定性容易证明。本文只证明引理中的情形2.1)。
首先寻找一些参数,使得系统(4)有一个非双曲平衡点
,且
,和一个退化平衡点
,且
。
我们能够验证,如果
,则
(9)
其中,
,如果
,
,
,则系统(4)可以简化为其等价系统。
(10)
解得系统(10)有两个正平衡点
,
。
定理1:如果
,且
,则系统(4)有两个正平衡点:
a)
是一个多重数为1的不稳定多重焦点;
b)是一个余维为2的尖点。
定理1的证明:如果
,且
,则系统(4)化为等价系统。
(11)
系统(10)有两个正平衡点
和
。
a) 令
,将点
转化为原点,系统(11)围绕原点的泰勒展开形式为
(12)
(13)
对(12)和(13)作变换:
(14)
则系统(12)和(13)可以化为其等价系统
(15)
其中,
(16)
(17)
Liapunov常数 [8] [9] 为
(18)
其中,
,由于
,则
是一个多重数为1的不稳定多重焦点。
b) 作变换:
(19)
则系统(15)简化为其等价系统
(20)
作变换:
(21)
则系统(20)可以化为等价系统
(22)
在原点
的一个小邻域内作变换:
(23)
则系统(22)可以化为等价系统
(24)
其中,
,因为
,所以平衡点
是一个余维为2的尖点。定理得证,从而引理中的2.1)得证,即
时,系统(4)有两个不同的正平衡点:一个是基本的反鞍平衡点
,另一个是退化平衡点
。
致谢
感谢审稿老师及编辑老师提出的宝贵意见。