1. 引言
4球正交,球心间的垂心四面体构成的4个球心点(球)、6个两球间连线(勾股定理)、4个3球心所围面(面积勾股定理 [1] )、1个4球心所围体(四维体积勾股定理 [2] )均有各自的垂心。那么这15个垂心间的间距除了用2点坐标的距离公式计算外,是否能摆脱坐标,直接用垂心球距离公式计算呢?垂心球与重心球 [3] 间关系如何?
2. 垂心球球心间存在间距公式的证明
4球正交,根据勾股4态 [3],以及垂心四面体垂心的性质 [4] 共有15点垂心球球心(4点与球心共点、6点为2球心间连线的射影点、4点为3球心所围面的垂心、1点4球心所围体的垂心),15个垂心球间距数量根据等差求和公式为:
共有105个间距,这105个间距可摆脱坐标,直接用同构的垂心球球心间距公式计算:
2.1. 3个公式(2点垂心距离;同态重心与垂心间距;垂心球半径)
2.1.1. 正交4球间15点垂心任意2点距离公式
定义:正交4球心间勾股4态存在15点垂心,任意2垂心间距的平方,等于2垂心球半径的平方和与2倍的2垂心球的平方积与2垂心球交集垂心球平方的倒数积之差。其公式为:
(1)
(这里:
为15点中任意2点垂心距离的平方,
为2垂心球的平方和,
为交集垂心球的平方的倒数;下标:H为垂心,
)
2.1.2. 正交4球间15组垂心与重心的间距公式
定义:正交4球心间勾股4态存在15点垂心和15个重心,同态的15组垂心与重心的间距为:相对应的重心球半径 [5] 与垂心球半径的平方差。其公式为:
(2)
(这里:
为同态15组重心与垂心间任意一组间距的平方;
为同态重心球半径与垂心球半径的平方差,下标:G为重心、H为垂心,
)
2.1.3. 一至四维同构的垂心球半径平方公式
定义:一至四维垂心球的平方等于并集球球心间无系数的场方程 [3] 的倒数与并集一维球半径平方积。其公式为:
(3)
这里下标
;
;上标
。
例:
· 4个一维垂心球:
因球心与垂心共点,4个一维垂心球平方分别为:
;
· 6个二维垂心球:
6个二维垂心至两端相关球面距离的乘积为:
· 4个三维垂心球:
4个三维垂心至3球面2交点距离的乘积为:
,
这里:
,
,
,
(下同)
· 1个四维垂心球,
这里:
(下同)
其四维垂心至4组3球面2交点距离距离的乘积为:。
2.2. 在欧氏空间,建立正交4球间15点垂心,以及8点3球面交点,共23点坐标
建立坐标的目的,主要用于验证公式(1),最终达到摆脱坐标,用垂心球公式计算垂心间距。
2.2.1. 设15点垂心以及8点3球面交点坐标及垂心球半径符号
所设:一至三维垂心坐标(除了H外)见图1,以及垂心球半径见表1。
Figure 1. Symbolic expansion of point, line and surface projective coordinates
图1. 点、线、面3态垂心坐标符号展开图
2.2.2. 计算15点垂心坐标和8点球面交点坐标
· 4点一维球垂心坐标,因球的球心与垂心共点。4球心即4垂心
坐标。详见表1。
· 6点二维线垂心坐标计算:
例:计算
坐标。
建立球心2点直线参数方程为:
,
Table 1. 15-Point projective coordinates and the square of radius of projective sphere
表1. 15点垂心坐标和对映的垂心球半径的平方
表内:D坐标在第7象限。,
;
;
;
;
。
建立
参数球面联立方程,求参数t为:
将参数t代入上式:
⇒得坐标:
同理:可得其它5点
坐标。详见表1;
· 4点三维面垂心坐标(见表1)计算:(8点3球面交点坐标见表2)
例:计算
和
三点坐标。
根据A,B,C联立3球面方程可得球面2交点,以及2点间中点为该平面的垂心
坐标:
⇒得
,
,
式内:
;
;
;
;下同。
(上述3点与过D的垂线共线,近D点的内凹点为
,远D点的外凸点为,坐标
)
同理可得其它9点
坐标。详见表1。
· 球心构成的垂心四面体的垂心坐标计算:设:H坐标为:
建立
2点直线参数方程:
Table 2. The projective spheres at the intersection point of eight spheres are all zero relative to the projective spheres at the intersection of three sphere centers
表2. 8点3球面交点坐标,相对于3球心交平面的一至三维垂心球,球面8交点的垂心球均为零
表内:下标:−内凹为负,+外凸为正;
,
。
,
(4)
这里:
;
;下同
建立
2点直线参数方程:
,
(5)
2参数方程,公式(4)与公式(5)之差为公式(6),求参数
。
⇒得
(6)
再将求得的参数
代回公式(3);
或将参数
代回公式(5),
均得相同的垂心坐标:
。
2.2.3. 根据正交4球心勾股4态 [3] (点、线、面、体)的垂心代数坐标及对应的垂心球半径的平方列表
根据正交4球心构成的垂心四面体性质 [4],计算得出的(点、线、面、体)的15点垂心垂心坐标及对映的垂心球半径平方列表1;以及8点3球面交点坐标均为8原点列表2如下。
3. 验证公式(1)、公式(2)
根据上述坐标,用2点坐标的距离公式验证垂心球距离公式(1)如下:
3.1. 一维至四维垂心自身距离为零
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.2. 任意一维与对平面7点因无交集球,其倒数为零,距离的平方为2垂心球半径的平方和
以D点与对平面
7点距离为例:
3.2.1. D点与对平面3个一维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.2.2. D点与对平面3个二维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.2.3. D点与对平面1个三维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.3. 任意一维与除了对平面7点外其它7点垂心距离的平方
以D点与除对平面其它7点
间距平方为:
3.3.1. D点与除对平面外,另3个二维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.3.2. D点与除对平面外,另3个三维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.3.3. D点与除对平面1个四维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
同理可得:A点、B点、C点与其它14点距离(略)。
3.4. 验证任意二维与除了4点一维外的10点距离的平方
以对
3.4.1. HAB点与对棱1个二维垂心HCD间距平方,因交集球倒数为零,距离的平方为两球半径的平方
与
因对棱无交集球,其距离的平方为2垂心球半径的平方和
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.4.2. HAB点与其它4个旁棱二维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.4.3. HAB点与4个三维垂心间距平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
3.4.4. HAB点与1个四维垂心间距平方(任意二维与四维垂心间距均相同)
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
同理可得:
点与其它点距离(略)。
3.5. 验证任意三维与四维垂心距离的平方
(2点坐标距离公式)
(垂心球距离公式)
同理可得:
点与H点的距离(略)。
3.6. 论4球面均为原点,以及勾股4态的15个垂心球构成的证明, 同时验证8原点垂心球为零公式
正交4球存在4组3球面8交点即为8原点,8原点的垂心球半径均为零,一至四维15个垂心至每组凹凸2原点距离的乘积等于该组垂心球半径的平方;
3.6.1. 一维垂心球:(正交4球面,每球面均处处为原点)
4球心除了对平面外,与相邻3组3球面6交点每组凹凸2点的乘积相同为一维垂心球半径的平方。
例:
(7)
验算:用2点坐标计算距离:
验算:用垂心球公式计算距离:A与原点无交集球
上述验算两边开方,即得公式(7)。
同理可得其余3组一维垂心球等式为:
3.6.2. 二维垂心球:(正交两球形成2正交圆环,圆环处处为原点)
6个二维垂心球,每个垂心各有3组两端的乘积相同为二维垂心球半径的平方。
例:
(8)
验算:用2点坐标计算距离:
验算:用垂心球公式计算距离:
与原点无交集球
上述验算两边开方,即得公式(8)。
同理可得其余5组二维垂心球等式为:
3.6.3. 三维垂心球:(正交3球面交2点为原点)
4个三维垂心球,每个垂心各有4组两端的乘积相同为三维垂心球半径的平方。
(9)
验算公式(9):
用2点坐标式
用垂心球距离公式:
上述验算两边开方,得公式(9)
同理可得其余3组三维垂心球等式为:
3.6.4. 四维垂心球:(4组8点正交3球面点为8原点)
(10)
验算1:H至3球面2交点距离的乘积:
用2点距离公式:
用垂心球距离公式:
因8原点均系3球正交原点,8原点垂心球为零适用3维以下,一般四维垂心点不可直接使用。分析
2点间距,因
5点均在过顶点D的垂线上。且:
;
而
两边开方
,
另:
两边开方
这样:
同理:可得(略)
验算2:H至球心及其对平面垂心距离的乘积:
两边开方
同理:可得
(略)
通过上述验算:证明了公式(1)成立,同时佐证了勾股四态垂心球的构成。
3.7. 验证公式(2)
用垂心球球心坐标和重心球球心坐标 [3],用2点坐标的距离公式验证同态重心与垂心距离公式(2)即:论勾股四态15个重心球球心与同态的15个垂心球球心间距的平方,为重心球半径的平方与垂心球半径的平方差。
验证如下:
3.7.1. 4组同态一维重心与垂心共点,间距为零
同理可得其余:
,
,
。
3.7.2. 6组同态二维重心与垂心间距
(2点坐标距离公式)
(2球半径的平方差距离公式)
同理可得其余
二维重心与垂心距离的平方。
3.7.3. 4组同态三维重心与垂心间距
(2点坐标距离公式)
(2球半径的平方差距离公式)
同理可得其余3组
三维重心与垂心距离的平(略)
3.7.4. 1组同态四维重心与垂心间距
(2点距离公式)
(2球半径的平方差距离公式)
通过上述验算:公式(2)成立。
同时也佐证了重心球 [5] 和垂心球半径公式(3)的确立。
4. 总结
通过上述用垂心球计算垂心间距公式、勾股四态一至四维同构的垂心球半径公式、以及同态重心与垂心间距公式的验证。我们得出如下结论:
4.1. 正交4球的各球面均为原点,4组3球面交的8原点,其垂心球或重心球半径均为零
4.1.1. 一维点态球面均为原点
一维点态正交的球面中任意点均为原点,4球面均有无数原点;
4.1.2. 二维线态球面正交圆环为原点
二维线态球面正交圆环任意点均为原点,4球正交球面形成6个正交圆环均有无数原点;
4.1.3. 三维面态球面正交有2个3球面交的原点
三维面态3球正交,有2个3球面正交的原点;
4.1.4. 四维体态正交有8个3球面交的原点,4组球面交点连线交于垂心
四维体态4球正交,有4组3球正交,3球面交8点均为原点;4组球面交点连线相交于垂心。
4.2. 正交4球15个垂心球存在105个垂心间距可分3类
4.2.1. 相间垂心间距为垂心球半径的平方和有25组
正交4球15个垂心中相间的垂心因无交集垂心球,其间距的平方为2垂心球半径的平方和;如:各球心与对平面7点垂心以及对棱二维中点垂心间距平方,均为2垂心球半径的平方和;例:
;
等。
4.2.2. 相邻垂心间距为2垂心球半径的平方差有50组
正交4球15个垂心中相邻的垂心因交集垂心球与低维垂心球半径相同,其间距的平方为低维垂心球半径与高维垂心球半径的平方差;如:四维垂心H与其它14点垂心均相邻,例:
;
;
4.2.3. 其余非相间相邻的二维、三维垂心间距有30组
剩余的30组非相间也非相邻的垂心间距,套用垂心球计算垂心间距也很方便。例:
;
,
4.3. 正交球垂心间距以及同态重心与垂心间距计算,摆脱了坐标
4.3.1. 勾股4态105种垂心间距可摆脱坐标计算
正交4球勾股4态球心间15点垂心的105间距,以及8点3球面交点与垂心间距,均可摆脱坐标利用公式(1)计算。
4.3.2. 垂心间距公式可摆脱坐标,推广至4球面交8原点至各垂心间距
正交4球勾股4态球面8原点与垂心间距也可利用公式(1), 15点垂心间的105间距,以及8点3球面交点与垂心间距,均可摆脱坐标使用公式(1)计算。
4.3.3. 同态15组重心与垂心间距为两球半径的平方差
同态重心与垂心间距,利用垂心球以及重心球半径,利用公式(2),可直接得出平方差间距。
4.3.4. 垂心球公式可推广至任意有限高维
垂心球公式(3),更可以向任意有限高维拓展。