1. 预备知识
设
是单位圆盘
上的复值调和映射
组成的函数类,其中h和g是D上的解析函数,分别称为f的解析部分和反解析部分,
,
。h和g有级数表示
调和映射
的Jacobian矩阵为
。如果对任意
,都有
,则称f在D中是保向的 [1] 。由Lewy [2] 的结果,可得
是f局部单叶并且保向的一个充分必要条件。而
在D中保向当且仅当
,其中
在D中解析,且
。
称函数
为f的解析伸缩。
条件
是凸区域上的解析函数f单叶的充分条件,参见( [3] 定理2.16)。对满足条件
的函数f的最早的研究是Alexander的论文 [4] 。Alexander证明了:如果f在D中是解析的且
将D映射到边界为一条通过原点的直线的半平面,那么f就是单叶的。Noshiro ( [5] , p. 151)和Warschawski ( [6] , p. 312)分别证明了
是f在任意凸区域内单叶性的一个充分条件。事实上满足条件
的函数是接近凸的( [3] , p. 46)。
令R表示D中满足条件
的解析函数类,且满足规范化条件
和
。由Noshiro和Warschawski的结果,R中的每一个函数都是单叶的 [4] 。在文献 [7] 中,作者研究了函数类
显然R是
的子类。文献 [7] 主要讨论了
中函数的如下性质:偏差定理,凸半径,部分和的接近凸性,极值函数,幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。本论的目的是把文献 [7] 中的结果推广到调和映射。
函数类
到调和映射的一个自然的推广是类
如果
,即存在
,使得
,则称
为f对应的旋转角。如果
,显然有
并且对每一个
,
。利用上述性质,本文讨论H
中映射的如下性质:偏差定理,凸半径,部分和的接近凸性,极值函数,幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。
2. 偏差定理
定理2.1 如果
,且对应的旋转角为
,那么
(1)
证明:因为
,且对应的旋转角
,即在D中
,这等价于对每一个
有
,也就是
。由文献 [7] 中的定理1.1,有
因此
通过考虑函数
,可知定理中的所有估计都是强的。
下面的结果利用估计(1)得到。
推论2.1 调和映射
将单位圆盘D映到包含圆盘的区域上,其中
是f对应的旋转角。
3. 凸半径
本节首先介绍一个引理,这个引理为( [1] , p. 38)中的定理。
引理3.1 设
在D中调和并且局部单叶。那么f是单叶的并且它的象域是凸的当且仅当对每一个
,解析函数是单叶的,并且它的象域在水平方向是凸的。
定理3.1 调和映射
,将
映到一个凸区域上。
证明:假设
,且对应的旋转角
。设
,这里
。 显然有
。由( [7] 定理2.1),
将
映射到一个凸区域上。
是D上的凸函数,由引理3.1,
是D上的凸调和映射,即调和映射f将
映到一个凸区域上。
对于函数
,有
,
式子右端当
是为0。因此,这个函数不会把比
大的一个圆盘
映到一个凸区域上。
4. 部分和的接近凸性
定理4.1 设调和映射
,
,那么
在
中是接近凸的,其中
。这个结果是强的。
证明:假设
,且对应的旋转角
,那么对每一个
,
。
由( [7] 定理3.1),可得在
中有
,这就蕴含了
所以
在
中就是接近凸的。
5. 极值性质
设
,
。
定理5.1 设
且
。
在
中函数的象域面积的最大值由解析函数
取得。
证明:假设
且
,那么
。设
(
,
)分别是
在f (或h,或
)下的象。由( [7] 定理5.1)的证明,我们有
定理证毕。
6. 幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的调和映射
定理6.1 设
,且对应的旋转角
,那么
(2)
(3)
证明:假设
,且对应的旋转角
,那么对于任意的
,
。由( [7] 定理5.1),定理得证。
应用定理6.1,对H中满足
的调和映射,从(2)和(3)可得
由上式的下确界可得如下结果。
推论6.1 如果
,对应的旋转角
,且满足
,那么其象域覆盖圆盘
。
下面这个结果是定理5.1和( [7] 定理5.2)的推广。
定理6.2 设
和
。
在
中函数映射下的象域的面积最大值由
取到。函数
取到
在
中函数的映射下象的长
度的最大值。
基金项目
本论文由河北省自然科学基金(No. A2018201033)支持。
NOTES
*第一作者。