1. 引言
古典概型在概率论中占有十分重要的地位,它的计算方法在许多实际问题的研究中有很广泛的应用。Polya罐子模型是古典概型中一类很重要的模型, [1] [2] [3] 用古典概率的方法讨论该模型相关问题,但很少有文献资料用转移概率的思想讨论该模型相关问题,最多也只限于转移矩阵的讨论,目前, [4] 应用Chanpman-Kolmogorov方程讨论了一个古典概型问题。众所周知,转移概率是马尔可夫链中重要的概念,在实际问题中也常常遇到作随机运动的系统。马尔可夫模型是描述这类系统的有力工具,且它也是一类最简单的随机过程,它在自然科学和社会科学的各个领域都有重要的作用。其研究对象为一个系统的状态和状态转移。因此对事物不同状态的研究需要状态之间的转移概率来描述。
2. 定义和性质
2.1. 相关定义
定义2.1.1:随机过程
称为马尔可夫链,若它只取有限或可列个值,并对任意的
及任意状态
,有
(1)
其中
表示过程在时刻n处于状态i,称
为该过程的状态空间,记为S。
注:(1)刻画了马尔可夫链的特性,称为马尔可夫性。
定义2.1.2:称
为马尔可夫链
的一步转移概率,简称转移概率。
定义2.1.3:若对任何状态
,
只与
有关而不依赖于n,则
为时齐马尔可夫链,否则称非时齐马尔可夫链。
定义2.1.4:称
为马尔可夫链的n步转移概率。
2.2. 转移概率的性质
性质2.2.1:
。
性质2.2.2:
。
证明:
下面我们导出转移概率的2个性质,
性质2.2.3:
。
证明:
类似于性质2.2.3,我们不加证明给出下面的性质,
性质2.2.4:
。
3. 应用
Polya罐子模型是概率论中的一个重要模型, [1] 对该模型问题从古典概率角度作了详细的论述。下面,我们从转移概率的角度探讨该模型相关问题。
例3.1:(Polya罐子模型)设罐中有b个黑球、r个红球,每次从罐中随机摸出一个球,观其颜色后放回,并加入c个同颜色的球。如此重复下去,在n次摸球中,恰好取出
个黑球,
个红球的概率。
解:设
表示第n次试验结束时罐中黑球的个数,注意到,每取放一次后,黑球数或者保持不变,或者增加c个,因此其一步转移概率为
又,
注意到
(2)
(2)说明,罐中黑球数一定时,概率与取黑球白球的次序无关。依次类推,交换黑球白球次序,使前
次全为黑球,后
次为红球,则
根据上面分析,与取黑球红球的次序无关,因此
根据性质2.2.3,Polya罐子模型有如下结论
命题3.2:
,其中
表示前n次取球中出现k个黑球的概率,规定
。
证明:设
表示第n次试验结束时罐中黑球的个数,则
根据性质2.2.3,有