1. 研究背景
梯度估计是研究偏微分方程解的重要工具之一。历史上,S. T. Yau [1] 证明了一个全局梯度估计:对于
维的具有下界的Ricci曲率(即
,这里整数
)的黎曼流形上的正调和函数
(即
),我们有
。在此基础上,对椭圆方程的梯度估计进行了研究。举几个例子,L. Ma [2] 推导了下列椭圆方程的局部梯度估计:
(1.1)
这是从在
和
为常数的黎曼流形上的Ricci孤子的势推导出的。2017年,B. Ma,G. Huang和Y. Luo [3] 证明了在完备黎曼流形上对于
的正解的梯度估计,其中
,
是两个实常值,并且
。
-Laplacian是Laplace-Beltrami算子的自然类比,它由
函数
定义:
Bakry-Émery Ricci曲率定义为:
K. Brighton [4] 研究了下列方程的正解的梯度估计:
(1.2)
并且得到了Liouville定理:在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上,具有正边界的
-调和函数(即
)是常值。此外,G. He和S. Zhang [5] 证明了在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上的
-调和函数新的梯度估计。
受这些工作的启发,我们考虑了一个
维完备黎曼流形上的二阶椭圆偏微分方程
:
(1.3)
这里
,
,
。很明显,公式(1.3)是(1.1)和(1.2)的一般化。
本文的主要研究成果如下。首先,我们证明了(1.3)的正解的局部梯度估计。
定理1.1:假设
是一个
-维黎曼流形,在
上对于
,有
。这里
,且
是公式(1.3)的正解。则存在正常值
和
使得对于任意常数
,我们得到在
上,有:
(1.4)
特别地,在
上,有:
(1.5)
在
上,对于正常值
,
,
,
,
和
,我们假设
,
,
,
,
,
,
。
2. 理论基础
这部分内容,我们主要是陈述由E. Calabi [6] (同样参考 [2] [7] )提出的关于cut-off函数的一些结论。选择一个
函数
使得对于
有
,并且对于
有
。此外,对于常值
和
,有
且
在一个
-维黎曼流形
上,假设
是对于固定点
的一个距离函数。对于任意的
,我们定义cut-off函数:
。不失一般性,我们假设在
内具有支撑集的函数
是
的(参考E. Calabi [6] )。
通过计算可以得到,在
上,
(2.1)
并且
(2.2)
如果对于一些非负常数
,有
,并且
,那么由
-Laplacian比较定理(参考 [8] [9] )可以推出:
(2.3)
这里
。
因此,我们可以从公式(2.2)和(2.3)中得出
(2.4)
3. 梯度估计
在这章我们会证明定理1.1。首先需要得出两个公式。
引理3.1:假设
是一个
-维黎曼流形,它满足在
(
)上,对于
,有
。函数
是公式(1.3)的一个正解。如果
,我们有:
(3.1)
并且
(3.2)
证明:通过
和(1.3),我们有
根据柯西不等式,可以得出
也就是,
(3.3)
通过直接计算可以得到
第二个等式用到了Bochner公式,最后不等式用到了公式(3.3)。
现在开始证明定理1.1。
定理3.2:假设
是一个
-维黎曼流形,它满足在
(
)上,对于
,有
。函数
是公式(1.3)的一个正解。对于任意的常数
,在
上,有:
(3.4)
特别地,在
上
(3.5)
在
上,对于正常值
,
,
,
,
,
,我们假设
,
,
,
,
,
,
。
证明:与第二部分中的内容类似,选择cut-off函数
,我们有
(3.6)
这里用到了引理1。
定义
,假设
是
的最大值点。我们可以分两种情况讨论:
情况1:
。这种情况下,为了简便我们记
在点
,在公式(3.6)两边同时乘以
,应用公式(2.4),对于任意的
,可以得到
(3.7)
这里用到了柯西不等式和公式(2.1)。
我们可以得到
(3.8)
即在点
,有
(3.9)
回想这样一个结论:对于一些
,如果
,则
因此,我们可以从公式(3.9)得出
的一个上界。在点
,
(3.10)
注意到
从公式(3.10)可得,在
上:
(3.11)
情况2:
。在这种情况下,
,且
。
运用公式(3.6),在点
有:
(3.12)
另外,我们得到
(3.13)
与情况1的证明过程类似,可以从公式(3.13)推出
的上界。在
上,
(3.14)
根据公式(3.11)和(3.14),很快能得到公式(3.4)和(3.5)。