1. 引言
1.1. 研究背景
设
为正整数,满足
。一个设计
或t-设计
定义为符合以下条件的一对符号
,满足:
1)
是有v个点的有限集,
的元素为点;
2)
是
的一组k-子集,
的元素称为区组或区;
3)
的任意给定的t-子集都恰好包含在
的
个区组之中。
这里r是过一个点的区的个数,b是区组的总数。我们总假设B的成员都不相同,即B中的区组不允许重复出现,称
为设计D的参数。当
时,称t-设计
是非平凡的。
设计
的一个旗是指点–区对
,这里
,
且
。
,若G在
上的作用是本原的,称G是点本原的。若G在
的旗的集合上是传递的,称G或者
是旗传递的。
1988年,P. H. Zieschang [1] 已经证明若G是一个旗传递
设计的自同构群且
,T是G的一个极小正规子群那么T是仿射型或者几乎单型。Regueiro [2] 证明了当
时,G是仿射型或者几乎单型。当
时 [3] [4] ,可以得到相同的结果。2013年周胜林和田德路 [5] 证明了若G旗传递、点本原作用在
上且
,则G是仿射型或者几乎单型。最近梁洪雪和周胜林 [6] 分析了
是非对称的情况,并证明了一个旗传递、点本原、非对称
设计的自同构群是仿射型或者几乎单型。
本文研究了旗传递、点本原
设计当
且自同构群G为Suzuki群时的情况,得到如下结果:
设D是一个非平凡的
设计,其中
,若
是D的旗传递、点本原的自同构群。则D是一个
设计,且。
1.2. 预备知识
引理1: [7] 若是一个设计。则下面式子成立:
1);
2);
3)。
引理2: [8] 设是一个设计,,对任意的和,则G在上旗传递等价于下列的条件之一:
1) G是点–传递的,并且在P(x)上传递;
2) G是区–传递的,并且在B上传递。
引理2: [8] 设是一个设计且是旗传递的,则,其中。
引理4: [9] 设,e是一个正整数,则,。
证明:,得到。由,得到。
,得到。
2. 定理1的证明
设是一个满足的设计,是旗传递、点本原的群,且。,其中。G的极大子群的阶有4种情况,分别是、、和。其中并且。现在我们来讨论点稳定子群的阶在4种情况下,设计是否存在。
引理5:是一个满足的设计,是旗传递、点本原的群,且。若,则D是一个设计,且。
证明:,则
由于G是旗传递的,并且,可以得到
由于,则必存在G的一个极大子群L,使得。
首先假设,则,因此。
由于G旗传递,可以得到。而。故。
若,则,其中i是自然数,由可以得出k = 2与非平凡矛盾。
若,则,得出或者。否则,则且,此时可以得到且,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者。
若,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,k = 3。即,得出,又,得出。与引理4矛盾。
若,则,其中j是自然数,,由于,得出j = 0,k = 4。已知G在v个点上是2-传递的 [10] ,则
因此。记Q是包含一些区的集合,且Q里的区均包含和。则。
现在证明存在,使得。否则不固定Q中任一个区,则在Q上传递,且。又。与引理4矛盾。所以一定存在,使得。
已知半正则作用于 [10] ,则,任取。故,得出,则。与k = 4矛盾。
若,则,得出或者。否则,则且,此时可以得到且,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者。
若,则,其中j是自然数,,由于,得出i = 0,k = 6,与矛盾。
若,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,k = 5。即,得出,又,得出。与引理4矛盾。
若,则,得出或者。否则,则且,此时可以得到且,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者。
若,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,,k = 3。即,得出,又,得出。与引理4矛盾。
若,则仿照证明的方法可得k = 4,此时。
现在证明存在,使得。否则不固定Q中任一个区。此时的轨道长度可能为2,3,4,6,都不能整除,得出矛盾。所以一定存在,使得。
已知半正则作用于,则,任取。故,得出,则。与k = 4矛盾。
若,则,得出或者。否则,则且,此时可以得到且,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者。
若,则,其中i = 1,2,j是自然数,,由于,得出i = 0,k = 3。,若k = 3,则,得出,又,得出。与引理4矛盾。若k = 9,则,得出,又,得出。与引理4矛盾。
若,则仿照证明的方法可得k = 4。即,得出,又,得出。与引理4矛盾。
若,则,得出或者。否则,则且,此时可以得到且,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者。
若,则,其中j是自然数,,由于,得出i = 0,k = 6,与矛盾。
若,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,k = 5。即,得出,又,得出。与引理4矛盾。
若,则,得出或者。否则,则且,此时可以得到且,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者。
若,则k = 7,显然。得出矛盾。
若,则k = 8。当q = 8时,v = 65,r = 64,b = 520。接下来利用Magma [11] 验证存在参数组为(56, 65, 520, 64, 8, 7)的设计。
利用指令Primitive Group (65, 3)可返回本原群库中作用在65个点上排在第3个位置的本原群,即Sz(q)。
由于G是旗传递的,则,故必存在指数为b的子群。利用指令Subgroups (G: Order Equal: = n),其中,可得到G的指数为b的子群,符合条件的子群又1个,即为。
由于在B上是点传递的,则,则中至少存在一个长度为k的轨道。利用指令可知有1个长度为k即8的轨道,记这个轨道为
。
由于G在上是区传递的,对于必有。利用指令可知轨道O符合条件。利用指令,返回(65, 8, 7)。可知参数组(56, 65, 520, 64, 8, 7)是我们要找的符合条件的参数。
其次,设。则,可以得到
当且时,,可得
此时,因此,可得,故q = 8,32。当q = 8时,。当q = 32时,。存在矛盾。
当时,若,则可得出矛盾。若,则,此时,因此,可得,得到q = 8,32,512,在这三种情况下均可得到,得出矛盾。
第三,设,则可以得到。
当且时,,可得。此时,因此,可得,不存在正解,得出矛盾。
当时,若,则可得出矛盾。若,则,不存在正解,得出矛盾。
最后,设。则可以得到。
当且时,,可得。此时,故。又,得到,推出m = 3。事实上,得出矛盾。
当时,若,则可得出矛盾。若,则。又,得到,事实上得到,推出m = 3。但是,得出矛盾。
引理6:是一个满足的设计,是旗传递、点本原的群,且。则。
证明:假设存在点稳定子群使得,已知,即。又则。。则。即,得出。故q = 8,32。
当时,即。
若,则,故r = 13,26。已知,可以算出b不是整数,得出矛盾。
若,则,故r = 13,39。若r = 39,可以算出b不是整数。若r = 13,则。而G的极大子群的阶只能为448,52或20。并且G是旗传递的,与矛盾。
若,则,故r = 13,26,52。若r = 13,26,可以算出b不是整数。若r = 52,可以算出k不是整数,得出矛盾。
若,则,故r = 13,65。若r = 65,可以算出b不是整数。若r = 13,则。由在B上传递可知,但是。得出矛盾。
若,则,故r = 13,26,39,78。若r = 13,26,78,可以算出b不是整数。若r = 39,则不是整数,矛盾。
若,则,故r = 13,91。可以算出b不是整数,得出矛盾。
若,则,故r = 13,26,52,104。可以算出b不是整数,得出矛盾。
若,则,故r = 13,39,117。可以算出b不是整数,得出矛盾。
若,则,故r = 13,26,65,130。可以算出b不是整数,得出矛盾。
当时,,即。
通过计算可得,当时,b均不是整数,得出矛盾。
引理7:是一个满足的设计,是旗传递、点本原的群,且。则。
证明:假设存在点稳定子群使得,已知,即。仿照上一引理可得
。
故,由,可以得到,与矛盾。
引理8:是一个满足的设计,是旗传递、点本原的群,且。则。
证明:假设存在点稳定子群使得,则
由得出。则。
,又。可知。即。可以得到,从而,得出矛盾。
定理1的证明:利用引理5~引理8可以得到定理1。
致谢
本论文在写作过程中与张志林博士和张永莉博士进行了有益的讨论,在此表示感谢!论文还得到了广东省自然科学基金的资助。
基金项目
广东省自然科学基金(编号:2017A030313001)。