1. 引言
非线性发展方程是国内外研究的热点问题,Sharma-Tasso-Olver (STO)方程在数学和物理领域有着重要的作用,很多专家对其有深入研究。例如,文献 [1] [2] 运用Bäcklund变换求精确解。在 [3] 中介绍扩展双曲函数方法的STO方程的显式行波解。楼森岳等人 [4] 通过使用标准的截断Painlevé分析,Hirota双线性方法和Bäcklund变换方法彻底检查了孤子裂变和聚变。在 [5] 中,Yan通过使用两种类型的Cole-Hopf变换,研究了两类(2 + 1)维广义Sharma-Tasso-Olver积分-微分方程的可积性。他证明了这两个GSTO方程都拥有Painlevé属性和双哈密顿结构。另外,利用耦合Riccati方程方法 [6] ,修正最简单方程方法 [7] ,Exp函数方法 [8] [9] 和李对称分析求出STO方程精确解等 [10] [11] [12] 。
我们研究以下STO方程
(1)
其中
,
是任意常数。
本文首先对Sharma-Tasso-Olver方程进行了综述。第二部分运用行波变换,利用
方法 [13] [14] [15] 和齐次平衡原理 [16] [17] 将原方程约化成常微分方程,求出方程的三角函数解,双曲函数解和有理函数解。第三部分利用拟设双曲函数的行波变换得到方程的孤子解 [18] [19] 。
2.
方法
对于方程(1),我们进行行波变换:
,
,
得到约化的常微分方程:
积分一次为:
(2)
我们假设方程(2)有以下形式的精确解 [14] [15] [16] :
(3)
其中
为任意常数,m为正整数,
满足以下辅助常微分方程:
(4)
从辅助方程(4)中我们可以得到不同的精确解。
把(3)和(4)带入(2),利用齐次平衡原理可以得到
,则方程(1)的解可以表示为:
(5)
把(4)和(5)带入(2),收集
,
的系数,令其系数方程等于0,可以得到关于
的超定方程组:
(6)
(7)
(8)
(9)
求解(6)~(9),得到两组解分别为:
情况1:
,带入方程(5),得到五种不同的解为:
① 当
,且
时,
;(如图1)
② 当
,且
时,
;(如图2)
③ 当
,且
时,
;(如图3)
④ 当
,且
时,
;(如图4)
⑤ 当
,且
时,
,(如图5)
其中
,
为任意常数。
![](//html.hanspub.org/file/7-2620847x53_hanspub.png)
Figure 1. Hyperbolic function solution
图1. 双曲函数解
![](//html.hanspub.org/file/7-2620847x56_hanspub.png)
Figure 2. Trigonometric function solution
图2. 三角函数解
![](//html.hanspub.org/file/7-2620847x59_hanspub.png)
Figure 3. Hyperbolic function solution
图3. 双曲函数解
![](//html.hanspub.org/file/7-2620847x62_hanspub.png)
Figure 4. Rational function solution
图4. 有理函数解
![](//html.hanspub.org/file/7-2620847x65_hanspub.png)
Figure 5. Rational function solution
图5. 有理函数解
情况2:
,带入方程(7),得到五种不同的解为:
① 当
,且
时,
;
② 当
,且
时,
;
③ 当
,且
时,
;
④ 当
,且
时,
;
⑤ 当
,且
时,
,
其中
,
为任意常数。
3. 拟设双曲函数法
假设方程有以下形式的解 [18] [19] :
,
, (10)
其中A和B是自由参数,p是固定参数,v是孤子速度。
由(10)可以得到:
(11)
(12)
(13)
(14)
把(11)~(14)带入方程(1),得到:
(15)
从(15)的指数可以得到
和
相等,得到
。代入(29)收集
的系数,令其系数方程等于0,可以得到:
或者
,
上式给出了自由参数A和B的关系,扰动孤子的速度v。我们就得到了方程(1)的1-孤子解:
。
4. 结论
本文运用行波变换、齐次平衡原理,利用
方法求出Sharma-Tasso-Olver方程的新显式行波解。这些解包括双曲函数解,三角函数解和有理数解。利用拟设双曲函数得到了方程的1-孤子解。