1. 引言
逆问题是Sturm-Liouville (S-L)理论体系中的一个重要组成部分,而其中一类很重要的研究内容就是S-L算子的逆谱问题。由于特征值是最易测取的物理量(在力学与振动问题中,它对应着物理模型中的固有频率),尤其在量子力学中,特征值(或称为本征值,点谱)是唯一可以观测到的物理量,它描述的是量子体系中的粒子处于某个状态时的能量,所以由怎样的纯特征值信息确定并重构S-L系统就显得尤为重要。
对于经典的S-L理论下的逆谱问题,是利用无穷多个谱点的信息来重构S-L系统。1964年,Atkinson提出了二阶的S-L问题在某些条件下可能存在有限谱 [1] 。2001年,Kong,Wu和Zettl证实了Atkinson论断的合理性 [2] ,由此展开了有限谱问题(也称为Atkinson类型问题)的研究。2007年,Volkmer和Zettl考虑了Dirichlet边界条件下具有Atkinson类型的S-L问题的逆谱问题 [3] ,虽然研究的边界条件极为特殊,但这一研究成果为后续逆谱问题的研究迈出了重要的一步。2009年,Kong,Volkmer和Zettl得到了自共轭边界条件下具有有限谱的S-L问题的矩阵表示 [4] 。2012年,Kong和Zettl得到了这类具有有限谱的S-L逆谱问题的结论 [5] ,他们利用 [6] 中矩阵逆特征值问题的结论并将其推广,给出Atkinson类型的S-L问题的逆谱问题。
2015年,闫军在其博士论文中详细介绍了具有分布势函数的S-L问题的有限谱理论 [7] ,给出了具有分布势函数的S-L问题的矩阵表示。2016年,唐松林在其硕士论文中也对具有分布势函数的S-L问题的多种带有转移条件的情况进行研究 [8] 。近年来,具有分布势函数的S-L问题引起了一大批数学工作者的关注与讨论,相关成果可参见 [9] [10] [11] [12] 。
2. 预备知识
本文主要利用具有分布势函数的Atkinson类型的Sturm-Liouville (S-L)问题与矩阵特征值问题
(1)
之间的等价关系。通过讨论矩阵的逆特征值问题,进而得到Atkinson类型的具有分布势函数的S-L问题的逆谱问题的结论。
考虑如下的S-L方程
(2)
其中,系数
满足
(3)
这里,
表示区间I上Lebesgue可积的实值函数的集合。
引入拟微分
将(2)写成
并考虑带有边界条件形如
(4)
其中,
表示
阶实值矩阵的集合。
众所周知,当满足下述条件
时边界条件(4)是自伴的。在本文的条件下,自伴边界条件可以化为两类:分离型和实耦合型。分离型自伴边界条件的标准形式为
(5)
而实耦合型自伴边界条件的标准形式为
(6)
其中,
表示满足
,
,
的
阶实值矩阵的集合。
定义2.1:若对于正奇数
,
,在区间
上存在一组划分
(7)
使得
(8)
(9)
并且
(10)
则称定义在
上的S-L方程(2)是Atkinson类型的。
若S-L方程(2)是Atkinson类型的,则称具有分布势的S-L问题(2),(4)是Atkinson类型的。
我们假定
且
。设
表示实值
矩阵的全体。对于任意矩阵
,我们定义
为矩阵C的特征值集合。此外,矩阵
表示矩阵C去掉第一行与第一列元素得到的低阶主子矩阵,矩阵
表示矩阵C去掉第k行与第k列元素得到的低阶主子矩阵。
对于任意矩阵
,若存在一个非平凡向量
使得
,则
称为矩阵对
的一个特征值。令
表示矩阵对
的特征值集合。容易看出,
当且仅当
,其中
表示
中的k阶单位矩阵。
3. 具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的矩阵表示
为了得到所研究问题的矩阵表示,需要引入下面的引理来确保每个Atkinson类型的S-L问题等价于一个具有分段常值系数函数的S-L问题。
引理3.1 [7] :设
满足(8)~(10)。令
(11)
定义在区间I上的分段常值系数函数
和
为
其中
等价于
。则具有分布势函数的S-L问题(2),(4)与下述具有分段常值函数的方程
(12)
以及同一边界条件(4)所构成的S-L问题(12),(4)具有相同的特征值。
根据引理3.1,我们可知当给定边界条件(4)和区间I上的一个划分,存在一类Atkinson类型的S-L问题与具有分布势函数的S-L问题(12),(4)具有相同的特征值。这样的一类问题我们称之为具有分布势函数的S-L问题(12),(4)的一个等价类,它们具有相同的参数
和
。
对具有分离型边界条件的S-L问题(2)和(5)与矩阵特征值问题之间的等价关系,我们给出下述引理。
引理3.2 [7] :若分离型边界条件(5)中
。定义
的Jacobi矩阵
(13)
以及对角矩阵
(14)
则具有分离型边界条件的S-L问题(2),(5)的谱
与矩阵对
的谱
相同。
注3.1:引理3.2的论述对于分离型边界条件
,
和
的情况同样成立,即:
,
,
,
,
,
,
,
,
。我们可得到与引理3.2相同的结论,具体引理内容可参见文献 [7] 。根据引理3.2的矩阵表示形式,可以得到
对具有耦合型边界条件的S-L问题(2)和(6)与矩阵特征值问题之间的等价关系,我们给出下述引理。
引理3.3 [7] :若耦合型边界条件(6)中
。定义
阶循环Jacobi矩阵
(15)
以及对角矩阵
(16)
则具有耦合型边界条件的S-L问题(2),(6)的谱
与矩阵对
的谱
相同。
引理3.4 [7] :若耦合型边界条件(6)中
。定义
阶循环Jacobi矩阵
(17)
以及对角矩阵
(18)
则具有耦合型边界条件的S-L问题(2),(6)的谱
与矩阵对
的谱
相同。
4. 矩阵的逆特征值问题
在本节中,我们研究Jacobi矩阵和循环Jacobi矩阵的逆特征值问题。利用引理3.2中的矩阵表示,我们首先考虑
中如下的对称矩阵
(19)
定义4.1:若
,则形如(19)的矩阵J称为负Jacobi矩阵。
引理4.1 [5] :设
和
是两组严格交错的实数,满足
(20)
设
是一个对角矩阵,其中
。则存在唯一的负Jacobi矩阵
使得:
,
。
推论4.1 [5] :当引理4.1中的
和
分别由
和
替代,则引理4.1依然成立。
推论4.2 [5] :当引理4.1中的
分别由
替代
,则引理4.1依然成立。
利用引理3.3,3.4中的矩阵表示,我们考虑下述属于集合
的对称矩阵
(21)
定义4.2:若
,则形如(21)的矩阵
称为负循环Jacobi矩阵。
引理4.2 [5] :设
和
满足下述条件:
i)
;
ii)
,
;
iii)
,对于
,
(22)
设
是一个对角矩阵,其中
。则存在唯一的负循环Jacobi矩阵
,使得
,并且:
,
。
推论4.3 [5] :当引理4.2中的
和
分别由
和
替代,则引理4.2依然成立。
推论4.4 [5] :当引理4.2中的
分别由
替代
,则引理4.2依然成立。
5. 主要结论及其证明
我们建立具有分布势函数的Atkinson类型的S-L问题(2),(4)的逆谱问题的结论。下述定理是关于分离型边界条件(5)的逆谱问题的结论。
定理5.1:设
和
是两组严格交错的实数,形如(20)。令
。则对于区间
上的任何划分(7),任何函数
满足(8)以及任何函数
满足(10),我们有以下结论:
a) 存在函数
满足(8)和(9)使得S-L问题(2),(5)及其等价类的谱为
b) 存在函数
满足(8)和(9)使得S-L问题(2),(5)及其等价类的谱为
此外,a)和b)中的结论在等价类意义下是唯一的。
证明:a) 对于区间
上的给定划分(7),定义:
根据(8),(10),
,
。因为
,根据引理4.1,存在唯一的负Jacobi矩阵
使得:
设:
根据(13),(14)和注3.1定义
和
。可知,
。容易推出:
,
。根据注2.1,我们得到
。因此,
根据引理3.2和注3.1,我们得到S-L问题(2),(5)的谱:
其中
,
的选取是唯一的,而且对于这样的选取所确定的所有函数
构成了S-L问题(2),(5)的一个等价类。证毕。
b) 证明方法与a)相同,只需利用推论4.1,引理4.1,引理3.2和注3.1即可,故省略证明细节。
下述定理是关于耦合型边界条件(6)的逆谱问题的结论。
定理5.2:设
和
是两组交错的实数,满足引理4.2的条件i)~iii)。
令
。则对于区间
上的任何划分(7),任何函数
满足(8)以及任何函数
满足(10),我们有以下结论:
a) 对于
,
满足
,
,并且存在函数
满足(8)和(9),使得S-L问题(2),(6)及其等价类的谱为
b) 对于
,
满足
,
,并且存在函数
满足(8)和(9),使得S-L问题(2),(6)及其等价类的谱为
证明:对于区间
上的给定划分(7),定义:
根据(8),(10),
,
。因为
,根据引理4.2,存在唯一的负循环Jacobi矩阵
使得:
设:
;则
。令
,则
。对于
,选取
使得
。由K定义一个耦合型边界条件(6),则:
根据(13),(14),(15),(16)和注3.1定义
和
。容易推出:
。
由注3.1,可得
。因此,
根据引理3.2和注3.1,我们得到S-L问题(2),(6)的谱为
而且得到的所有函数
构成了S-L问题(2),(6)的一个等价类。证毕。
b) 证明方法与a)相同,利用推论4.3,引理4.2,3.2,3.3和注3.1即可。证明细节略。
定理5.3:设
,
,
。设
和
是两组交错的实数,满足引理4.2的条件i)~iii)。令
。则对于区间
上的任何划分(7),任何函数
满足(8)以及任何函数
满足(10),存在函数
满足(8)和(9)使得,S-L问题(2),(6)及其等价类的谱为
证明:证明方法与定理5.2相似,利用推论4.3,引理4.2,3.2,3.4和注3.1即可。证明细节略。
基金项目
国家自然科学基金(11661059),内蒙古自然科学基金(2017JQ07)资助。