1. 引言
在航天工业、土木工程领域、工业流水线等方面,一维波动方程或弦方程可以模拟许多物理现象。因此,该模型在理论和实际应用领域都受到了广泛的关注。一般情况下,振动过大往往会降低系统的性能,因此系统的镇定变得非常重要。鉴于工程中易实现性,边界控制器是工程师首选的。在过去的二十年中,文献中出现了一系列关于一维波方程边界镇定的著作( [2] ),其中耗散理论对反馈控制律的设计起着重要的作用。当系统不稳定( [3] )或反稳定( [4] )时,Back-stepping方法可以用来实现镇定、观测器构造、输出调节等目的。
近年来,随着研究的深入,文献中出现很多PDE-ODE耦合系统相关的镇定工作。在 [5] 中,作者考虑了耦合ODE-弦系统的镇定问题,它模拟了塔吊上的平台和缆索的动力学行为。在 [6] 和 [7] 中Krstic等分别考虑ODE-弦和ODE-双曲型方程耦合系统。文献 [6] 的结果被推广到一个内部反阻尼ODE-系统和连通的诺伊曼系统中;另一个推广可以在文献 [8] 中找到,其中是应用于两个边值耦合的ODE-弦方程。上述的PDE-ODE耦合工作仅考虑了边界耦合系统。对于内部点耦合系统, [9] 对内部点耦合的二阶ODE-热系统设计了状态反馈控制器。类似的结果可以在 [1] 中找到,其所考察的是一维波系统。
在本文中,我们考虑以下耦合的二阶ODE-波系统:
(1.1)
其中
是一个给定的中间点,
和
是常数,
和
是测量值。设
,那么我们可以把系统(1.1)写为如下形式:
(1.2)
其中
本文的目的是设计一个输出反馈控制器来使整个闭环系统稳定,而状态反馈定律在 [1] 中已经设计出来。由文献 [1] 的引理2.1我们可以知道存在一个矩阵K使得
是Hurwitz的。
文章结构如下:在第二部分中,我们通过系统的输出给出控制器的设计,通过Back-stepping变换,我们证明了闭环系统具有唯一的解;第三部分,我们用Back-stepping逆变换证明了闭环系统的指数稳定性。
2. 观测器和控制器设计
首先,我们设计系统(1.2)的观测器如下:
(2.1)
其中
,
,
是待定的设计参数。令
和
代表误差,则
和
满足
(2.2)
我们定义状态空间:
内积诱导的范数如下:
众所周知,
-部分在状态空间中具有唯一的指数稳定解。即在此范数意义下,存在常数
,
,有
(2.3)
利用庞加莱不等式,我们有
(2.4)
对于系统(2.2)中的ODE-部分,这里存在唯一解
其中
(2.5)
,
是可调常数。很明显,对于这样选择的参数,
是Hurwitz的。从而
是指数稳定的。因此我们有如下引理:
引理2.1:假设
,
,
,那么对任意的初值
,系统(2.2)都有唯一的弱解
,并且系统(2.2)的解是指数稳定的。
受文献 [1] 的状态反馈控制器的启发,我们设计输出反馈控制器如下:
(2.6)
其中
是给定常数,
,
,
,
,
,
和
满足
(2.7)
这些函数在文献 [1] 中方程(16)~(20)已给出。
在控制器(2.6)之下,我们得到系统(1.2)的闭环系统为:
(2.8)
这里为了简便我们省略初值。
3. 闭环系统适定性与稳定性
引入误差变量
和
,我们可以重写系统(2.8)如下:
(3.1)
由引理2.1可知,
是指数稳定的。对于
,我们引用 [1] 中的Back-stepping变换(3)
(3.2)
于是系统(3.1)中
-部分满足
(3.3)
其中
(3.4)
由引理2.1知
指数衰减。也就是说,存在常数
,
,其中
是独立于初值,使得
我们在能量空间H中考虑系统(3.3)的PDE部分
(3.5)
定义系统(3.5)的算子:
(3.6)
简单计算表明A的对偶算子为
(3.7)
系统(3.7)中
与
做内积得到
(3.8)
其中
表示狄拉克分布。因此,系统(3.5)可以写成H上的抽象发展方程
(3.9)
这里
。众所周知,算子A在H上生成指数稳定的C0-半群,也就是说,存在
,
使得
(3.10)
接下来我们将证明算子B对
是允许的,只要证明
对
是允许的即可。系统(3.9)的对偶系统是
(3.11)
因为A生成C0-半群,所以
也能生成C0-半群,即系统(3.11)存在C0-半群解。对系统(3.11)定义能量函数如下:
将
沿系统(3.11)的解对t求导得到
(3.12)
对(3.12)中t从0到T积分,我们有
另一方面,直接计算可得
(3.13)
给出简单估计
(3.14)
因此,从H到C,
是有界的。这表明
对
是允许的,进而B对
是允许的。通过适定的线性无穷维系统理论( [10] ),若
,那么(3.9)存在唯一解
。
(3.5)的解可以写成( [10] )
与文献 [11] 中方程(60)的估计类似,对不依赖于初值的常数
,
,我们有
(3.15)
根据庞加莱不等式
因此,ODE部分的解
(3.16)
是指数稳定的。
下面我们说明变换(3.2)是可逆的。实际上其逆变换可以写为
(3.17)
其中函数
,
,
,
,
,
和
满足
(3.18)
这些函数在 [1] 中均有解。
我们证明了系统(3.3)有唯一解且解是指数稳定的。我们得到了本文的主要结果。
定理3.1:假设
,
,
,那么对任意的初值
,闭环系统(2.8)都有唯一的弱解
,且解是指数稳定的:
(3.19)
其中L和
是不依赖于初值的正数。