我国城镇居民养老保险支出预测分析—基于灰色GM(1,1)模型

Forecast Analysis of Urban Residents’ Endowment Insurance Expenditure in China—Based on Grey GM(1,1) Model

摘要: 随着科技与医疗技术的发展，人们整体的寿命延长，因此对于养老保险基金带来了极大的挑战。因此，精准的对我国城镇居民的养老保险进行预测分析，可以为今后养老保险系统后续研究打下基础。本文采用2010~2014年老年人口及抚养率数据，首先对于我国整体老年人口进行了描述性分析；其次，采用灰色GM(1,1)模型对于居民养老保险支出做出预测分析。结果表明：我国已经呈现出了老龄化趋势；对于养老保险支出呈现的是逐年上升态势；因此政府应针对相关问题进行政策的调整与完善。

Abstract: With the development of science and technology and medical technology, people’s overall life ex-pectancy is prolonged, so the pension fund has brought great challenges. Therefore, the precise forecast and analysis of the endowment insurance for urban residents in China can lay foundation for the follow-up study of the endowment insurance system in the future. Based on the data of the elderly population and the dependency rate from 2010 to 2014, this paper firstly makes a descriptive analysis of the overall elderly population in China; secondly, it uses the grey GM(1,1) model to forecast and analyze the residents’ pension insurance expenditure. The results show that: China has shown an aging trend; pension expenditure is showing an upward trend year by year; therefore, the government should adjust and improve the relevant policies.

1. 引言

在我国实施计划生育以后，我国人口数量增长得到控制，也因此减轻了巨大的人口的压力以及每个家庭的负担。然而，随着经济技术的发展以及医疗体系的完善，人们的平均寿命逐渐增加，高龄老人比重增大，从而抚养的比例也会变大。因此，人口老龄化的问题也逐渐显现出来。人口老龄化给我国养老保险带来许多问题，它导致了养老的负担加重，养老保险基金支出处于较高水平等。

随着人口老龄化问题变得越发严重，养老保险收支不平衡问题逐渐成为大家所关注的问题之一。近期两会所商议的延长退休政策的确定实施，正是可以对弥补养老保险缺口的一个有力的政策。然而，对于“缺口”的大小我们并不知道，因此通过对养老保险基金支出的精准预测，对于政府政策的制定起着非常重要的作用。

2. 我国65岁及以上人口变化趋势的描述统计分析

本文选取2010~2014年我国65岁及以上人口以及老年抚养比数据，对近五年我国老年人口变化趋势做一个系统的描述分析。

从图1看出，2010~2014年我国老年人口总数逐年上涨，2010年为11,894万人，而仅仅经过5年，这个总数已经上升到了13,755万人，上涨了近13.53%，已经呈现出了老龄化趋势。

从图2看出，2010~2014年我国老年抚养比也逐年增加。同时，也论述了上述所证明的。我国老年抚养比率上升，养老保险支出则更加大。

3. 灰色预测基本理论及模型介绍

3.1. GM(1,1)模型建立 [1]

首先计算一次累加生成数据：

$\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right),x^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(0\right)}\left(M\right)\right)$ 是所要预测的某项指标的原始数据。原式数据一次累加：

$x^{\left(1\right)}\left(k\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{x}^{\left(0\right)}\left(t\right)},k=1,2,\cdots ,n$ (1)

此时，得到一个新的数列。这个新的数列的随机性程度减弱，相反，平稳性增加。

其次，是均值序列的生成：

令 $Z^{\left(1\right)}$ 为 $X^{\left(1\right)}$ 的紧邻均值生成序列，即：

Figure 1. Total population aged 65 and over in China from 2010 to 2014

图1. 2010~2014年我国65岁及以上人口总数

Figure 2. China’s old-age dependency ratio from 2010 to 2014

图2. 2010~2014年我国老年抚养比

$z^{\left(1\right)}\left(k\right)=0.5x^{\left(1\right)}\left(k\right)+0.5x^{\left(1\right)}\left(k-1\right)$ (2)

$Z^{\left(1\right)}=\left(z^{\left(1\right)}\left(2\right),z^{\left(1\right)}\left(3\right),\cdots ,z^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$ (3)

接下来是灰微分方程模型的建立：

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(1\right)}\left(k\right)=b$ (4)

回代数据：

利用最小二乘法求得参数a，b的估计值。(4)式中a发展系数，b为内生控制灰数。设 $\hat{\alpha }$ 为待估参数向量，即 $\hat{\alpha }={\left(a,b\right)}^{\text{T}}$ ，那么，灰微分方程的最小二乘法估计参数列满足：

$\hat{\alpha }={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}{Y}_n$ (5)

其中

$B=\left[\begin{array}{cc}-z^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right],Y_n=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ ⋮\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]$ (6)

白微分方程的求解：

代入a，b的估计值得到：

$\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}}{\text{d}t}+a{x}^{\left(1\right)}=b$ (7)

那么，(7)的解也称为时间响应函数：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(t\right)=\left(x^{\left(1\right)}\left(0\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-at}+\frac{b}{a}$ (8)

GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left|x^{\left(1\right)}\left(0\right)-\frac{b}{a}\right|{\text{e}}^{-ak}+\frac{b}{a},k=1,2,\cdots ,n$ (9)

累减还原确定最终模型：

取 $x^{\left(1\right)}\left(0\right)=x^{\left(0\right)}\left(1\right)$ ，则

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left|x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right|{\text{e}}^{-ak}+\frac{b}{a},k=1,2,\cdots ,n$ (10)

还原值为：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)={\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)$ (11)

因此，上式即为预测方程。

3.2. GM(1,1)模型拟合检验

3.2.1. 残差检验

残差检验，是根据平均相对误差这个指标来衡量精度好与坏。平均相对误差为 [1] ：

$\bar{e}=\frac{{\displaystyle \sum \left|\widehat{x\left(t\right)}-x\left(t\right)\right|}}{{\displaystyle \sum x\left(t\right)}}$ (12)

3.2.2. 关联度检验

关联度检验是通过考察模型模拟序列(曲线)与原始序列(曲线)的相似程度进行检验。令关联度系数为：

${\xi }_i=\frac{{\Delta }_{\min }+{\Delta }_{\max }}{{\Delta }_i+{\Delta }_{\max }},t=1,2,\cdots ,n$ (13)

其中 ${\Delta }_{\min }=\min {\Delta }_i$ ， ${\Delta }_{\max }=\max {\Delta }_i$ ， ${\Delta }_i=\left|x_i^{\left(1\right)}\left(t\right)-x_i^{\left(0\right)}\left(t\right)\right|$ 。

3.2.3. 后验差检验

后验差检验即为与原始数据分布集中或离散程度的比较。其表达形式为：

$C=\frac{S_d}{S_x}$ (14)

其中， $S_x$ 为原始序列的标准差， $S_d$ 为计算绝对误差序列的标准差。小误差概率P为：

$P=P\left\{\left|{\Delta }^{\left(0\right)}\left(i\right)-{\bar{\Delta }}^{\left(0\right)}\right|<0.6745S_x\right\}$ (15)

4. 我国城镇居民养老保险支出灰色预测模型的建立

4.1. 预测模型的建立

本文选取了2003~2012年我国城镇居民养老保险支出的数据(见表1)，运用matlab统计软件进行模型的拟合与检验。

下列为原始时间序列：

$x^0\left(t\right)=\left\{3122.1,3502.1,4040.3,4896.7,5964.9,7389.6,8894.4,10554.9,12764.9,15561.8\right\}$ 由(1)式得一次累加数据序列：

$x^1\left(t\right)=\left\{3122,6624,10664,15561,21526,28916,37810,48365,61130,76692\right\}$

由(6)式构造数据矩阵及数据向量得：

$B^{\text{T}}=\left[\begin{array}{ccccccccc}-4873& -8644& -13113& -18544& -25221& -33363& -43088& -54747& -68911\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$

$Y=\left\{3502,4040,4897,5965,7390,8894,10555,12765,15562\right\}$

最后计算模型参数为：

$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.1889\\ 2495.6\end{array}\right]$

因此，由(10)得出：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=16333.32{\text{e}}^{0.1889k}-13211.2$ (16)

由公式(10) (11)可以导出：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)=\left(1-{\text{e}}^a\right)\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-ak}$ ，其中 $k=1,2，\cdots ,n$ (17)

Table 1. Pension insurance expenditures

表1. 养老保险支出额

因此，由上式公式可以得到：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)=2811.4625{\text{e}}^{0.1889k}$ (18)

4.2. 预测模型的检验

4.2.1. 残差检验

通过公式(12)分别求出预测值，绝对误差，相对误差以及平均相对误差 [2] [3] (见表2)。

通过上表看出，相对误差都很小并且平均相对误差仅仅为0.0113，说明模型的精度很高。也就是说灰色GM(1,1)模型预测相对来说很精准。

4.2.2. 关联度检验

通过第三节所列的关联度检验方法及公式(13)，得出关联度为0.618，仅仅勉强通过检验 [4] 。

4.2.3. 后验差检验

对原始数据序列的 $x^{\left(0\right)}\left(t\right)$ 和绝对误差序列计算得原始数据序列的标准差分别为， $s_x=4215.9$ ， $s_d=66.8774$ ，因此后验差为 $C=\frac{s_d}{s_x}=0.0159$ ，同时P = 1，可见后验差检验为优，说明模型预测非常精准。

4.3. 我国城镇居民养老保险支出额GM(1,1)模型预测

上述三个检验均通过，因此可以进行外推预测。同时从我国2003~2012年养老保险支出额的拟合图(图3)也可以清晰的看出模型拟合效果很好。因此，基于白化响应式(16)，matlab计算预测结果如下 [5] 。

因此，基于白化响应式(16)，matlab计算预测结果如下。

通过表3的预测值，可以和已有数据2013~2014年数做一个对比，发现2013年我国养老基金支出为18,470.4亿元，2014年为21,754.7，可见预测的误差非常小。因此接下来的年份的预测值非常可信，通过观察可见我国城镇居民养老保险基金支出额呈现的为大幅上升状态。

5. 总结

本文采用2003~2012年我国城镇居民养老保险支出额的数据，首先对于可能影响养老保险基金的指

Table 2. Relative error between calculated and actual value of urban residents’ pension insurance expenditure in China

表2. 我国城镇居民养老保险支出计算值与实际值相对误差

Figure 3. China’s pension insurance expenditures from 2003 to 2012

图3. 2003~2012年我国养老保险支出额

Table 3. Forecast of China’s urban residents’ pension insurance expenditure

表3. 我国城镇居民养老保险支出预测值

标进行一个大体的描述统计分析，所分析的则为人口老龄化的问题。采用的数据为2010~2014年老年人口数以及老年人抚养率，通过趋势分析，可以清晰的看出我国已经呈现出了老龄化的趋势。由于人口老龄化问题的产生，对于养老保险基金需求增大，养老保险基金的支出额将会增大；然后运用matlab等统计软件，建立灰色GM(1,1)模型对我国城镇居民养老保险支出额进行预测，灰色预测所研究的便是“小样本，贫信息”问题，本文对2003年~2012年的养老保险支出额进行拟合，并用残差检验、关联度检验以及后验差检验对模型进行检验，三个检验结果均合格，最后对2013~2022年的养老保险支出额进行了预测。通过预测结果可以看出，养老保险支出额是逐年增加的，呈逐渐上升趋势。到2022年，如果不加以政策的配合，养老保险基金支出已经达到了101,779.1亿元。

养老保险对人们有着举足轻重的作用。然而，随着老龄化问题的加剧，养老保险基金也呈现出“缺口”，因此要完善社会保险的保障体系，需要政府、社会共同出力。近期出台的“延长退休”政策对于养老保险“缺口”问题有缓解作用。