基于随机前沿分析的卫生绩效评价——以甘肃省为例

Health Performance Evaluation Based on Stochastic Frontier Analysis—Taking Gansu Province as an Example

摘要: 本文应用Bayesian方法对经典随机前沿模型进行了推断，得到模型参数的后验条件分布，在此基础上对参数的后验均值进行了计算。将估计的该模型应用甘肃省14个市(州)的卫生技术效率评价中，测算了14个市(州)相对卫生绩效。得出卫生绩效较高的市为：天水市、张掖市、定西市、陇南市；卫生绩效居中的市为：兰州市、嘉峪关市、金昌市、武威市、平凉市、酒泉市、甘南州；卫生绩效较低的市为：白银市、庆阳市、临夏州。

Abstract: In this paper, the Bayesian method is used to deduce the classical stochastic frontier model and obtain the posterior conditional distribution of the model parameters. On this basis, the posterior mean value of the parameters is calculated. The estimated model was applied to 14 cities (states) of Gansu province in the evaluation of health technology efficiency, and the relative health performance of 14 cities (states) was measured. The city with higher health performance is: Tianshui city, Zhangye city, Dingxi city and Longnan city. The city is: Lanzhou city, Jiayuguan city, Jinchang city, Wuwei city, Pingliang city, Jiuquan city, Gannan prefecture. The city with low health performance is Baiyin city, Qingyang city and Linxia state.

1. 引言

卫生经济领域内决策评价单元(DMU)的绩效测算一直是国内外研究关注的一个焦点。卫生医疗资源作为一种稀缺的资源，如何对卫生医疗资源进行优化配置，已经成为学术界和政府共同关心的话题。改革开放以来，我国卫生医疗事业取得了显著的成就，近几年也呈现出迅速的发展趋势。但是在其发展过程中出现了许多新问题和新矛盾，诸如城乡区域医疗卫生发展不平衡，医疗保障制度不健全，医疗卫生资源配置不合理。这使得医疗卫生与人民对美好生活的向往之间的矛盾更加凸显，如何提高卫生经济的效率以满足人民生活的需要成为亟待解决的问题。

甘肃省地处西北内陆，部分地区还完全没有解决“病有所医”这个民生问题，医疗技术人员不足以及医疗条件落后成为甘肃省的最大实际问题，如何测算客观的测算卫生效率以提高绩效，成为迫在眉睫的问题。

目前关于技术效率的测算主要有两种方法，一种是基于参数的随机前沿分析 [1] - [6] ，另一种是基于非参数的数据包络分析，大多数学者基于这两种方法对不同行业的技术效率作的测算。陈关聚(2014) [7] 运用随机前沿测度了中国制造业30个行业的全要素能源效率，分析了能源结构对技术效率的影响，表明2003~2010年制造业能源效率呈现先上升后停滞的阶梯形变化特征，行业间能源效率水平差异较大；张月玲、叶阿忠、陈泓(2015) [8] 基于我国要素禀赋非均衡分布的客观现实，从前沿技术结构与技术进步方向演进相融合的视角研究了人力资本结构、适宜技术选择与全要素生产率变动分解；陈洁(2016) [9] 构造超越对数生产函数，应用随机前沿分析方法对2005~2013年我国各省份用电技术效率进行测算；范兆斌、黄淑娟(2017) [10] 应用随机前沿贸易引力模型，评估了文化距离对“一带一路”沿线国家文化产品贸易效率的影响；王留鑫、洪名勇(2018) [11] 基于随机前沿分析对中国农业全要素生产率增长进行了实证研究。对于卫生经济效率测算的研究相对交少，对于甘肃省的卫生经济技术效率的研究更少。鉴于此本文以甘肃省14个地州市为评价单元，应用随机前沿模型对卫生经济效率作测算，在模型参数估计阶段文章应用贝叶斯方法做估计。全文的安排如下，第二部分的模型介绍以及模型的参数估计；第三部分的技术效率的测算；第四部分为实证部分即将该方法应用到甘肃14个地州市的技术效率测算上。

2. 模型介绍及参数估计

考虑如下随机前沿模型

$\begin{array}{l}y=X\beta +\epsilon \\ \epsilon =v-u\end{array}$ (1)

其中y是一个 $n\times 1$ 维的向量，表示n个生产单元的产出，X是一个 $n\times \left(m+1\right)$ 的矩阵，表示每个单元的m个投入，v是统计误差，设 $v~N\left(0,{\sigma }_v^{2}I\right)$ ，u是技术无效率项，设 $u~N^{+}\left(0,{\sigma }_u^{2}I\right)$ ，v与u相互独立在，u已知的条件下，y服从正态分布。

在模型(1)中待估计的参数为 $\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2$ 和技术无效率项u, 为了进行贝叶斯推断，需要确定参数的先验分布。 ${\sigma }_v^2$ 与 ${\sigma }_u^2$ 的先验分布可取为倒Gamma分布，这恰为 ${\sigma }_v^2$ 与 ${\sigma }_u^2$ 的共轭先验分布，即取

$\pi \left({\sigma }_v^2\right)\propto {\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(\frac{N_0-1}{2}+1\right)}{\text{e}}^{-\frac{a_0}{{\sigma }_v^2}}~RG\left(\frac{N_0-1}{2},a_0\right)$

$\pi \left({\sigma }_u^2\right)\propto {\left({\sigma }_u^2\right)}^{-\left(\frac{M_0-1}{2}+1\right)}{\text{e}}^{-\frac{b_0}{{\sigma }_u^2}}~RG\left(\frac{M_0-1}{2},b_0\right)$

β的先验分布取为

$\pi \left(\beta \right)\propto const$

由 $y=X\beta +v-u$ 和u已知的条件下得 $v=y+u-X\beta$ ，根据 $v~N\left(0,{\sigma }_v^{2}I\right)$ 有

$\pi \left(v\right)={\left(2\text{π}{\sigma }_v^2\right)}^{-\frac{n}{2}}\exp \left(-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}{v}^{\text{T}}v\right)$

所以

$\begin{array}{l}\pi \left(y|\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2,u\right)=\pi \left(v\right)\left|\frac{\partial v}{\partial y}\right|\\ ={\left(2\text{π}{\sigma }_v^2\right)}^{-\frac{n}{2}}\exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}{\left(y+u-X\beta \right)}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)\right\}\end{array}$

由贝叶斯公式，经计算得参数联合后验分布为：

$\begin{array}{l}\pi \left(\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2,u|y,X\right)=\frac{\pi \left(y|\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2,u,X\right)\pi \left(\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2\right)\pi \left(u|{\sigma }_u^2\right)}{\pi \left(y|X\right)}\\ \propto {\left(2\text{π}{\sigma }_v^2\right)}^{-\frac{n}{2}}\exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}{\left(y+u-X\beta \right)}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)\right\}\cdot {\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(\frac{N_0}{2}+1\right)}\\ \cdot \exp \left(-\frac{a_0}{{\sigma }_v^2}\right){\left({\sigma }_u^2\right)}^{-\left(\frac{M_0-1}{2}+1\right)}\exp \left(-\frac{b_0}{{\sigma }_u^2}\right)\cdot {\left(\frac{2}{\sqrt{2\text{π}{\sigma }_u^2}}\right)}^n\exp \left(-\frac{u^{\text{T}}u}{2{\sigma }_u^2}\right)\\ \propto {\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(\frac{n}{2}+\frac{N_0-1}{2}+1\right)}\exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}\left[{\left(y+u-X\beta \right)}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)+2a_0\right]\right\}\\ \cdot {\left({\sigma }_u^2\right)}^{-\left(\frac{n}{2}+\frac{M_0-1}{2}+1\right)}\exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_u^2}\left(u^{\text{T}}u+2b_0\right)\right\}\end{array}$ (2)

其中 $u={\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)}^{\text{T}}$ ，结构参数 $\left(\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2\right)$ 的后验分布为

$\pi \left(\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2|y,X\right)={\displaystyle \underset{R_{+}}{\int }\pi \left(\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2,u|y,X\right)\text{d}u}$

其中 $R_{+}$ 表示正实数。

下一节将采用马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)方法中的Gibbs抽样对模型参数的后验均值进行推断。Gibbs抽样是一种解决高维Bayesian模型的后验积分问题的迭代Monte Carlo方法，它避免了对复杂表达式的数值计算。Gibbs抽样得到的样本 $\left\{{\beta }^{\left(i\right)},{\sigma }_v^{2\left(i\right)},{\sigma }_u^{2\left(i\right)},u^{\left(i\right)};i=1,2,\cdots ,n\right\}$ 随着i的增大收敛到已知核的参数后验分布。因此所有关于参数的向量函数的后验期望可以通过Gibbs抽样得到的平均值来近似。即

$E_{\pi }\left[f\left(\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2,u\right)\right]=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}f\left({\beta }^{\left(i\right)},{\sigma }_v^{2\left(i\right)},{\sigma }_u^{2\left(i\right)},u^{(i)}\right)}$

Gibbs抽样的具体迭代步骤如下：给定迭代初值 ${\beta }^{\left(1\right)},{\sigma }_v^{2\left(1\right)},{\sigma }_u^{2\left(1\right)},u^{\left(1\right)}$ ，依次取 $i=2,\cdots ,n$ ，按以下步骤产生一个Markov链。

步1 从分布 $\pi \left({\beta }^{\left(i\right)}|{\sigma }_v^{2\left(i-1\right)},{\sigma }_u^{2\left(i-1\right)},u^{\left(i-1\right)}\right)$ 里产生 ${\beta }^{\left(i\right)}$ ；

步2 从分布 $\pi \left({\sigma }_v^{2\left(i\right)}|{\beta }^{\left(i\right)},{\sigma }_u^{2\left(i-1\right)},u^{\left(i-1\right)}\right)$ 里产生 ${\sigma }_v^{2(i)}$ ；

步3 从分布 $\pi \left({\sigma }_u^{2\left(i\right)}|{\beta }^{\left(i\right)},{\sigma }_v^{2\left(i\right)},u^{\left(i-1\right)}\right)$ 里产生 ${\sigma }_u^{2\left(i\right)}$ ；

步4 从分布 $\pi \left(u^{\left(i\right)}|{\beta }^{\left(i\right)},{\sigma }_v^{2\left(i\right)},{\sigma }_u^{2\left(i\right)}\right)$ 里产生 $u^{\left(i\right)}$ 。

3. 参数的条件分布及其抽样方法

首先推导出参数的条件分布，在给定u的条件下，由公式(2)可以分别得到以下参数后验分布的核。这里记 $D=\left\{y,X\right\}$ 。β的后验条件分布为：

$\begin{array}{l}\pi \left(\beta |{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2,u,D\right)\\ \propto \exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}{\left(y+u-X\beta \right)}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)\right\}\\ \propto \exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}{\left(y+u-X\beta \right)}^{\text{T}}X{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}\left(X^{\text{T}}X\right){\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}{X}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)\right\}\\ \propto \exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}{\left[{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}{X}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)\right]}^{\text{T}}\left(X^{\text{T}}X\right)\left[\left(X^{\text{T}}X\right)X^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)\right]\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\propto \exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_v^2}{\left[{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}{X}^{\text{T}}\left(y+u\right)-\beta \right]}^{\text{T}}\left(X^{\text{T}}X\right)\left[{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}{X}^{\text{T}}\left(y+u\right)-\beta \right]\right\}\\ \propto \exp \left\{-\frac{1}{2}{\left[\beta -{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}{X}^{\text{T}}\left(y+u\right)\right]}^{\text{T}}{\left({\sigma }_v^2{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}\right)}^{-1}\left[\beta -{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}{X}^{\text{T}}\left(y+u\right)\right]\right\}\\ ~N\left({\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}{X}^{\text{T}}\left(y+u\right),{\sigma }_v^2{\left(X^{\text{T}}X\right)}^{-1}\right)\end{array}$

由上式可以看出β后验条件分布为多元正态分布。

${\sigma }_v^2$ 的后验条件分布为：

$\begin{array}{l}\pi \left({\sigma }_v^2|\beta ,{\sigma }_u^2,u,D\right)\\ \propto {\left({\sigma }_v^2\right)}^{-\left(\frac{n}{2}+\frac{N_0-1}{2}+1\right)}\exp \left\{-\frac{1}{{\sigma }_v^2}\left[\frac{{\left(y+u-X\beta \right)}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)}{2}+a_0\right]\right\}\end{array}$

恰好为倒Gamma分布密度函数的核即

$\pi \left({\sigma }_v^2|\beta ,{\sigma }_u^2,u,D\right)~RG\left(\frac{n}{2}+\frac{N_0-1}{2},\frac{{\left(y+u-X\beta \right)}^{\text{T}}\left(y+u-X\beta \right)}{2}+a_0\right)$

${\sigma }_u^2$ 的后验条件分布为：

$\pi \left({\sigma }_u^2|\beta ,{\sigma }_v^2,u,D\right)\propto {\left({\sigma }_u^2\right)}^{-\left(\frac{n}{2}+\frac{M_0-1}{2}+1\right)}\exp \left\{-\frac{1}{{\sigma }_u^2}\left[\frac{u^{\text{T}}u}{2}+b_0\right]\right\}$

这恰好也为倒Gamma分布密度函数的核

$\pi \left({\sigma }_u^2|\beta ,{\sigma }_v^2,u,D\right)~RG\left(\frac{n}{2}+\frac{M_0-1}{2},\frac{u^{\text{T}}u}{2}+b_0\right)$

由以上可得 $\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2$ 这三个参数的后验条件分布都为标准分布，可直接对其进行抽样。

参数u的后验条件分布为

$\pi \left(u|\beta ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_u^2,D\right)\propto \frac{1}{{\left(\text{2π}\right)}^{\frac{n}{2}}{\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{2}}\Phi \left({\Omega }^{-\frac{1}{2}}\mu \right)}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(u-\mu \right)}^{\text{T}}{\Omega }^{-1}\left(u-\mu \right)\right\}$

在上式中

$\mu =-\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_v^2+{\sigma }_u^2}\epsilon ,\Omega =\frac{{\sigma }_v^2{\sigma }_u^2}{{\sigma }_v^2+{\sigma }_u^2}I$

易见u的后验分布服从n元截尾正态分布 $N^{+}\left(\mu ,\Omega \right)$ ，可直接进行抽样。

4. 技术效率的估计

Jondrow, Lovell and Materovi等(JLMS) (1982)指出各个生产单元的技术无效率项 $u_i$ 可以通过 $E\left(u_i|{\epsilon }_i\right)$ 或 $Mode\left(u_i|{\epsilon }_i\right)$ 来测算，第i个生产单元的技术效率 $T{E}_i=\exp \left\{-{\hat{u}}_i\right\}$ ，其中 ${\hat{u}}_i=E\left(u_i|{\epsilon }_i\right)$ 或 $Mode\left(u_i|{\epsilon }_i\right)$ 。因此，只要求的u的后验分布的均值或众数即可。因为u服从截尾正态分布，所以

$Mode\left(u|\epsilon \right)=-\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_u^2+{\sigma }_v^2}\epsilon$

每个生产单元的技术效率为

$T\hat{E}=\exp \left(-\hat{u}\right)=\exp \left(-\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_u^2+{\sigma }_v^2}\hat{\epsilon }\right)$

5. 实证分析

本文选择随机前沿模型对甘肃省医疗卫生效率进行测算，选择该方法主要有以下两个原因：第一，对所有的生产单元统一采用同一个生产函数，这样得到的技术效率具有可比性；第二，随机前沿分析排除了人为主观因素，能够对生产单元的技术效率进行准确评价。

本文选择甘肃省的14个市(州)的医疗卫生系统作为14个生产单元。这14个市(州)分别是：兰州市、嘉峪关市、金昌市、白银市、天水市、武威市、张掖市、平凉市、酒泉市、庆阳市、定西市、陇南市、临夏州、甘南州。投入—产出指标的选取，根据选取的原则和数据的可获得性，选择甘肃省各市(州)医疗卫生财政支出为唯一的投入指标，选择卫生技术人员为产出指标。鉴于数据的可获得性和完整性，选择2016年的数据进行横截面分析，数据来源于《甘肃统计年鉴》、《甘肃财政年鉴》。将数据带入模型测算出甘肃省14个市(州)的卫生绩效指数为(表1)

将相对技术效率进行可视化为(图1)：

Table 1. Gansu province cities (state) the relative health performance table

表1. 甘肃省各市(州)的相对卫生绩效指数表

Figure 1. The index graph of the relative performance of health in various cities in Gansu province

图1. 甘肃各市州卫生相对绩效的指数图

从图1可以看出卫生绩效较高的市为：天水市、张掖市、定西市、陇南市；

卫生绩效居中的市为：兰州市、嘉峪关市、金昌市、武威市、平凉市、酒泉市、甘南州；卫生绩效较低的市为：白银市、庆阳市、临夏州。

基金项目

本论文为兰州财经大学陇桥学院大学生创新创业项目。

NOTES

^*通讯作者。