1. 引言
人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年老人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态。国际上通常看法是,当一个国家或地区60岁以上老年人口占人口总数的10%,或65岁以上老年人口占人口总数的7%,即意味着这个国家或地区的人口处于老龄化社会。通过对影响老龄人口规模变化因素的历史资料进行统计分析,探讨其在时间上的变化规律,可以得出老龄人口规模变化的长期趋势,从而对它的未来变化进行预测。灰色预测法是一种对既含有已知信息又含有不确定因素的系统进行预测的方法,它的特点是所需信息量少,不仅能够将无序离散的原始序列转化为有序序列,而且预测精度高,能够保持原系统的特征,较好地反映系统地实际情况。本文运用优化的GM(1,1)模型 [1] [2] [3] 和改进的新陈代谢GM(1,1)模型对成都市老龄人口规模进行预测,取得了良好地效果。
2. 数学模型简介
2.1. GM(1,1)模型
GM(1,1)模型是基于累加生成地数列预测模型,建立地步骤为:
1)
是所要预测地某项指标地原始数据。对原始数据作一次累加生成处理,
即
,得到一个新地数列。这个新的数列与原始数列相比,其随机性程度大大弱化,平
稳性大大增加。
2) 将新数列的变化趋势近似地用微分方程描述,
,其中,
为辨识参数。辨识参数通过最小二乘法拟合得到,
。
3) 构造矩阵。
,
为构造数据矩阵
(1)
4) 求出预测模型
. (2)
5) 进行一次数据累减,得到预测方程:
. (3)
2.2. 优化GM(1,1)模型 [4]
由上述的GM(1,1)模型的模拟,可知预测精度取决于常数
,而
的值依赖于原始序列和背景
值
的构造形式。即背景值的构造公式是导致模拟误差及GM(1,1)模型的适应
性的关键因素之一。
故我们为了尽量减小这种误差,设
. (4)
设
,其中
为待定常数,且满足
,将
代入(4)得
(5)
又由
得
. (6)
将(6)代入(5)得
(7)
用(7)替换原来的背景值公式,由此得到优化的GM(1,1)模型。
2.3. 新陈代谢GM(1,1)模型 [5]
在普通GM(1,1)模型的基础上,我们建立一种新模型叫做新陈代谢GM(1,1)模型,其方法是把普通GM(1,1)模型预测的最新数据
加入到原始数据序列
中,然后去掉最老的数据
,为了使数据序列的维度保持不变,接着用更新的数据序列
再次进行普通 GM(1,1)模型的建立与检验,预测出新数据
,然后再将
加入到
,再去掉
,形成新数列,重复普通GM(1,1)模型的预测与检验。往复循环,数据更迭,达到需要的预测目标为止,这种模型称为新陈代谢GM(1,1)模型。
新陈代谢GM(1,1)模型的原始数据序列的数据不应太少,若原始数据序列的数据太少,则有可能得到关联度比较低,模型不能通过检验,就不能作为预测方法来预测,特别是预测中长期的数据;当然,原始数据的数据也不是越多越好,在实际的数据预测时,可以利用普通GM(1,1)模型,选取不同数据个数的原始数据序列逐个进行检验,找到检验精度最高的那组原始数据序列作为原始数据序列,由此确定GM(1,1)模型的维度,进行新陈代谢GM(1,1)模型的模拟。
3. 实例分析
3.1. 预测模型的建立
笔者收集了2011~2016年成都市老年人口的统计资料(见表1),对2017~2022年成都市老年人口做出预测。
由表1可得成都市老年人口的原始时间序列为
,由一次累加数据序列
,由(1)式可得
由此可得
,代入(2),(3)可得预测模型
3.2. 模型检验
为了最大限度的减小误差取得更好的预测效果,建立数据处理模型后需通过相关项的精度检验,否则不能进行预测,检验方法包括以下三种:
1) 残差检验。
逐点检验模型预测还原值与实际值的残差 [6] [7] 。绝对残差序列:
,平均
相对残差:
,其中
。
在实际检验中,我们给定一个
值,当
且
成立时,称模型为残差合格模型。此篇文章中我们定义
的值如下:当
取0.02时,模型精度等级为优,当
取0.05时,模型精度为合格,当
取0.1时,模型精度为勉强合格。
2) 关联度检验。
检验模型序列曲线与原始序列曲线的相似程度 [6] [7] 。
令关联度
,令关联系数
,其中
,
,
,通过关联度检验的标准就是关联系数大于0.6,当关联度检验通过时,我们给出的预测模型便是满意。
3) 后验差检验。检验残差分布的统计特性 [6] [7] 。
由原始数据序列和绝对误差序列计算得原始数据序列和绝对误差序列得标准差分别为:
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 1. The number of population aging in Chengdu (unit: ten thousand people)
表1. 成都市老年人口数量(单位:万人)
由此计算得方差比
,小误差概率
,一般情况下,模型预测精度检
验等级标准见表2,模型精度等级为较好时,则
,
;模型精度等级为合格时,则
,
;模型精度等级为勉强合格时,则
,
;模型精度等级为不合格时,则
,
时,这种情况下预测模型需要修正,直到预测精度等级为合格后再预测。
3.3. 成都市老年人口预测
我们利用Matlab (2014a)编程软件进行预测结果和精度检验,实际值与普通GM(1,1)模型、优化GM(1,1)模型对比如下表3,具体预测值和精度检验如下表4和表5。
由表3我们可知,优化的GM(1,1)模型比普通GM(1,1)模型在对实际值进行拟合的时候,很明显优化的模型拟合结果要好,说明优化是有提高精度的作用。
由表4我们可知,成都市的老年人口是呈持续增长状态的,由预测结果可知,2022年的老年人口达到了434万人,而2016年才300万人,6年时间增长了近130万人,增长速度之快,规模之大,值得我们关注老年人口,可知这预测结果是具有重要研究意义的。
表5是优化的GM(1,1)模型预测的精度检验,包括普通GM(1,1)模型和五次新陈代谢模型的检验。根据模型精度检验标准,结合精度检验结果可知,普通GM(1,1)模型平均相对残差值为0.0197,五次优化新陈代谢模型的平均相对残差最大值为0.0167,当
时,普通GM(1,1)模型和优化GM(1,1)新陈代
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 2. The grade standard of model predictive accuracy test
表2. 模型预测精度检验等级标准
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 3. The actual value of the population aging in Chengdu in 2011~2016: Comparison of general model and optimization model
表3. 2011~2016年成都市老年人口实际值:普通模型和优化模型对比表(单位:万人)
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 4. The prediction value of population aging in Chengdu in 2017-2022 (unit: ten thousand people)
表4. 2017~2022年成都市老年人口预测值(单位:万人)
表5. 精度检验表
谢模型的平均相对残差均小于0.02,由此我们可得无论是普通GM(1,1)模型还是优化GM(1,1)新陈代谢模型均为残差优秀模型;在分辨率
时,关联度R均大于0.6,说明普通GM(1,1)模型和优化GM(1,1)新陈代谢模型对原始数列的模拟度均为满意,都通过了关联度检验;小误差概率P均为1,且后验方差比C均小于0.35,表明普通GM(1,1)模型和优化GM(1,1)新陈代谢模型预测精度为较好,模型对成都市老年人口进行了较高精度的预测,预测结果适宜用于养老产业相关方面的分析。
4. 结束语
由上述实例分析可知,GM(1,1)预测模型的数据量要求小,精度较高,具有较强的实用性和有效性,是比较理想的预测方法。对于开放性、非线性的复杂系统,GM(1,1)预测模型能够从整体出发,对外延不确定性系统变化进行动态的科学模拟与仿真。因此,GM(1,1)预测模型适用于非线性系统的非唯一性预测拟合,其预测结果可以为人口老龄化提供科学依据。