一类𝔸⊗𝔸^~型代数上的不可分解模的同构类

The Isoclasses of Indecomposable Modules over an Algebra of Type 𝔸⊗𝔸^~

摘要: 令是2次Jacobson根为零的型Nakayama代数，是2次Jacobson根为零的型Nakayama代数。本文考虑了与的k-张量上的不可分解模的分类问题，并给出其在同构意义下的计数公式。

Abstract: Let be the Nakayama algebra of type with quadratic Jacobson radical to be zero and be the Nakayama algebra of type with quadratic Jacobson radical to be zero. In this paper, we consider the k-tensor of and and the classification of the indecomposable modules over . Moreover, we provide a counting formula to computing the number of isoclasses of indecomposable -modules.

1. 引言

本文总是假设k是代数闭域，且所讨论的k-代数均是有限维的连通代数。给定三个代数A，B和C以及 $\left(A,C\right)$ -双模 $M={}_{A}M{}_C$ 和 $\left(C,B\right)$ -双模 $N={}_{C}N{}_B$ ，作为右C-模的M和作为C-模的N的张量定义为一个k-向量空间 $M{\otimes }_{C}N$ 与C-双线性映射 $h:M\times N\to M{\otimes }_{C}N$ 构成的二元组 $\left(M{\otimes }_{C}N,h\right)$ ，简记为 $\left(M{\otimes }_{C}N\right)$ ，使得对任意k-向量空间G和任意C-双线性映射 $h:M\times N\to C$ ，唯一存在k-线性映射 $g:M{\otimes }_{C}N\to G$ 使得 $gh=f$ (例如参考 [1] 的第二章)。张量在数学、物理甚至其它领域有着广泛应用，因此其在代数领域中占据了举足轻重的地位，例如在代数的同调性质 [2] [3] ，Hochschild同调性质 [4] [5] [6] ，表示论性质 [7] 等方面均有体现。

$\mathbb{A}$ 型Nakayama代数是代数表示论中最基本的有限维代数之一，其中，线性定向的遗传 $\mathbb{A}$ 型Nakayama代数是构成温驯代数(gentle algebras)的基本单位，线性定向的非遗传 $\mathbb{A}$ 型Nakayama代数则是一类特殊的弦代数(string algebra)，它总是同构于某个三角矩阵代数的商。线性定向的 $\tilde{\mathbb{A}}$ 型Nakayama代数总是非遗传的，它是一元多项式环的直接推广。可见Nakayama代数在代数领域扮演者举足轻重的作用。

代数的表示型问题是代数表示论中的核心问题之一，其研究包括对代数的不可分解表示的分类与计数，Clebsh-Gordan问题 [8] [9] [10] [11] [12] ，给定代数的表示型的判定 [13] [14] ，Brauer-Thrall猜想(该猜想第一猜想 [15] - [22] 和第二猜想 [22] [23] [24] [25] [26] ，参见 [27] 的IV.5)等。无限表示型又分为驯表示型和野表示型。鲍炎红教授就对遗传 $\mathbb{A}$ 型代数作为k-模时的张量(以下简称k-张量)的表示型进行了判断，并给出所研究的张量代数是驯/野表示型的充分条件 [13] 。那之后，文献 [14] 的作者进一步考虑了任意 $\mathbb{A}$ 型代数的多重k-张量，给出了其中一类多重张量代数表示有限的充分必要条件，并从其推论4.1可看出两个代数的张量只有较为特殊的情形下才有可能是表示有限的，例如包络代数 $A_n^e:=A_n^{\text{op}}{\otimes }_k{A}_n$ ( $A_n$ 是二次Jacobson根为零且整体维数有限的Nakayama代数，这是一种 $\mathbb{A}\otimes \mathbb{A}$ 型代数)是表示有限代数，其不可分解模的同构类数为 $\frac{4}{3}{n}^3+n^2-\frac{7}{3}n+1$ [28] 。由于大部分的张量代数表示无限，因此，张量代数上的不可分解模在同构意义下分类较为困难。

本文将聚焦一类 $\mathbb{A}\otimes \tilde{\mathbb{A}}$ 型张量代数 $A_n\otimes {\tilde{A}}_n$ (记号说明见例1)，对此代数上的不可分解模在同构意义下进行分类，并给出其不可分解模的同构类数的计数公式，并为之后对 $\mathbb{A}$ 和 $\tilde{\mathbb{A}}$ 型代数的多重张量代数的表示型研究做好预备工作。本文结构安排如下：本文的第1节介绍本文需要的一些预备知识，包括代数的k-张量与特殊双列代数上的不可分解模的刻画，即Wald-Waschbusch对应定理。在第2节，本文引入交错V-序列的概念，并利用交错V-序列和Wald-Waschbusch对应定理对 $A_n\otimes {\tilde{A}}_n$ 上的不可分解模进行描述。第3节是本文的主要结论，包括不可分解 $A_n\otimes {\tilde{A}}_n$ -模在同构意义下的分类以及计数公式。

2. 预备知识

文章的这一部分我们将介绍一些预备知识，包括对代数的张量及其箭图表示的复习，以及Wald和Waschbusch在文献 [29] 中对特殊双列代数的部分工作。且为了方便起见，本文对所使用的记号作出如下约定。对给定代数A，用Q_A (在不引起混淆时，则用Q)表示其箭图，这里箭图Q指的是四元组由顶点集Q₀，箭向集Q₁，以及两个函数 $s,t:Q_1\to Q_0$ 构成的四元组 $Q=\left(Q_0,Q_1,s,t\right)$ ，其中： $s,t$ 分别将Q₁中的箭向映射到此箭向的起点和终点。本文所讨论的A-模在不特殊说明的情况下，默认为右A-模，且对Q上的任意两个箭向a，b，当 $t\left(a\right)=s\left(b\right)$ 时其乘法定义为箭向的复合ab；否则其乘法定义为0。ab也被称作长度2的路径(path)。自然地，我们可以定义任意长度的路径以及路径的复合。由上，Q₀和Q₁可以自然地被看作长度0的路径的集合以及长度1的路径的集合。全体长度l的路径构成的集合记作Q_l。特别地，本文所讨论的代数 $A=k{Q}_A/I_A$ 的箭图Q_A都是连通的，I_A总是由Q_A上的路径的k-线性组合生成的k-向量空间，且总是加上I_A是可许理想。二元组 $\left(Q_A,I_A\right)$ 称为A的有界箭图(bound quiver)。上述记号约定均是沿用于 [27] 。

2.1. 代数的张量

设A和B是k-代数，其作为域k上的向量空间的张量 $A{\otimes }_{k}B$ 也是一个k-代数，其维数满足 ${\dim }_k\left(A{\otimes }_{k}B\right)={\dim }_{k}A\cdot {\dim }_{k}B$ 。显然，当A和B都是有限维k-代数时，则 $A{\otimes }_{k}B$ 也是。特别地，如果A和B都是基代数(basic algebra)，即对A (分别地，B)的完全本原正交幂等元组 $E\left(A\right)=\left\{e_{A,i}|1\le i\le m\right\}$ (分别地， $E\left(B\right)=\left\{e_{B,j}|1\le j\le m\right\}$ )，有 $e_{A,i}A\cancel{\cong }{e}_{A,j}A$ (分别地， $e_{B,i}B\cancel{\cong }{e}_{B,j}B$ )对任意 $i\ne j$ 恒成立，则 $A{\otimes }_{k}B$ 也是基代数。对任意的基代数 $\Lambda$ ，它总是可以同构于某个箭图 $Q_{\Lambda }$ 的路代数 $k{Q}_{\Lambda }$ 的商 $k{Q}_{\Lambda }/I_{\Lambda }$ 。特别当 $I_{\Lambda }$ 是可许理想(admissible ideal)时， $Q_{\Lambda }$ 被唯一决定。于是，可假设 $A{\otimes }_{k}B\cong k{Q}_{A{\otimes }_{k}B}/I_{A{\otimes }_{k}B}$ ，其完全本原正交幂等元组由Cartesian积 $E\left(A\right)\times E\left(B\right)$ 完全刻画，其元素写为 $e_{A,i}\otimes e_{B,j}$ 。于是， $A{\otimes }_{k}B$ 的箭图 $Q_{A{\otimes }_{k}B}$ 由 $E\left(A\right)\times E\left(B\right)$ 和下式完全决定：

其中，记号“ ${\cong }_k$ ”表示k-向量空间的同构，其k-线性维数描述了 $\left(i,j\right)$ 到的箭向数。理想 $I_{A{\otimes }_{k}B}$ 则由 $I_A$ ， $I_B$ ，以及张量的运算性质自然诱导。

另一方面，还可以按下述方式定义有界箭图的张量。

定义1. 对两个有界箭图 $\left(Q^{\prime },I^{\prime }\right)$ 和 $\left(Q^{″},I^{″}\right)$ ，其图张量 $\left(Q^{\prime },I^{\prime }\right)\otimes \left(Q^{″},I^{″}\right)$ 定义为 $\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″},T\left(I^{\prime },I^{″}\right)\right)$ ，其中 $Q^{\prime }\otimes Q^{″}$ 是按下述方式给出的四元组 $\left({\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″}\right)}_0,{\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″}\right)}_1,s,t\right)$ ，称为箭图张量(或有向图张量)：

1) ${\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″}\right)}_0={Q^{\prime }}_0\times {Q^{″}}_0$ 是Cartesian乘积；

2) ${\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″}\right)}_1=\left({Q^{\prime }}_1\times {Q^{″}}_0\right)\cup \left({Q^{\prime }}_0\times {Q^{″}}_1\right)$ ，其中， ${Q^{\prime }}_1\times {Q^{″}}_0$ 中的元素记作 $\alpha \otimes {e^{″}}_j$ ， ${Q^{\prime }}_0\times {Q^{″}}_1$ 中的元素记作 ${e^{\prime }}_i\otimes \beta$ ，这里 ${Q^{\prime }}_0$ 和 ${Q^{″}}_0$ 分别看作 $Q^{\prime }$ 和 $Q^{″}$ 上长度0的路径构成的集合；

3) 对任意的 $\alpha \otimes {e^{″}}_j\in {Q^{\prime }}_1\times {Q^{″}}_0\subseteq {\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″}\right)}_1$ ，定义 $s\left(\alpha \otimes {e^{″}}_j\right)=\left(s\left(\alpha \right),j\right)$ ， $t\left(\alpha \otimes {e^{″}}_j\right)=\left(t\left(\alpha \right),j\right)$ ；同时对任意的 ${e^{\prime }}_i\otimes \beta \in {Q^{\prime }}_0\times {Q^{″}}_1\subseteq {\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″}\right)}_1$ ，定义 $s\left({e^{\prime }}_i\otimes \beta \right)=\left(i,s\left(\beta \right)\right)$ ， $t\left({e^{\prime }}_i\otimes \beta \right)=\left(i,t\left(\beta \right)\right)$ 。

$T\left(I^{\prime },I^{″}\right)$ 是有下述三类k-线性组合生成的k-向量空间：

a) $r^{\prime }\otimes {e^{″}}_j$ ，其中， $r^{\prime }$ 是 $I^{\prime }$ 的生成元；

b) ${e^{\prime }}_i\otimes r^{″}$ ，其中， $r^{″}$ 是 $I^{″}$ 的生成元；

c) $\left(e_u\otimes \beta \right)\left(\alpha \otimes e_s\right)-\left(\alpha \otimes e_r\right)\left(e_v\otimes \beta \right)$ ，其中 $\alpha :u\to v$ ， $\beta :r\to s$ 是箭向，如下图所示。

Herschend指出，两个有限维基代数A和B的k-张量 $A{\otimes }_{k}B$ 的有界箭图 $\left(Q_{A{\otimes }_{k}B},I_{A{\otimes }_{k}B}\right)$ 与这两个有限维基代数的有界箭图 $\left(Q_A,I_A\right)$ 和 $\left(Q_B,I_B\right)$ 的图张量 $\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″},T\left(I^{\prime },I^{″}\right)\right)$ 一致，即下述定理。

定理1. (Herschend [7] , Proposition 3)设 $A\cong k{Q}_A/I_A$ 和 $B\cong k{Q}_B/I_B$ 是有限维代数，则

$A{\otimes }_{k}B\cong k\left(Q^{\prime }\otimes Q^{″}\right)/T\left(I^{\prime },I^{″}\right)$ 。

例1. 用 ${\mathbb{A}}_n$ 和 ${\tilde{\mathbb{A}}}_{n-1}$ 分别表示线性定向的Dynkin型箭图

$1\stackrel{a_1}{\to }2\stackrel{a_2}{\to }\cdots \stackrel{a_{n-1}}{\to }n$ ，

和Euclid型箭图

并令 $A=A_n=k{\mathbb{A}}_n/{\text{rad}}^2\left(k{\mathbb{A}}_n\right)$ ， $B={\tilde{A}}_n=k{\tilde{\mathbb{A}}}_{n-1}/{\text{rad}}^2\left(k{\tilde{\mathbb{A}}}_{n-1}\right)$ ，则 $A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$ 是一类 $\mathbb{A}\otimes \tilde{\mathbb{A}}$ 型有限维k-代数，其箭图为如图1所示。

Figure 1. The quiver of $A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$

图1. $A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$ 的箭图

$\text{rad}\left(k{\mathbb{A}}_n\right)$ 和 $\text{rad}\left(k{\tilde{\mathbb{A}}}_{n-1}\right)$ 分别表示 $k{\mathbb{A}}_n$ 和 $k{\tilde{\mathbb{A}}}_{n-1}$ 的全体极大理想的交，并称之为Jacobson根。我们将 $A_n$ 和 ${\tilde{A}}_n$ 分别称为2次Jacobson根为零的Nakayama代数。 $A_n$ 和 ${\tilde{A}}_n$ 具有很多良好的性质，比如它们上面的不可分解模作为线性空间时的维数总小于或等于2。本文将证明 $A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$ 是表示有限代数，并给出其不可分解模的完全同构类。值得注意的是，对于线性定向 $\mathbb{A}$ 型Nakayama代数 $A^{\prime }$ 和线性定向 $\tilde{\mathbb{A}}$ 型Nakayama代数 $B^{\prime }$ ，如果至少有一者不是2次Jacobson根为零的Nakayama代数，则 $A^{\prime }{\otimes }_k{B}^{\prime }$ 很可能是表示无限的，例如当 $n\ge 7$ 时，取 $A^{\prime }\cong {\left(\begin{array}{ccc}k& & \\ ⋮& \ddots & \\ k& \cdots & k\end{array}\right)}_{n\times n}$ 和 $B^{\prime }\cong k\left[x\right]/\langle x^2\rangle$ ，这时，在线性定向的Euclidean ${\tilde{\mathbb{E}}}_7$ 型(见 [27] , VII.2, page 252])代数上，存在一族不可分解模(在同构意义下，其个数无穷多)可以自然地视为 $A^{\prime }{\otimes }_k{B}^{\prime }$ 上的不可分解模，进而得到 $A^{\prime }{\otimes }_k{B}^{\prime }$ 表示无限。

2.2. 特殊双列代数

特殊双列代数是一类重要的代数，它与gentle代数 [30] 有着密切的联系。Wald和Waschbusch对特殊双列代数的模范畴展开了研究，并完全刻画了特殊双列代数上的不可分解模和不可约态射 [29] 。为便于读者阅读，本节将分为三个部分：特殊双列代数及其定义；V-序列的定义及其对特殊双列代数上的不可分解模的描述；以及Wald和Waschbusch的对应定理。

2.2.1. 特殊双列代数

满足下述条件的有界箭图 $\left(Q,I\right)$ 被称为一个特殊双列有序对。

1) I是可许理想(admissible ideal)；

2) 对任意给定的 $v\in Q_0$ ，存在至多两个箭向 $\alpha ,\beta \in Q_1$ ，使得 $v=t\left(\alpha \right)=t\left(\beta \right)$ ；

3) 对任意给定的 $v\in Q_0$ ，存在至多两个箭向 $\alpha ,\beta \in Q_1$ ，使得 $v=s\left(\alpha \right)=s\left(\beta \right)$ ；

4) 对箭向 $\alpha \in Q_1$ ，如果存在 ${\beta }_1,{\beta }_2\in Q_1$ 使得 $t\left(\alpha \right)=s\left({\beta }_1\right)=s\left({\beta }_2\right)$ ，则 $\alpha {\beta }_1$ ， $\alpha {\beta }_2$ 至少一者属于I；

5) 对箭向 $\beta \in Q_1$ ，如果存在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in Q_1$ 使得 $t\left({\alpha }_1\right)=t\left({\alpha }_2\right)=s\left(\beta \right)$ ，则 ${\alpha }_1\beta$ ， ${\alpha }_2\beta$ 至少一者属于I。

定义2. 当有限维代数 $A=kQ/I$ 的有界箭图 $\left(Q,I\right)$ 是特殊双列对时，则称A是特殊双列代数。

例2. $A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$ 是特殊双列代数。

2.2.2. V-序列

设 $A=kQ/I$ 是特殊双列代数。对有界箭图 $\left(Q,I\right)=\left(Q_0,Q_1,s,t,I\right)$ ，定义 $\left(Q,I\right)$ 的形式逆有界箭图是 $\left(Q^{-1},I^{-1}\right)=\left(Q_0^{-1},Q_1^{-1},s,t,I^{-1}\right)$ ，其中， $Q_0^{-1}=Q_0$ ， $Q_1^{-1}=\left\{{\alpha }^{-1}|\alpha \in Q_1\right\}$ ， $s\left({\alpha }^{-1}\right)=t\left(\alpha \right)$ ， $t\left({\alpha }^{-1}\right)=s\left(\alpha \right)$ ，且对 $Q^{-1}$ 上的路径 ${\wp }^{-1}$ ， ${\wp }^{-1}\in I^{-1}$ 当且仅当 $\wp \in I$ (这里，对 $\wp ={\alpha }_1\cdots {\alpha }_n$ ，定义 ${\wp }^{-1}={\alpha }_n^{-1}\cdots {\alpha }_1^{-1}$ )。换言之，对Q上的每一个箭向 $\alpha :i\to j$ ， $\left(Q^{-1},I^{-1}\right)$ 为它赋予了一个形式逆 ${\alpha }^{-1}:j\to i$ 。自然地，对任意 $\omega \in Q_1\cup Q_1^{-1}$ 可以进一步定义 ${\left({\omega }^{-1}\right)}^{-1}=\omega$ ，且对任意长度0的路 $e\in Q_0$ ，定义 $e^{-1}=e$ 。

定义3. ( [29] , Definitions 2.1, 2.2). 设 $\left(Q,I\right)$ 是特殊双列有序对。

1) 有界箭图 $\left(Q,I\right)$ 上的长度n的V-序列(V-sequence)是定义在 $\left(Q,I\right)\cup \left(Q^{-1},I^{-1}\right)$ 上的序列 $\omega ={\omega }_1{\omega }_2\cdots {\omega }_n$ ，使得：

- $\omega$ 不存在形如 $\alpha {\alpha }^{-1}$ 的子序列；

- 对 $\omega$ 的任意形如 ${\alpha }_1\cdots {\alpha }_t$ 的子序列 ( ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_t\in Q_1$ )，有 ${\alpha }_1\cdots {\alpha }_t\notin I$ ；

- 对 $\omega$ 的任意形如 ${\alpha }_1\cdots {\alpha }_t$ 的子序列 ( ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_t\in Q_1^{-1}$ )，有 ${\alpha }_1\cdots {\alpha }_t\notin I^{-1}$ 。

如果两个V-序列 $\omega ={\omega }_1{\omega }_2\cdots {\omega }_n$ 和 ${\omega }^{\prime }={{\omega }^{\prime }}_1{{\omega }^{\prime }}_2\cdots {{\omega }^{\prime }}_n$ 满足 $\omega ={{\omega }^{\prime }}^{\pm 1}$ ，则称它们是等价的，记作 $\omega \simeq {\omega }^{\prime }$ 。特别地，规定0是平凡V-序列。习惯上，用 $\left[\omega \right]$ 表示与 $\omega$ 等价的全体V-序列构成的等价类，用 $\text{V}\left(A\right)$ 表示全体V-序列的等价类构成的集合。此外，对 $\omega$ 上的任何一条路径 $\wp$ 和I的任何一个元素 $r={\Sigma }_{i=1}^t{k}_i{\wp }_i$ ，始终有 $\wp \ne {\wp }_i$ ( $1\le i\le t$ ) (即 $\wp$ 不为r的任何去系数分量 ${\wp }_i$ )，则称 $\omega$ 是一个无关系依附的V-序列 (V-sequence without relation)。全体无关系依附的V-序列的等价类构成的集合记作 $\overline{\text{V}\left(A\right)}$ 。

2) 有界箭图 $\left(Q,I\right)$ 上的长度n的本原V-序列(primitive V-sequence) 是定义在 $\left(Q,I\right)\cup \left(Q^{-1},I^{-1}\right)$ 上的V-序列 $\beta ={\beta }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_n$ ，使得：

- $s\left(\beta \right)=t\left(\beta \right)$ ；

- 对任意 $t\ge 1$ ， ${\beta }^t$ 是V-序列；

- 对任意V-序列 ${\beta }^{\prime }$ ， $\beta \ne {{\beta }^{\prime }}^t$ ( $t\ge 2$ )。

两个本原V-序列 $\omega ={\omega }_1{\omega }_2\cdots {\omega }_n$ 和 ${\omega }^{\prime }={{\omega }^{\prime }}_1{{\omega }^{\prime }}_2\cdots {{\omega }^{\prime }}_n$ 如果满足 $\omega \left[t\right]={{\omega }^{\prime }}^{\pm 1}$ (其中， $\omega \left[t\right]$ 表示 ${\omega }_{\overline{1+t}}{\omega }_{\overline{2+t}}\cdots {\omega }_{\overline{n+t}}$ ，这里对整数x，记号 $\bar{x}$ 表示x对n取余数后再加上1，即 $\bar{x}=x\mathrm{mod}n+1\in \mathbb{Z}/n$ )，则称它们是等价的，记作 $\omega \simeq {\omega }^{\prime }$ ，用 $\left[\omega \right]$ 表示与 $\omega$ 等价的全体本原V-序列构成的等价类，用 $\text{pV}\left(A\right)$ 表示全体本原V-序列的等价类构成的集合。

2.2.3. Wald-Waschbusch对应定理

下面定理由Wald-Waschbusch给出，它指出V-序列和本原V-序列可以用来刻画特殊双列代数上的不可分解模。

定理2. (Wald-Waschbusch对应定理)设A是特殊双列代数， $\text{ind}\left(\mathrm{mod}A\right)$ 是其全体不可分解对象的同构类构成的集合。则存在满射

$M_A:\text{V}\left(A\right)\cup \left(\text{pV}\left(A\right)\times \mathcal{J}\right)\stackrel{}{\to }\text{ind}\left(\mathrm{mod}A\right)$ ，

使得 $\mathrm{Im}\left(M_A{|}_{\text{V}\left(A\right)}\right)\cap \text{Im}\left(M_A{|}_{\text{pV}\left(A\times \mathcal{J}\right)}\right)=\varnothing$ ，其中 $\mathcal{J}$ 表示全体特征值非零的Jordan块构成的集合。特别地，如果A上的投射–内射模都是单列模，则 $M_A$ 是双射。

例3. 考虑 $A=A_2{\otimes }_k{\tilde{A}}_2$ ，其有界箭图为 $\left(Q_A,I_A\right)$ ，其中 $Q_A=$

$I_A$ 由 ${\text{rad}}^{2}k{\mathbb{A}}_2$ ， ${\text{rad}}^{2}k{\tilde{\mathbb{A}}}_1$ 以及张量的运算性质自然诱导。则A上全体V-序列(在等价意义下)可分类如下：

1) 长度0的V-序列：共4个，由箭图的四个顶点给出；

2) 长度1的V-序列：共6个，由箭图的箭向集给出；

3) 长度2的无关系依附V-序列： $\left(a_1\otimes e_{B,1}\right){\left(e_{A,2}\otimes b_2\right)}^{-1}$ ， $\left(a_1\otimes e_{B,2}\right){\left(e_{A,2}\otimes b_1\right)}^{-1}$ ， ${\left(a_1\otimes e_{B,1}\right)}^{-1}\left(e_{A,1}\otimes b_1\right)$ ， ${\left(a_1\otimes e_{B,2}\right)}^{-1}\left(e_{A,1}\otimes b_2\right)$ ，共4个；

4) 长度3的无关系依附V-序列：共2个：

- ${\left(e_{A,1}\otimes b_1\right)}^{-1}\left(a_1\otimes e_{B,1}\right){\left(e_{A,2}\otimes b_2\right)}^{-1}$

- ${\left(e_{A,1}\otimes b_2\right)}^{-1}\left(a_1\otimes e_{B,2}\right){\left(e_{A,2}\otimes b_1\right)}^{-1}$

5) 长度4的本原V-序列：

- ${\beta }_1=\left(a_1\otimes e_{B,1}\right)\left(e_{A,2}\otimes b_1\right){\left(a_1\otimes e_{B,2}\right)}^{-1}{\left(e_{A,1}\otimes b_1\right)}^{-1}$ ；

- ${\beta }_2=\left(e_{A,1}\otimes b_1\right)\left(a_1\otimes e_{B,1}\right){\left(e_{A,2}\otimes b_2\right)}^{-1}{\left(a_1\otimes e_{B,2}\right)}^{-1}$ ；

6) 其它V-序列，它们都不是无关系依附的V-序列。

对任何属于 $\left(1\right)\cup \left(2\right)\cup \left(3\right)\cup \left(4\right)=\overline{\text{V}\left(A\right)}$ 的V-序列 $\omega$ ， $M_A\left(\left[\omega \right]\right)$ 是不可分解A-模，且 $M_A{|}_{\overline{\text{V}\left(A\right)}}$ 是单射。而对于 ${\beta }_i$ ( $i=1,2$ )，则是：

$M_A\left(\left[{\beta }_i\right],J_n\left(\lambda \right)\right)=\{\begin{array}{l}P\left(s\left({\beta }_i\right)\right),如果n=1且\lambda =1;\\ 0,其它情形,\end{array}$

其中， $J_n\left(\lambda \right)\in \mathcal{J}$ 表示特征值为 $\lambda$ 的n阶Jordan块， $P\left(s\left({\beta }_i\right)\right)$ 是对应于点 $s\left({\beta }_i\right)\in {\left(Q_A\right)}_0$ 的不可分解投射模 (且易见它是不可分解的投射–内射模)。对于任何属于 $\left(6\right)=\text{V}\left(A\right)\backslash \overline{\text{V}\left(A\right)}$ 的V-序列 $\omega$ ，此时是 $M_A\left(\left[\omega \right]\right)=0$ 。可见，映射 $M_A$ 给出了 $A=A_2{\otimes }_k{\tilde{A}}_2$ 的全体不可分解模，共18个。

3. V-序列

从文章的此处开始，始终记 $A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$ 为 ${\Lambda }_n$ ，并用 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 表示其有界箭图。本章将引入交错V-序列的概念，并用它给出不可分解- ${\Lambda }_n$ 模在同构意义下的分类。

3.1. 交错V-序列

定义4. 有界箭图 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的交错V-序列(alternate V-sequence) $\omega ={\omega }_1{\omega }_2\cdots {\omega }_l$ ( ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_l\in Q_1\cup Q_1^{-1}$ )是同时满足下述条件的V-序列：

1) 对任意 $1\le i<l$ ，如果 ${\omega }_i\in {\left(Q_{{\Lambda }_n}\right)}_1$ ，则 ${\omega }_{i+1}\in {\left(Q_{{\Lambda }_n}\right)}_i^{-1}$ ；

2) 对任意 $1\le i<l$ ，如果 ${\omega }_i\in {\left(Q_{{\Lambda }_n}\right)}_1^{-1}$ ，则 ${\omega }_{i+1}\in {\left(Q_{{\Lambda }_n}\right)}_1$ 。

显然，交错V-序列一定是无关系依附的V-序列。由于所有V-序列可以分为交错V-序列和非交错V-序列两类，因此通过下面引理可知 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的无关系依附的V-序列都是交错V-序列(即推论1)。

引理1. 任取 $\omega \in \text{V}\left({\Lambda }_n\right)$ 使得 $\omega$ 上存在一条长度2的子路 ${\omega }_t{\omega }_{t+1}$ (即 ${\omega }_t,{\omega }_{t+1}\in Q_1$ ，或 ${\omega }_t,{\omega }_{t+1}\in Q_1^{-1}$ 。这里不失一般性地假设前者成立)，则 ${\omega }_t{\omega }_{t+1}$ 必为 $I_{{\Lambda }_n}$ 的某个生成元的去系数分量。

证. 根据例3，易见 ${\omega }_t$ 或者形如 $a_i\otimes e_{B,j}$ ，或者形如 $e_{A,i}\otimes b_j$ 。若 ${\omega }_t=a_i\otimes e_{B,j}$ ，则由 $t\left({\omega }_t\right)=s\left({\omega }_{t+1}\right)$ ，可知 ${\omega }_{t+1}$ 或者等于 $a_{i+1}\otimes e_{B,j}$ ，或者等于 $e_{A,i+1}\otimes b_j$ 。若 ${\omega }_{t+1}=a_{i+1}\otimes e_{B,j}$ ，则

${\omega }_t{\omega }_{t+1}=\left(a_i\otimes e_{B,j}\right)\left(a_{i+1}\otimes e_{B,j}\right)=a_i{a}_{i+1}\otimes e_{B,j}\in I_{{\Lambda }_n}$ ，

与V-序列的定义矛盾。所以 ${\omega }_{t+1}=e_{A,i+1}\otimes b_j$ 。而对于后者，

$r:=\left(a_i\otimes e_{B,j}\right)\left(e_{A,i+1}\otimes b_j\right)-\left(e_{A,i}\otimes b_j\right)\left(a_i\otimes e_{B,j+1}\right)\in I_{{\Lambda }_n}$ ，

且r是 $I_{{\Lambda }_n}$ 的生成元。 ${\omega }_t{\omega }_{t+1}=\left(a_i\otimes e_{B,j}\right)\left(e_{A,i+1}\otimes b_j\right)$ 是r的去系数分量。对 ${\omega }_t=e_{A,i}\otimes b_j$ 的情形，证明类似。 $\square$

推论1. $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的V-序列是无关系依附V-序列当且仅当其是交错V-序列。

3.2. $M_{A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n}$ 的像

引理2. 1) 对任意 $\omega \in \text{V}\left({\Lambda }_n\right)\backslash \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ ，有 $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)=0$ 。

2) 对任意 $\omega \in \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ ，当 $\omega \ne 0$ 时，有 $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)\ne 0$ 。

3) 对任意 $\omega \in \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)$ ， $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right],J_n\left(\lambda \ne 0\right)\right)\ne 0$ 当且仅当 $n=1$ 且 $\lambda =1$ 。

4) $M_{{\Lambda }_n}{|}_{\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}}$ 是单射。

证. 首先，注意到对任意不可分解投射 $k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}$ -模P， $\text{rad}P$ 或者是单列模，或者是两个不可分解单列模的直和，其中， $J_{{\Lambda }_n}$ 的生成元由 $I_{{\Lambda }_n}$ 中的零关系(即全部长度2的路径) 给出，即：

$J_{{\Lambda }_n}=\langle \left(a_u\otimes e_v\right)\left(a_{u+1}\otimes e_v\right),\left(e_{A,i}\otimes b_j\right)\left(e_{A,i}\otimes b_{j+1}\right)|1\le u<n,1\le i\le n;v,j\in \mathbb{Z}/n\rangle$ 。

当 $\text{rad}P$ 是两个不可分解单列模的直和时，P不是投射–内射模。当P是投射–内射模时， $\text{rad}P$ 是单列模。又因为有限维k-代数上的不可分解模的顶部 $\text{top}P=P/\text{rad}P$ 是单模，因此当 $\text{rad}P$ 是单列模时，P一定也是单列的，此时得到P也是单列的。所以不可分解的投射–内射 $k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}$ -模是单列模。然后根据定理2，得到 $M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}$ 是双射。

其次，令 $I_{{\Lambda }_n}$ 的全体交换关系(即形如 $\left(a_i\otimes e_{B,j}\right)\left(e_{A,i+1}\otimes b_j\right)-\left(e_{A,i}\otimes b_j\right)\left(a_i\otimes e_{B,j+1}\right)=:r_{i,j}$ 的生成元)构成的集合为 $C=\left\{r_{i,j}|1\le i<n,1\le j\le n\right\}$ ，并自然地记 $C+J_{{\Lambda }_n}=\left\{r_{i,j}+{\Lambda }_n|1\le i<n,1\le j\le n\right\}$ 。于是得到下述满同态

$\pi :k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}\stackrel{}{\to }\left(k{Q}_{{\Lambda }_n}/I_{{\Lambda }_n}\right)/\left(C+{\Lambda }_n\right)\cong k{Q}_{{\Lambda }_n}/I_{{\Lambda }_n}={\Lambda }_n$ 。

它诱导了如图2所示的交换图。

Figure 2. Commutative graph

图2. 交换图

其中(注意 $F_{\pi }$ 和 $G_{\pi }$ 只是映射而非函子，且上述交换图亦可通过定理2以及Wald-Waschbusch在文献 [29] 中的相关工作指出)：

• 对 $\left(Q_{{\Lambda }_n},J_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的(本原) V-序列 $\omega$ ，若其同时也是 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的(本原) V-序列 $\omega$ ，则 $G_{\pi }\left(\left[\omega \right]\right)=\left[\omega \right]$ ；若 $\omega$ 不是 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的(本原) V-序列 $\omega$ ，则 $G_{\pi }\left(\left[\omega \right]\right)=\left[0\right]$ ；

• 由 $\pi$ 是满射知任意 ${\Lambda }_n$ -模都可以被自然地看成 $k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}$ -模，因此，存在单射从 $\text{ind}\left(\mathrm{mod}{\Lambda }_n\right)$ 到 $\text{ind}\left(\mathrm{mod}\left(k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}\right)\right)$ 的单射 ${\tilde{F}}_{\pi }$ ，而 $F_{\pi }$ 由 ${\tilde{F}}_{\pi }$ 按下述方式给出：对任意不可分解的 $k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}$ -模M，若存在不可分解 ${\Lambda }_n$ -模N使得 ${\tilde{F}}_{\pi }\left(N\right)=M$ ，则 $F_{\pi }\left(M\right)=N$ ；否则 $F_{\pi }\left(M\right)=0$ 。

由推论1，对 $\left(Q_{{\Lambda }_n},J_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的(本原) V-序列 $\omega$ ，它看到 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的(本原)序列时，有如下情形：

a) $\omega$ 不是 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的(本原) V-序列，此时，在 $\omega$ 上存在一条 $Q_{{\Lambda }_n}$ 上的路径，该路径属于 $I_{{\Lambda }_n}$ ；

b) $\left[\omega \right]\in \text{V}\left({\Lambda }_n\right)\backslash \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ ，即 $\omega$ 是 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的V-序列，但不是无关系依附的；

c) $\left[\omega \right]\in \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ ，即 $\omega$ 是 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的无关系依附V-序列；

d) $\left[\omega \right]\in \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)$ 。

下面证明(1)。对任意 $\omega \in \text{V}\left({\Lambda }_n\right)$ ，将其视为 $\left(Q_{{\Lambda }_n},J_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的V-序列 $\omega$ ，有

$M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)=M_{{\Lambda }_n}\left(G_{\pi }\left(\left[\omega \right]\right)\right)=F_{\pi }\left(M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\omega \right]\right)\right)$ ； ( ∗ )

对任意 $\omega \in \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)$ ，将其视为 $\left(Q_{{\Lambda }_n},J_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的本原V-序列 $\omega$ ，有

$M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right],J_n\left(\lambda \ne 0\right)\right)=M_{{\Lambda }_n}\left(G_{\pi }\left(\left[\omega \right]\right),J_n\left(\lambda \right)\right)=F_{\pi }\left(M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\omega \right]\right),J_n\left(\lambda \right)\right)$ 。

考虑 $\omega \in \text{V}\left({\Lambda }_n\right)\backslash \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}\left(⊊\text{V}\left({\Lambda }_n\right)\right)$ 属于分类(b)的情形，此时，在 $\omega$ 上存在长度2的路 $\alpha \beta$ 是某个 $I_{{\Lambda }_n}$ 的生成元去系数分量(记该生成元为 $\alpha \beta -{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }$ )，对应地，将它视为 $\left(Q_{{\Lambda }_n},J_{{\Lambda }_n}\right)$ 上的V-序列时， $M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\omega \right]\right)$ 在 ${\tilde{F}}_{\pi }$ 的意义下没有非零原像。这是因为，如果存在 $0\ne N\in \text{ind}\left(\mathrm{mod}{\Lambda }_n\right)$ 使得 ${\tilde{F}}_{\pi }\left(N\right)=M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\omega \right]\right)$ ，则对N的箭图表示 $N={\left(N{e}_i,{\phi }_x\right)}_{i\in {\left(Q_{{\Lambda }_n}\right)}_0,x\in {\left(Q_{{\Lambda }_n}\right)}_1}\ne 0$ ， $N{e}_{s\left(\alpha \right)}=N{e}_{s\left({\alpha }^{\prime }\right)}$ ， $N{e}_{t\left(\alpha \right)}=N{e}_{s\left(\beta \right)}$ ， $N{e}_{t\left({\alpha }^{\prime }\right)}=N{e}_{s\left({\beta }^{\prime }\right)}$ ， $N{e}_{t\left(\beta \right)}=N{e}_{t\left({\beta }^{\prime }\right)}$ 均非零。由此推知N对应的V-序列必有形如 $\alpha \beta {\left({\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }\right)}^{-1}$ 的子序列。再由定理2，N对应的V-序列只能是无关系依附的，这与 $\alpha \beta -{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }\in I_{{\Lambda }_n}$ 矛盾。因此必有 $F_{\pi }\left(M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\omega \right]\right)\right)=0$ 。再由( $\ast$ )，就得 $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)=0$ 。同理考虑 $\omega$ 属于分类(c)和(d)的情形，可证明(2)和(3)。

下面证明(4)。由(1)和(2)可知若存在 $\left[\omega \right],\left[{\omega }^{\prime }\right]\in \text{V}\left({\Lambda }_n\right)$ 使得 $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)=M_{{\Lambda }_n}\left(\left[{\omega }^{\prime }\right]\right)$ ，则

$M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\omega \right]\right)={\tilde{F}}_{\pi }\left(M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)\right)={\tilde{F}}_{\pi }\left(M_{{\Lambda }_n}\left(\left[{\omega }^{\prime }\right]\right)\right)=M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[{\omega }^{\prime }\right]\right)$ 。

由 $M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}$ 是双射，可知在 $\left(Q_{{\Lambda }_n},J_{{\Lambda }_n}\right)$ 上有 $\left[\omega \right]=\left[{\omega }^{\prime }\right]$ ，于是 $\left[G_{\pi }\left(\omega \right)\right]=\left[G_{\pi }\left({\omega }^{\prime }\right)\right]$ ，即在 $\left(Q_{{\Lambda }_n},I_{{\Lambda }_n}\right)$ 上有 $\left[\omega \right]=\left[{\omega }^{\prime }\right]$ 。所以， $M_{{\Lambda }_n}{|}_{\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}}$ 是单射。 $\square$

4. 主要结论

本节对 ${\Lambda }_n=A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$ 上的不可分解模进行完全分类。首先，由引理2 (3)，可知 ${\Lambda }_n$ 上的不可分解模可以分为两个部分：对应于交错V-序列的不可分解模和不可分解的投射–内射模。更精确地说，有下述定理：

定理3. 存在双射

$\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}\cup \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\stackrel{}{\to }\text{ind}\left(\mathrm{mod}{\Lambda }_n\right)$

将 $\omega \in \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ 映射为 $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)$ ，将 $\beta \in \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)$ 映射为 $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\beta \right],J_1\left(1\right)\right)$ 。

证. 由引理2的(4)可知 $M_{{\Lambda }_n}{|}_{\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}}$ 是单射，所以 $\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ 与 $\text{im}\left(M_{{\Lambda }_n}{|}_{\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}}\right)$ 在映射 $M_{{\Lambda }_n}$ 的意义下一一对应。

再者，对每个 $\beta \in \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)$ ，由引理2的(3)可知 $M_{{\Lambda }_n}\left(\beta ,J_n\left(\lambda \right)\right)\ne 0$ 当且仅当 $n=1$ 且 $\lambda =1$ ，且更精确地说，在 $k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}$ 中， $M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\beta \right],J_n\left(\lambda \right)\right)=M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[{\beta }^{\prime }\right],J_m\left(\mu \right)\right)$ 当且仅当 $\left[\beta \right]=\left[{\beta }^{\prime }\right]$ ， $n=m$ 且 $\lambda =\mu$ (这是因为 $M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}$ 是双射，见引理2的证明)。所以，由图2所给的交换图，可知

$M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[\beta \right],J_1\left(1\right)\right)={\tilde{F}}_{\pi }\left(M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\beta \right],J_1\left(1\right)\right)\right)={\tilde{F}}_{\pi }\left(M_{{\Lambda }_n}\left(\left[{\beta }^{\prime }\right],J_1\left(1\right)\right)\right)=M_{k{Q}_{{\Lambda }_n}/J_{{\Lambda }_n}}\left(\left[{\beta }^{\prime }\right],J_1\left(1\right)\right)$ ，

$\Rightarrow \left(\left[\beta \right],J_1\left(1\right)\right)=\left(\left[{\beta }^{\prime }\right],J_1(\; 1\; )\right)$

于是 $\left[\beta \right]=\left[{\beta }^{\prime }\right]$ ，这意味着 $M_{{\Lambda }_n}{|}_{\left\{\left(\beta ,J_1\left(1\right)\right)|\beta \in \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\right\}}$ 是单射。于是 $M_{{\Lambda }_n}$ 按下述图示诱导了从 $\text{pV}\left({\Lambda }_n\right)$ 到 $\text{PI}\left({\Lambda }_n\right):=$ {不可分解投射–内射 ${\Lambda }_n$ -模}的双射。

$\text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\underset{1-1}{\overset{\beta \mapsto (\beta ,J_1(1))}{\to }}\text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\times \left\{J_1\left(1\right)\right\}=\left\{\left(\beta ,J_1\left(1\right)\right)|\beta \in \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\right\}\underset{1-1}{\overset{M_{{\Lambda }_n}}{\to }}\text{PI}\left({\Lambda }_n\right)$ 。

最后，由于对其它V-序列 $\omega \in \text{V}\left({\Lambda }_n\right)\backslash \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ ，由引理2的(1)可知 $M_{{\Lambda }_n}\left(\left[\omega \right]\right)=0$ 。所以，

$\text{ind}\left(\mathrm{mod}{\Lambda }_n\right)=\text{im}\left(M_{{\Lambda }_n}{|}_{\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}}\right)\cup \text{PI}\left({\Lambda }_n\right)$ 。

由定理2 (即 $\text{im}\left(M_{{\Lambda }_n}{|}_{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}\right)\cap \text{im}\left(M_{{\Lambda }_n}{|}_{\text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\times \mathcal{J}}\right)=\varnothing$ )可知上式右侧的并集是不交并，这就得到了双射

$\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}\cup \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\stackrel{1-1}{\to }\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}\cup \left(\text{pV}\left({\Lambda }_n\right)\times \left\{J_1\left(1\right)\right\}\right)$

$\stackrel{1-1}{\to }\text{im}\left(M_{{\Lambda }_n}{|}_{\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}}\right)\cup \text{PI}\left({\Lambda }_n\right)=\text{ind}\left(\mathrm{mod}{\Lambda }_n\right)$ 。 $\square$

推论2. ${\Lambda }_n=A_n{\otimes }_k{\tilde{A}}_n$ 上的不可分解模要么是不可分解的投射–内射模，要么是交错V-sequence对应的模。进一步地，在同构意义下，不可分解 ${\Lambda }_n$ -模的个数为 $2n^3+n^2-n$ 。

证. 定理3给出了不可分解 ${\Lambda }_n$ -模在同构意义下的完全分类。因此，要计算不可分解 ${\Lambda }_n$ -模的同构类数，只需计算 $\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}\cup \text{pV}\left({\Lambda }_n\right)$ 的元素个数。首先， $\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}=\left(\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)},\right)$ 是偏序集，其中，对任意两个交错V-序列 $\omega ,{\omega }^{\prime }\in \overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ ，偏序 $\omega {\omega }^{\prime }$ 由 $\omega \subseteq {\omega }^{\prime }$ 定义。易见 $\overline{\text{V}\left({\Lambda }_n\right)}$ 的极大元素存在，其总是形如

$\left(e_{A,n}\otimes b_{\bar{j}}\right){\left(a_{n-1}\otimes e_{B,\overline{j+1}}\right)}^{-1}\left(e_{A,n-1}\otimes b_{\overline{j+1}}\right){\left(a_{n-2}\otimes e_{B,\overline{j+2}}\right)}^{-1}\cdots \left(e_{A,2}\otimes b_{\overline{j+n}}\right){\left(a_1\otimes e_{B,\overline{j+\left(n-1\right)}}\right)}^{-1}\left(e_{A,1}\otimes b_{\overline{j+n+1}}\right)$ ，

其中，对整数x，记号 $\bar{x}$ 表示x对n取余数后再加1；它们的长度均为 $2n-1$ ，共n个。

因为任意交错V-序列一定是且唯一地是的某个极大交错V-序列的子序列，所以长度 $\ge 1$ 的交错V-序列由极大交错V-序列的子序列完全决定，其总数为 $n{\text{C}}_{2n}^2$ 。又，长度0的交错V-序列总数为箭图的顶点数 $n^2$ ；不可分解投射–内射模的同构类数为 $n\left(n-1\right)$ ，于是，不可分解模的同构类数为 $n{\text{C}}_{2n}^2+n^2+n\left(n-1\right)=2n^3+n^2-n$ 。 $\square$

5. 总结

本文在 [13] [14] 以及 [28] 的基础上考虑了2次Jacobson根为零的线性定向的 $\mathbb{A}$ 型、 $\tilde{\mathbb{A}}$ 型Nakayama代数的张量代数，该张量代数是一个特殊双列代数。特殊双列代数上的不可分解模的刻画可以通过一个从箭图上的V-序列和本原V-序列表述，见Wald-Waschbusch对应定理2，一般说来，该表述是一个满射而非双射。Wald-Waschbusch指出当特殊双列代数上的不可分解投射–内射模都是单列模时，Wald-Waschbusch给出的对应是双射，而对于存在非单列的不可分解投射–内射模的情况，则相对复杂。本文考虑的张量代数正是这一类，我们通过对V-序列和本原V-序列进行了更详细的分类，得到了该张量代数的不可分解模的完全分类以及在同构意义下的计数公式。我们相信，这对研究一般的特殊双列代数乃至双列代数都是有意义的。

基金项目

本文由国家自然科学基金面上项目(12061001; 12171207)、四川省科技厅2023年中央引导地方科技发展项目(申请号2023ZYD0005)、贵州大学引进人才科研启动基金项目(贵大人基合字(2022)53号，(2022)65号)、贵州省科技计划项目(黔科合基础-ZK[2024]一般066)资助。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。