二维定常Euler方程超音速解的存在性

Existence of Supersonic Solution for Two-Dimensional Steady Euler Equations

摘要: 本文研究广义压力下跨音速流动问题在音速曲线附近的解。给定音速曲线和正特征线上的条件，构造了二维等熵Euler方程的超音速解。由于该系统是退化的，在音速曲线上失去双曲性并产生奇点。因此通过引入一组新变量将该问题转化为一个具有显式奇异正则结构的线性系统，利用迭代法建立新系统光滑解的存在唯一性，从而证明了原系统解的存在性。

Abstract: In this paper, we study the solution of transonic flow problems under generalized pressure near the sonic curve. Given the conditions of the sonic curve and the positive characteristic line, the su-personic solution of the two-dimensional isentropic Euler equation is constructed. Since this system is degenerate, it loses hyperbolicity and produces singularities on the sonic curve. Therefore, by introducing a new set of variables, the problem is transformed into a linear system with explicit singular regular structure. The existence and uniqueness of the smooth solution of the new system are established by iterative method, and the existence of the solution of the original system is proved.

1. 引言

二维定常等熵Euler方程为

$\{\begin{array}{l}{\left(\rho u\right)}_x+{\left(\rho v\right)}_y=0,\\ {\left(\rho u^2+p\right)}_x+{\left(\rho uv\right)}_y=0,\\ {\left(\rho uv\right)}_x+{\left(\rho u^2+p\right)}_y=0.\end{array}$ (1.1)

其中 $\rho$ 是密度， $\left(u,v\right)$ 是速度，压力 $p=p\left(\rho \right)$ 是 $\rho$ 的函数满足 $p\left(\rho \right)=A_1{\rho }^{{\gamma }_1}+A_2{\rho }^{{\gamma }_2}$ 。其中 $A_1,A_2$ 是气体常数， ${\gamma }_1,{\gamma }_2\in \left(1,3\right)$ ，假设流是无旋的，即 $u_x=v_y$ ，则有

$\{\begin{array}{l}\left(c^2-u^2\right)u_x-uv\left(u_y+v_x\right)+\left(c^2-v^2\right)v_y=0,\\ u_y=v_x.\end{array}$ (1.2)

Bernoulli定律为

$\frac{q^2}{2}+{\displaystyle {\int }_{{\rho }_0}^{\rho }\frac{p^{\prime }\left(\rho \right)}{\rho }\text{d}\rho }=0,$ (1.3)

其中 $c=\sqrt{p^{\prime }\left(\rho \right)}$ 是音速， $q=\sqrt{u^2+v^2}$ 。

系统(1.2)的特征值为

${\Lambda }_{\pm }=\frac{uv\pm c\sqrt{q^2-c^2}}{u^2-c^2}.$ (1.4)

当 $q>c$ 时，流动是超音速的，当 $q<c$ 时，流动是亚音速的。

本文的问题来源于跨音速管道流动问题。1948年在著名的著作《超音速流动与激波》中，Courant和Friedrichs描述了一种现象，即假设管道壁为平面，但在某些部分有一个向内的小凸起。如果入口马赫数不多于1的情况下，流动在靠近凸起的有限区域内变为超音速，在出口部分还是纯亚音速的。

类似的跨音速关于双曲区域的该系统已经有了较多的研究结果，Li和Zheng [1] 考虑了在初始稀疏波较大的情况下，构造了二维Euler方程四个具有两个对称轴的平面稀疏波相互作用的整体经典解，但是这个解并不是跨音速解。Hu和Li [2] 以马赫角和流角为自变量，构造了定常流的经典音速–超音速解。Zhang和Zheng [3] 在二维定常可压Euler方程组的曲线一侧构造了一个局部光滑的超声波解。张天佑 [4] 等通过构造迭代序列研究了二维拟定常Euler方程的退化柯西问题。Li和Hu [5] 研究了完全Euler方程理想气体跨音速流动问题音速曲线附近音速–超音速解的结构，给出了两条光滑曲线，一条是音速曲线，另一条是特征线，构造了二维定常Euler方程在角形区域的局部经典解。而本文直接利用马赫角的特征分解研究一般气体下Euler方程的音速–超音速解。

本文的目的是建立在一般气体下的Euler方程的退化混合型边值问题，具体考虑的问题如下。

问题1令 $\stackrel{⌢}{BA}$ 和 $\stackrel{⌢}{BC}$ 为两条光滑曲线，我们给定在该两条曲线上的条件使得 $\stackrel{⌢}{BA}$ 为正特征曲线， $\stackrel{⌢}{BC}$ 为音速曲线，我们在B点附近寻找一个经典超音速解。

本文组织安排如下。第2节建立马赫角的特征分解并引出定理说明问题1解的存在性；第3节引入部分速度图变换把系统线性化并构造了迭代序列；第4节证明线性系统的混合型问题经典解的存在性；第5节将结果变换原始平面，至此，我们证明了问题1解的存在唯一性。

2. 基本关系和主要结论

在本节中，我们建立了关于马赫角的特征分解并提出了主要结论。

2.1. 特征分解

称 $\theta \in \left[-\pi ,\pi \right)$ 为流角， $\omega \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 为马赫角，满足

$\tan \theta =\frac{v}{u},\sin \omega =\frac{c}{q}.$ (2.1)

因而在音速曲线上有 $\omega =\frac{\pi }{2}$ ，定义角

$\alpha :=\theta +\omega ,\beta :=\theta -\omega .$ (2.2)

易证

$\tan \alpha ={\Lambda }_{+},\tan \beta ={\Lambda }_{-},$ (2.3)

其中 $$ 和 $\beta$ 分别对应于正特征线和负特征线的倾斜角。可得

$u=c\frac{\cos \theta }{\sin \omega },v=c\frac{\sin \theta }{\sin \omega }.$ (2.4)

引入方向导数，记

$\begin{array}{ll}{\bar{\partial }}^{+}=\cos \alpha {\partial }_x+\sin \alpha {\partial }_y,\hfill & {\bar{\partial }}^{-}=\cos \beta {\partial }_x+\sin \beta {\partial }_y,\hfill \\ {\bar{\partial }}^0=\cos \theta {\partial }_x+\sin \theta {\partial }_y,\hfill & {\bar{\partial }}^{\perp }=-\sin \theta {\partial }_x+\cos \theta {\partial }_y,\hfill \end{array}$ (2.5)

因而

$\begin{array}{ll}{\bar{\partial }}^{+}=\cos \alpha {\partial }^{+},\hfill & {\bar{\partial }}^{-}=\cos \beta {\partial }^{-},\hfill \\ {\bar{\partial }}^{+}+{\bar{\partial }}^{-}=2\cos \omega {\bar{\partial }}^0,\hfill & {\bar{\partial }}^{+}-{\bar{\partial }}^{-}=2\sin \omega {\bar{\partial }}^{\perp },\hfill \end{array}$ (2.6)

其中 ${\partial }^{\pm }={\partial }_x+{\Lambda }_{\pm }{\partial }_y$ 。

则系统(1.2)的特征形式为

${\partial }^{\pm }u+{\Lambda }_{\mp }{\partial }^{\pm }v=0.$ (2.7)

由(2.6)可得 $\left(\theta ,\omega ,c\right)$ 三者之间的关系，即

$\{\begin{array}{l}{\bar{\partial }}^{+}\theta +\frac{{\cos }^2\omega }{{\sin }^2\omega }{\bar{\partial }}^{+}\omega -\frac{\cos \omega }{\sin \omega }\frac{{\bar{\partial }}^{+}c}{c}=0,\hfill \\ {\bar{\partial }}^{-}\theta -\frac{{\cos }^2\omega }{{\sin }^2\omega }{\bar{\partial }}^{-}\omega +\frac{\cos \omega }{\sin \omega }\frac{{\bar{\partial }}^{-}c}{c}=0.\hfill \end{array}$ (2.8)

对(1.3)求导，代入(2.4)得

$\frac{{\bar{\partial }}^{\pm }c}{c}=\frac{1}{\sin \omega \left(1+\kappa {\sin }^2\omega \right)}{\bar{\partial }}^{\pm }\sin \omega ,$ (2.9)

其中 $\kappa =\frac{\rho p^{″}\left(\rho \right)}{2p^{\prime }\left(\rho \right)}$ ，由(1.3)知， $\rho$ 是 $\sin \omega$ 的函数，所以有 $\rho =\rho \left(\sin \omega \right)$ ， $\kappa =\kappa \left(\sin \omega \right)$ 。令 $\sin \omega =\varpi$ ，则

$\{\begin{array}{l}{\bar{\partial }}^{+}\theta +\frac{\kappa \cos \omega }{1+\kappa {\varpi }^2}{\bar{\partial }}^{+}\varpi =0,\hfill \\ {\bar{\partial }}^{-}\theta -\frac{\kappa \cos \omega }{1+\kappa {\varpi }^2}{\bar{\partial }}^{-}\varpi =0.\hfill \end{array}$ (2.10)

为了将系统线性化，引入变换

$\Xi ={\displaystyle {\int }_0^{\varpi }\frac{1}{2\varpi \left(1+\kappa {\varpi }^2\right)}\text{d}\varpi }.$ (2.11)

由(2.11)知

${\bar{\partial }}^i\varpi =2\varpi \left(1+\kappa {\varpi }^2\right){\bar{\partial }}^i\Xi ,i=0,\pm$ (2.12)

于是

$\{\begin{array}{l}{\bar{\partial }}^{+}\theta +\kappa \sin \left(2\omega \right){\bar{\partial }}^{+}\Xi =0,\hfill \\ {\bar{\partial }}^{-}\theta -\kappa \sin \left(2\omega \right){\bar{\partial }}^{-}\Xi =0.\hfill \end{array}$ (2.13)

由于

${\bar{\partial }}^{-}{\bar{\partial }}^{+}-{\bar{\partial }}^{+}{\bar{\partial }}^{-}=\frac{\cos \left(2\omega \right){\bar{\partial }}^{-}\alpha -{\bar{\partial }}^{+}\beta }{\sin \left(2\omega \right)}{\bar{\partial }}^{+}+\frac{\cos \left(2\omega \right){\bar{\partial }}^{+}\beta -{\bar{\partial }}^{-}\alpha }{\sin \left(2\omega \right)}{\bar{\partial }}^{-}$ (2.14)

因此

$\{\begin{array}{l}{\bar{\partial }}^{-}U=\frac{\kappa +1}{{\cos }^2\omega }{U}^2+\left(\frac{\cos \left(2\omega \right)\left[\kappa \cos \left(2\omega \right)-1\right]}{{\cos }^2\omega }-2{\kappa }^{\prime }\rho \right)UV,\hfill \\ {\bar{\partial }}^{+}V=\frac{\kappa +1}{{\cos }^2\omega }{V}^2+\left(\frac{\cos \left(2\omega \right)\left[\kappa \cos \left(2\omega \right)-1\right]}{{\cos }^2\omega }-2{\kappa }^{\prime }\rho \right)UV,\hfill \end{array}$ (2.15)

其中 $U={\bar{\partial }}^{+}\Xi$ ， $V={\bar{\partial }}^{-}\Xi$ 。

2.2. 主要结论

给定一个光滑曲线 $\stackrel{⌢}{BC}:y=\phi \left(x\right)$ 满足 $x_1\le x\le x_2$ ，假定在其上边界值 ${\left(\theta ,\varpi \right)|}_{\stackrel{⌢}{BC}}=\left(\hat{\theta },\hat{\varpi }\right)\left(x\right)$ 满足

$\phi \left(x\right)\in C^3\left(\left[x_1,x_2\right]\right),\hat{\theta }\in C^3\left(\left[x_1,x_2\right]\right),\hat{\varpi }=1$ (2.16)

从(2.16)中我们可以知道 $\stackrel{⌢}{BC}$ 是音速曲线，对于光滑曲线 $\stackrel{⌢}{AB}:x=\psi \left(y\right)\left(y\in \left[y_A,y_B\right]\right)$ 满足 $x_B=\psi \left(y_B\right)$ ，我们假设在曲线 $\stackrel{⌢}{AB}$ 上的值 ${\left(\theta ,\varpi \right)|}_{\stackrel{⌢}{AB}}=\left(\tilde{\theta },\tilde{\varpi }\right)\left(x\right)$ 满足

$\begin{array}{l}\psi \left(y\right)\in C^4\left(\left[y_A,y_B\right]\right),\tilde{\theta }\left(y\right)=\mathrm{arccot}{\psi }^{\prime }\left(y\right)-\arcsin \tilde{\varpi }\left(y\right),\tilde{\varpi }\left(y_B\right)=1,\\ \arcsin \tilde{\varpi }\left(y\right)-G\left(\tilde{\varpi }\left(y\right)\right)=\mathrm{arccot}{\psi }^{\prime }\left(y\right)-\left[\hat{\theta }\left(x_B\right)+G\left(\hat{\varpi }\left(x_B\right)\right)\right],\end{array}$ (2.17)

其中 $G=G\left(\varpi \right)={\displaystyle \int \frac{\sqrt{1-{\varpi }^2}}{\kappa +{\varpi }^2}\text{d}\varpi }$ 。从(2.17)中得知 $\stackrel{⌢}{AB}$ 是正特征曲线。

定理1给定两条光滑曲线 $\stackrel{⌢}{BC}$ 和 $\stackrel{⌢}{AB}$ 满足(2.16)和(2.17)，假设 ${\psi }^{\prime }\left(y_B\right)<0$ ， ${\hat{\theta }}^{\prime }\left(x_B\right)<0$ 和 $\left({\phi }^{\prime }\sin \hat{\theta }+\cos \hat{\theta }\right)\left(x_B\right)>0$ ，则带有条件的系统(2.10)在B点附近有一个经典超音速解。

我们首先核查在B点的相容性，对于 $\theta$ 有

$\begin{array}{c}\tilde{\theta }\left(B\right)=\mathrm{arccot}{\psi }^{\prime }\left(B\right)-\arcsin \tilde{\varpi }\\ =\hat{\theta }\left(B\right)+G\left(\hat{\varpi }\left(B\right)\right)-G\left(\hat{\varpi }\left(B\right)\right)=\hat{\theta }\left(B\right).\end{array}$

接下来我们证明(2.10)的第二个方程在B点成立。由 得 $\tilde{\theta }\left(y\right)=-\frac{\sqrt{1-{\varpi }^2}}{\kappa +{\varpi }^2}{\tilde{\varpi }}^{\prime }\left(y\right)$ ，因而有 ${\tilde{\theta }}^{\prime }\left(B\right)=0$ ，这表明 ${\bar{\partial }}^{+}\theta \left(B\right)=0$ ，回顾 ${\bar{\partial }}^{\pm }$ 的定义有

$\begin{array}{c}{\bar{\partial }}^{-}\theta \left(B\right)=\cos \left(\theta \left(B\right)-\omega \left(B\right)\right){\theta }_x\left(B\right)+\sin \left(\theta \left(B\right)-\omega \left(B\right)\right){\theta }_y\left(B\right)\\ =-\cos \left(\theta \left(B\right)+\omega \left(B\right)\right){\theta }_x\left(B\right)-\sin \left(\theta \left(B\right)+\omega \left(B\right)\right){\theta }_y\left(B\right)\\ =-{\bar{\partial }}^{+}\theta \left(B\right)=0.\end{array}$

又因为由于 $\cos \omega \left(B\right)=0$ ，因此由(2.10)的第二个方程知 ${\bar{\partial }}^{-}\theta \left(B\right)=0$ 。所以相容性成立。

接下来讨论 $\left(U,V\right)$ 在 $\stackrel{⌢}{BC}$ 和 $\stackrel{⌢}{AB}$ 的值。由(2.12)有

$\begin{array}{c}{U|}_{\stackrel{⌢}{BA}}={\frac{{\bar{\partial }}^{+}\varpi }{2\varpi \left(1+\kappa {\varpi }^2\right)}|}_{\stackrel{⌢}{BA}}=\frac{{\sin \alpha |}_{\stackrel{⌢}{BA}}}{2\tilde{\varpi }\left(1+\kappa {\varpi }^2\right)}{\tilde{\varpi }}^{\prime }\\ =\frac{{\tilde{\varpi }}^{\prime }}{2\tilde{\varpi }\left(1+\kappa {\varpi }^2\right)\sqrt{1+{\left({\psi }^{\prime }\right)}^2}}=:{\tilde{b}}_0\left(y\right).\end{array}$

显然 ${\tilde{b}}_0\in C^2\left[y_A,y_B\right]$ 。进而，由(2.6)知在 $\stackrel{⌢}{BC}$ 上有 ${\bar{\partial }}^{+}\Xi +{\bar{\partial }}^{-}\Xi =0$ 和 ${\bar{\partial }}^{+}\Xi -{\bar{\partial }}^{-}\Xi =-\frac{{\bar{\partial }}^0\theta }{\kappa \sin \omega }$ 。

因而

${U|}_{\stackrel{⌢}{BC}}={{\bar{\partial }}^{+}\Xi |}_{\stackrel{⌢}{BC}}=-{\frac{{\bar{\partial }}^0\theta }{2\kappa }|}_{\stackrel{⌢}{BC}},{V|}_{\stackrel{⌢}{BC}}={{\bar{\partial }}^{-}\Xi |}_{\stackrel{⌢}{BC}}={\frac{{\bar{\partial }}^0\theta }{2\kappa }|}_{\stackrel{⌢}{BC}}.$ (2.18)

由于 ${\bar{\partial }}^{\perp }\theta =-\kappa \left(U+V\right)\cos \omega$ 知 ${{\bar{\partial }}^{\perp }\theta |}_{\stackrel{⌢}{BC}}=0$ ，又因为 $\theta \left(x,\phi \left(x\right)\right)=\hat{\theta }\left(x\right)$ ，可得

${\theta }_x\left(x,\phi \left(x\right)\right)=\frac{{\hat{\theta }}^{\prime }\cos \hat{\theta }}{{\phi }^{\prime }\sin \hat{\theta }+\cos \hat{\theta }},{\theta }_y\left(x,\phi \left(x\right)\right)=\frac{{\hat{\theta }}^{\prime }\sin \hat{\theta }}{{\phi }^{\prime }\sin \hat{\theta }+\cos \hat{\theta }}.$ (2.19)

进而

${U|}_{\stackrel{⌢}{BC}}=-{V|}_{\stackrel{⌢}{BC}}=-{\frac{{\bar{\partial }}^0\theta }{2\kappa }|}_{\stackrel{⌢}{BC}}=-\frac{{\hat{\theta }}^{\prime }}{2\kappa \left({\phi }^{\prime }\sin \hat{\theta }+\cos \hat{\theta }\right)}=:-{\hat{a}}_0\left(x\right).$ (2.20)

由 得 ${\hat{a}}_0\in C^2\left[x_B,x_C\right]$ 。由上述求导过程我们知道 ${\tilde{b}}_0\left(x_B\right)=-{\hat{a}}_0\left(x_B\right)$ ，由于 $\kappa >0$ ，不难证明存在两个很小的常数 ${\epsilon }_0>0$ 和 ${\delta }_0>0$ 满足

$\begin{array}{l}{\hat{\theta }}^{\prime }\left(x\right)\le -{\epsilon }_0,{\hat{a}}_0\left(x\right)\le -{\epsilon }_0,\forall x\in \left[x_B,x_B+{\delta }_0\right],\\ {\psi }^{″}\left(y\right)\le {\epsilon }_0,{\tilde{b}}_0\left(y\right)\ge {\epsilon }_0,\forall y\in \left[y_B-{\delta }_0,y_B\right].\end{array}$ (2.21)

不失一般性，上述不等式(2.21)对 $x\in \left[x_B,x_C\right]$ ， $y\in \left[y_A,y_B\right]$ 均成立。

3. 部分速度图上的问题

本节通过引入变换将原系统(2.15)转化为新的线性系统，并将问题转化到新坐标 $\left(t,r\right)$ 平面上。

3.1. 在新坐标平面上的主要问题

引入变换

$t=\cos \omega \left(x,y\right),r=\theta \left(x,y\right).$ (3.1)

其Jacobi行列式

$J=\frac{\partial \left(t,r\right)}{\partial \left(x,y\right)}=\kappa \sin \omega \left({\bar{\partial }}^{+}\omega {\bar{\partial }}^{-}\Xi +{\bar{\partial }}^{-}\omega {\bar{\partial }}^{+}\Xi \right)=\frac{4\kappa \left(1-t^2\right)\left(\kappa +1-\kappa t^2\right)}{t}UV,$ (3.2)

显然，在 $\stackrel{⌢}{BC}$ 和 $\stackrel{⌢}{AB}$ 上Jacobi行列式始终不为0。在 $\left(t,r\right)$ 的变换下

${\bar{\partial }}^{+}=-\frac{2F}{t}U{\partial }_t-2\kappa \sqrt{1-t^2}Ut{\partial }_r,{\bar{\partial }}^{-}=-\frac{2F}{t}V{\partial }_t+2\kappa \sqrt{1-t^2}Vt{\partial }_r,$ (3.3)

其中 $F=F\left(t\right)=\left(1-t^2\right)\left(\kappa +1-\kappa t^2\right)$ ，因而

$\{\begin{array}{l}{U}_t-\frac{\kappa \sqrt{1-t^2}{t}^2}{F}{U}_r=-\frac{\left(\kappa +1\right)U}{2FV}\frac{U+V}{t}+\frac{2\kappa +1-2\kappa t^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}Ut,\hfill \\ V_t+\frac{\kappa \sqrt{1-t^2}{t}^2}{F}{V}_r=-\frac{\left(\kappa +1\right)V}{2FU}\frac{U+V}{t}+\frac{2\kappa +1-2\kappa t^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}Vt.\hfill \end{array}$ (3.4)

其中 $\rho =\rho \left(t\right)$ ， $\kappa =\kappa \left(t\right)$ 。

我们接下来我们讨论系统(3.4)在新平面上的边界条件，由于在 $\stackrel{⌢}{BC}$ 上 ${\hat{\theta }}^{\prime }\left(x\right)<0$ ，因而光滑曲线 $r=\hat{\theta }\left(x\right)$ 是严格递减函数，因此存在一个反函数，我们定义为 $x=\hat{x}\left(r\right)\left(r\in \left(r_1,r_2\right]\right)$ ，其中 $r_1=\hat{\theta }\left(x_C\right)$ ， $r_2=\hat{\theta }\left(x_B\right)$ ，我们把 $\stackrel{⌢}{BC}$ 在新平面上的部分称为 $\stackrel{⌢}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ ，同理由于 ${\psi }^{″}\left(y\right)<0$ 可知对 $r=\tilde{\theta }\left(y\right)$ 存在反函数 $y=\tilde{y}\left(r\right)\left(r\in \left[r_2,r_3\right)\right)$ ，其中 $r_3=\hat{\theta }\left(y_A\right)$ ，我们把 $\stackrel{⌢}{BA}$ 在新平面上的部分称为 $\stackrel{⌢}{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ ，因此有 ${U|}_{\stackrel{⌢}{B^{\prime }{A}^{\prime }}}={\tilde{b}}_0\left(\tilde{y}\left(r\right)\right)$ 。通过简单的计算我们可以验证曲线 $\stackrel{⌢}{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ 是系统(3.4)的正特征曲线，具体由下式定义

$r=r_2+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\kappa \sqrt{1-t^2}{t}^2}{F}\text{d}t}=:\bar{r}\left(t\right).$ (3.5)

除此之外，对于光滑解，由(3.4)得到

${U_t|}_{t=0}={\frac{U+V}{2t}|}_{t=0},{V_t|}_{t=0}={\frac{U+V}{2t}|}_{t=0}$ (3.6)

由(2.6)知 $U+V=2t{\bar{\partial }}^0\Xi$ ，所以需要得到 ${\bar{\partial }}^0\Xi$ 的值。由(2.12)可得

${{\bar{\partial }}^0\Xi |}_{\stackrel{⌢}{BC}}={\frac{1}{2\left(\kappa +1\right)}\left({\bar{\partial }}^0\varpi \right)|}_{\stackrel{⌢}{BC}},$ (3.7)

结合(2.6)和(2.10)可得

${\bar{\partial }}^0\theta +\frac{\kappa \varpi }{1+\kappa {\varpi }^2}{\bar{\partial }}^{\perp }\varpi =0.$ (3.8)

于是

${{\bar{\partial }}^{\perp }\varpi |}_{\stackrel{⌢}{BC}}=-\frac{\kappa +1}{\kappa }{{\bar{\partial }}^0\theta |}_{\stackrel{⌢}{BC}}=-2\left(\kappa +1\right)a_0\left(x\right),$ (3.9)

又因为 $\stackrel{⌢}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ 上 $\varpi \equiv 1$ ，因而

${\left({\partial }_x\varpi \right)|}_{\stackrel{⌢}{BC}}=\frac{2\left(\kappa +1\right){\hat{a}}_0{\phi }^{\prime }}{\cos \hat{\theta }+{\phi }^{\prime }\sin \hat{\theta }}\left(x\right),{\left({\partial }_y\varpi \right)|}_{\stackrel{⌢}{BC}}=\frac{-2\left(\kappa +1\right){\hat{a}}_0}{\cos \hat{\theta }+{\phi }^{\prime }\sin \hat{\theta }}\left(x\right).$ (3.10)

所以

${{\bar{\partial }}^0\Xi |}_{\stackrel{⌢}{BC}}=\frac{{\phi }^{\prime }\cos \hat{\theta }-\sin \hat{\theta }}{{\phi }^{\prime }\sin \hat{\theta }+\cos \hat{\theta }}{\hat{a}}_0\left(x\right)=:{\hat{a}}_1\left(x\right).$ (3.11)

可知

$\begin{array}{l}U\left(0,r\right)=-V\left(0,r\right)=-{\hat{a}}_0\left(r\right),U_t\left(0,r\right)=V_t\left(0,r\right)={\hat{a}}_1\left(r\right),在\stackrel{⌢}{B^{\prime }{C}^{\prime }}上\\ U\left(t,\bar{r}\left(t\right)\right)={\bar{b}}_0\left(t\right),在\stackrel{⌢}{B^{\prime }{A}^{\prime }}上\end{array}$ (3.12)

由(2.16)，(2.17)和(2.21)得知

${\hat{a}}_0\in C^2\left(\left(r_1,r_2\right]\right),{\hat{a}}_1\in C^2\left(\left(r_1,r_2\right]\right),{\bar{b}}_0\in C^2\left(\left[0,t_0\right)\right),{\hat{a}}_0\le -{\epsilon }_0,{\bar{b}}_0\ge {\epsilon }_0,$ (3.13)

其中 $t_0=\sqrt{1-{\tilde{\varpi }}^2\left(A\right)}$ ，容易验证系统以及 ${\hat{a}}_0$ ， ${\hat{a}}_1$ 和 ${\bar{b}}_0$ 满足在 $B^{\prime }$ 点的相容性。

问题2在假设(3.13)成立的情况下，我们寻找一个带有条件(3.12)的系统(3.4)在 $B^{\prime }\left(0,r_2\right)$ 附近 $t>0$ 时的一个局部经典解。

定理2在(3.13)满足的情况下，带有条件(3.12)的系统(3.4)在 $B^{\prime }\left(0,r_2\right)$ 附近有唯一的经典解。

3.2. 线性系统及新平面上的高阶项

令

$\bar{U}=\frac{1}{U},\bar{V}=-\frac{1}{V}.$ (3.14)

将(3.4)转化成线性系统

$\{\begin{array}{l}{\bar{U}}_t-\frac{\kappa \sqrt{1-t^2}{t}^2}{F}{\bar{U}}_r=\frac{\bar{U}-\bar{V}}{2t}+\frac{2\kappa +1-\kappa t^2}{2F}\left(\bar{U}-\bar{V}\right)t-\frac{2\kappa +1-2\kappa t^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}\bar{U}t,\\ {\bar{V}}_t+\frac{\kappa \sqrt{1-t^2}{t}^2}{F}{\bar{V}}_r=\frac{\bar{V}-\bar{U}}{2t}-\frac{2\kappa +1-\kappa t^2}{2F}\left(\bar{U}-\bar{V}\right)t-\frac{2\kappa +1-2\kappa t^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}\bar{V}t.\end{array}$ (3.15)

进而，我们令

$\tau =t,z=\bar{r}\left(t\right)-r,$ (3.16)

重写系统(3.15)得

$\{\begin{array}{l}{\tilde{U}}_{\tau }+\frac{2\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}{\tau }^2}{F}{\tilde{U}}_z=\frac{\tilde{U}-\tilde{V}}{2\tau }+\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(\tilde{U}-\tilde{V}\right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}\tilde{U}\tau ,\\ {\tilde{V}}_{\tau }=\frac{\tilde{V}-\tilde{U}}{2\tau }-\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(\tilde{U}-\tilde{V}\right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}\tilde{V}\tau .\end{array}$ (3.17)

其中 $F=F\left(\tau \right)$ ， $\rho =\rho \left(\tau \right)$ ， $\kappa =\kappa \left(\tau \right)$ ， $\tilde{U}\left(\tau ,z\right)=\bar{U}\left(\tau ,\bar{r}\left(\tau \right)-z\right)$ 和 $\tilde{V}\left(\tau ,z\right)=\bar{V}\left(\tau ,\bar{r}\left(\tau \right)-z\right)$ 。

结合(3.12)可知其边界条件为

$\begin{array}{l}\tilde{U}\left(0,z\right)=\tilde{V}\left(0,z\right)=a_0\left(z\right),\\ {\tilde{U}}_t\left(0,z\right)=-{\tilde{V}}_t\left(0,z\right)=-a_1\left(z\right),\tau =0,0\le z\le r_2-r_1,\\ \tilde{U}\left(\tau ,0\right)=b_0\left(\tau \right),z=0,0\le \tau \le t_0,\end{array}$ (3.18)

其中 $a_0\left(z\right)=-\frac{1}{{\hat{a}}_0\left(r_2-z\right)}$ ， $a_1\left(z\right)=\frac{{\hat{a}}_1\left(r_2-z\right)}{{\hat{a}}^2{}_0\left(r_2-z\right)}$ ， $b_0\left(\tau \right)=\frac{1}{{\bar{b}}_0\left(\tau \right)}$ ，并满足在 $\tau =0$ 时的相容性条件。

接下来为了简化系统，令

$R=\bar{U}-a_0\left(z\right)+a_1\left(z\right)\tau ,S=\bar{V}-a_0\left(z\right)-a_1\left(z\right)\tau .$ (3.19)

因此

$\begin{array}{l}R\left(0,z\right)=S\left(0,z\right)=R_{\tau }\left(0,z\right)=S_{\tau }\left(0,z\right)=0,\forall z\in \left[0,r_2-r_1\right),\\ R\left(\tau ,0\right)=b_1\left(\tau \right),\forall \tau \in \left[0,t_0\right),\end{array}$ (3.20)

其中的 $b_1\left(\tau \right)=b_0\left(\tau \right)-a_0\left(0\right)+a_1\left(0\right)\tau$ ，容易得到 $b_1\left(0\right)={b^{\prime }}_1\left(0\right)=0$ 。系统(3.15)化为

$\{\begin{array}{l}{R}_{\tau }+\frac{2\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}{\tau }^2}{F}{R}_z=\frac{R-S}{2\tau }+\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R-S\right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}R\tau +F_1\left(\tau ,z\right)\tau ,\hfill \\ S_{\tau }=\frac{S-R}{2\tau }-\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R-S\right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}S\tau +F_2\left(\tau ,z\right)\tau .\hfill \end{array}$ (3.21)

其中

$\begin{array}{l}{F}_1\left(\tau ,z\right)=-\frac{2\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}}{F}\left({a^{\prime }}_0-{a^{\prime }}_1\tau \right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{a}_0-\frac{\kappa {\tau }^2-{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{a}_1\tau ,\\ F_2\left(\tau ,z\right)=\frac{\kappa {\tau }^2-{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{a}_1\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{a}_0.\end{array}$

显然 $F_1$ 和 $F_2$ 都有关于z的连续导数，因此问题2转化成了线性退化初始特征问题(3.20) (3.21)，这两个特征值分别为

${\lambda }_{-}=0,{\lambda }_{+}=\frac{2\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}{\tau }^2}{F},$ (3.22)

由 $z=\bar{z}\left(\tau \right)$ 定义的通过原点的正特征曲线为

$\bar{z}\left(\tau \right)={\displaystyle {\int }_0^{\tau }\frac{2\kappa \sqrt{1-s^2}{s}^2}{F\left(s\right)}\text{d}s}.$ (3.23)

定义区域 $\Omega :\left\{\left(\tau ,z\right)|0\le \tau \le \delta ,0\le z\le \delta \right\}$ ，其中 $\delta$ 是常数且 $\delta >0$ 。对于 $\forall \left(\xi ,\eta \right)\in \Omega$ ，我们沿着特征线对系统(3.21)积分可得

$\begin{array}{l}S\left(\xi ,\eta \right)={\displaystyle {\int }_0^{\xi }\left\{\frac{S-R}{2\tau }-\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R-S\right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}S\tau +F_2\left(\tau ,z\right)\tau \right\}\left(\tau ,z_{-}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau },\\ R\left(\xi ,\eta \right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\xi }\left\{\frac{R-S}{2\tau }+\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R-S\right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}R\tau +F_1\left(\tau ,z\right)\tau \right\}\left(\tau ,z_{+}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau },\\ \eta \ge \bar{z}\left(\xi \right),\xi \ge 0,\\ {\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }\left\{\frac{R-S}{2\tau }+\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R-S\right)\tau -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}R\tau +F_1\left(\tau ,z\right)\tau \right\}\left(\tau ,z_{+}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\\ +b_1\left({\xi }_1\right)\text{,0}\le \eta \le \bar{z}\left(\xi \right),\xi \ge 0,\end{array}\end{array}$ (3.24)

这里的 $z_{+}\left(\tau \right)=z_{+}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)$ ， $z_{-}\left(\tau \right)=z_{-}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)$ 分别是沿着点 $\left(\xi ,\eta \right)$ 的正负特征线，其中 ${\xi }_1$ 由下式定义

$\eta ={\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }\frac{2\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}{\tau }^2}{F\left(\tau \right)}\text{d}\tau }.$ (3.25)

通过迭代确定(3.24)解的存在性。定义 $R^{\left(0\right)}\left(t,r\right)=S^{\left(0\right)}\left(t,r\right)\equiv 0$ ，对 $R^{\left(m\right)}\left(\tau ,z\right)$ ， $S^{\left(m\right)}\left(\tau ,z\right)$ 有

$\begin{array}{l}{S}^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)={\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{\frac{S^{\left(m-1\right)}-R^{\left(m-1\right)}}{2\tau }}-\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R^{\left(m-1\right)}-S^{\left(m-1\right)}\right)\tau \\ -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{S}^{\left(m-1\right)}\tau +F_2\left(\tau ,z\right)\tau \}\left(\tau ,z_{-}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau ,\\ R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{\frac{R^{\left(m-1\right)}-S^{\left(m-1\right)}}{2\tau }}+\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R^{\left(m-1\right)}-S^{\left(m-1\right)}\right)\tau \\ -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{R}^{\left(m-1\right)}\tau +F_1\left(\tau ,z\right)\tau \}\left(\tau ,z_{+}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau ,\eta \ge \bar{z}\left(\xi \right),\xi \ge 0,\\ {\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }\{\frac{R^{\left(m-1\right)}-S^{\left(m-1\right)}}{2\tau }}+\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R^{\left(m-1\right)}-S^{\left(m-1\right)}\right)\tau \\ -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{R}^{\left(m-1\right)}\tau +F_1\left(\tau ,z\right)\tau \}\left(\tau ,z_{+}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau +b_1\left({\xi }_1\right),0\le \eta \le \bar{z}\left(\xi \right),\xi \ge 0,\end{array}\end{array}$ (3.26)

现应证明序列 $\left\{\left(R^{\left(m\right)},S^{\left(m\right)}\right)\right\}$ 在 $\Omega \left(\delta >0\right)$ 内一致收敛。

4. 在新平面解的存在性

本节主要证明了一些关键的引理，通过这些引理可得所研究系统的解的存在性。

4.1. 一些引理的证明

由于 $\delta$ 足够小，存在只依赖于 $a_0$ 和 $a_1$ 的常数M，使得对 $\left(t,r\right)\in {\bar{D}}_{\delta }$ 有

$\begin{array}{l}0\le \left|\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}\right|\le 2,0\le \left|\frac{\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}}{F}\right|\le 1,\\ \left|F_1\right|+\left|F_{1z}\right|+\left|F_2\right|+\left|F_{2z}\right|\le M.\end{array}$ (4.1)

令 $P\left(\xi ,\eta \right)\in \Omega$ ，由 $b_1$ 的表达式可得，对于 $\eta \le \bar{z}\left(\xi \right)$ ，有

$b_1\left({\xi }_1\right)\le \frac{M}{2}{\xi }_1^2\le \frac{M}{2}{\xi }^2.$ (4.2)

除此之外我们也能得到关于 $\left|z_{+}\left(\tilde{\xi }\right)-z_{-}\left(\tilde{\xi }\right)\right|$ 的估计

$\begin{array}{c}\left|z_{+}\left(\tilde{\xi }\right)-z_{-}\left(\tilde{\xi }\right)\right|=\left|r_{+}\left(\tilde{\xi };\xi ,\eta \right)-r_{-}\left(\tilde{\xi };\xi ,\eta \right)\right|\\ \le \left|{\displaystyle {\int }_0^{\xi }\frac{2\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}{\tau }^2}{F\left(\tau \right)}\text{d}\tau }\right|\le \frac{2}{3}{\xi }^3.\end{array}$ (4.3)

对 $\forall \tilde{\xi }\in \left[0,\xi \right]$ 成立，对于 $\eta \ge \bar{z}\left(\xi \right)$ 也有同样的结果。接下来证明以下引理。

引理4.1对于 $\forall m\ge 1$ ，下列不等式在 ${\bar{D}}_{\delta }$ 中成立

$\{\begin{array}{l}\left|R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|;\left|S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j,\\ \left|R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j.\end{array}$ (4.4)

证明：我们使用数学归纳法来证明此引理。对 $\left|R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|$ 的证明分为两部分，我们这里仅仅证明 $\eta \le \bar{z}\left(\xi \right)$ 的情况，对 $\eta \ge \bar{z}\left(\xi \right)$ 以及 $\left|S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|$ 的情况类似可证明。

当 $n=1$ 时，当 $\eta \le \bar{z}\left(\xi \right)$ 有

$\begin{array}{c}\left|R^{\left(1\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\le {\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }\left|F_1\tau \right|\text{d}\tau }+\left|b_1\left({\xi }_1\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }M\tau \text{d}\tau }+\frac{M}{2}{\xi }^2\\ \le \frac{M}{2}\left({\xi }^2-{\xi }_1{}^2\right)+\frac{M}{2}{\xi }^2\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{1}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j.\end{array}$ (4.5)

为了估计 $\left|R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|$ ，首先估计以下表达式

$\begin{array}{l}\left|F_1\left(\tau ,z_{+}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)-F_2\left(\tau ,z_{-}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)\right|\\ \le \frac{2\kappa \sqrt{1-{\tau }^2}}{F}\left(\left|{a^{\prime }}_0\right|+\left|{a^{\prime }}_1\right|\tau \right)\tau +\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}\left|a_0\left(z_{+}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)-a_0\left(z_{-}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)\right|\\ +\frac{\left|a_1\left(z_{+}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)\right|+\left|a_1\left(z_{-}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)\right|}{F}{\tau }^3\\ \le 2\left(M+M\tau \right)\tau +2M\left|z_{+}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)-z_{-}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right|+2M{\tau }^3\\ \le 2\left(M+M\xi \right)\xi +\frac{4}{3}{M}^3{\xi }^3+2M{\xi }^3\le 3M\xi .\end{array}$ (4.6)

其中 $\tau \in \left[{\xi }_1,\xi \right]$ 。接下来估计 $\left|R^{\left(1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(1\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|$ ，得到

$\begin{array}{l}\left|R^{\left(1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(1\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }\{\left|F_1\left(\tau ,z_{+}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)-F_2\left(\tau ,z_{-}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)\right|\tau \}\text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_0^{{\xi }_1}\{\left|F_2\left(\tau ,z_{-}\left(\tau ;\xi ,\eta \right)\right)\right|\tau \}\text{d}\tau }+\left|b_1\left({\xi }_1\right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }3M\xi \tau \text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_0^{{\xi }_1}M\tau \text{d}\tau }+\frac{M}{2}{\xi }^2\le M^2{\xi }^2\left(1+2\delta \right)\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{1}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j.\end{array}$ (4.7)

假设当 $n=m$ 时成立，当 $n=m+1$ 时

$\begin{array}{l}\left|R^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}^{\xi }\{\frac{\left|R^{\left(m\right)}-S^{\left(m\right)}\right|}{2\tau }+\left|R^{\left(m\right)}-S^{\left(m\right)}\right|\tau +2\left|R^{\left(m\right)}\right|\tau +M\tau \}}\left(\tau ,z_{+}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau +\frac{M}{2}{\xi }^2\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{\frac{M}{2}\tau {{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j+3M{\tau }^3{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j+M\tau \}\text{d}\tau }+\frac{M}{2}{\xi }^2\\ \le M{\xi }^2\left[{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j\left(\frac{1}{4}+{\delta }^2\right)+1\right]\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m+1}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j.\end{array}$ (4.8)

同理

$\begin{array}{l}\left|R^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\xi }2\frac{\left|R^{\left(m\right)}-S^{\left(m\right)}\right|}{2\tau }+2\left|R^{\left(m\right)}-S^{\left(m\right)}\right|\tau +2\left|R^{\left(m\right)}\right|\tau }+\left|F_1-F_2\right|\tau \text{d}\tau \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{M\tau {{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j+2M{\tau }^3{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j+2M{\tau }^3{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j+3M\xi \tau \}\text{d}\tau }\\ \le M{\xi }^2\left[{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j\left(\frac{1}{2}+{\delta }^2\right)+2\delta \right]\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m+1}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j.\end{array}$ (4.9)

引理得证。

引理4.2对于 $\forall m\ge 1$ ，下列不等式在 ${\bar{D}}_{\delta }$ 中成立

$\{\begin{array}{l}\left|R^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|;\left|S^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j,\\ \left|R^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)+S^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\le M{\xi }^2{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m}{\sum }}\left(\frac{2}{3}\right)}}^j.\end{array}$ (4.10)

证明： $n=1$ 时在(4.5) (4.7)中已证，假设对 $n=m$ 成立。

当 $n=m+1$ 时，我们有

$\begin{array}{l}\left|S^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{\frac{\left|S^{\left(m\right)}-R^{\left(m\right)}-S^{\left(m-1\right)}+R^{\left(m-1\right)}\right|}{2\tau }+\left|R^{\left(m\right)}-S^{\left(m\right)}-R^{\left(m-1\right)}+S^{\left(m-1\right)}\right|\tau }\\ \begin{array}{c}\\ \end{array}+\left|S^{\left(m\right)}-S^{\left(m-1\right)}\right|\tau \}\left(\tau ,z_{-}\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\left\{\frac{M}{2}\tau {\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}+M{\tau }^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}+2M{\tau }^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}\right\}\text{d}\tau }\\ \le M{\xi }^2\left(\frac{1}{4}+{\delta }^2\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}\le M{\xi }^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^m.\end{array}$ (4.11)

上式对 $\left|R^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|$ 也成立。

同理

$\begin{array}{l}\left|R^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)+S^{\left(m+1\right)}\left(\xi ,\eta \right)-R^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)-S^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{2\frac{\left|S^{\left(m\right)}-R^{\left(m\right)}-S^{\left(m-1\right)}+R^{\left(m-1\right)}\right|}{2\tau }+2\left|R^{\left(m\right)}-S^{\left(m\right)}-R^{\left(m-1\right)}+S^{\left(m-1\right)}\right|\tau }\\ \begin{array}{c}\\ \end{array}+2\left|S^{\left(m\right)}-S^{\left(m-1\right)}\right|\tau +2\left|R^{\left(m\right)}-R^{\left(m-1\right)}\right|\tau \}\text{d}\tau \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\left\{M\tau {\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}+2M{\tau }^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}+4M{\tau }^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}\right\}\text{d}\tau }\\ \le M{\xi }^2\left(\frac{1}{2}+2{\delta }^2\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^{m-1}\le M{\xi }^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^m.\end{array}$ (4.12)

引理证明完成。

4.2. 解的存在性

通过引理4.1得到函数列 $\left(R^{\left(m\right)},S^{\left(m\right)}\right)\left(\xi ,\eta \right)$ 在 $\Omega$ 内一致收敛。显然，由 $\left(R^{\left(m\right)},S^{\left(m\right)}\right)$ 定义的极限函数 $\left(R,S\right)$ 是连续的，由(4.4)得知 $\left(R,S\right)$ 满足

$\left|R\left(\xi ,\eta \right)\right|\le 3M{\xi }^2,\left|S\left(\xi ,\eta \right)\right|\le 3M{\xi }^2,\left|R\left(\xi ,\eta \right)-S\left(\xi ,\eta \right)\right|\le 3M{\xi }^2$ (4.13)

容易得到极限函数 $\left(R,S\right)$ 满足该系统(3.24)和 $R\left(0,\eta \right)=S\left(0,\eta \right)=0$ 。同时也可以得到边界条件 $R_{\xi }\left(0,\eta \right)=S_{\xi }\left(0,\eta \right)=0$ 。显然， $R\left(\xi ,\eta \right)$ 和 $S\left(\xi ,\eta \right)$ 有关于 $\xi$ 一阶连续偏导，为了确定 $\left(R_{\eta },S_{\eta }\right)$ 在 $\xi =0$ 附近的存在性，考虑对 $\eta$ 求导的该系统的积分形式

$\{\begin{array}{l}{R}_{\eta }^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)={\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{\frac{R_z^{\left(m-1\right)}-S_z^{\left(m-1\right)}}{2\tau }+\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R_z^{\left(m-1\right)}-S_z^{\left(m-1\right)}\right)\tau }\\ -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{R}_z^{\left(m-1\right)}\tau +F_{1z}\left(\tau ,z\right)\tau \}\left(\tau ,\frac{\partial z_{+}}{\partial \eta }\left(\tau ,z_{+}\left(\tau \right)\right)\right)\text{d}\tau ,\\ S_{\eta }^{\left(m\right)}\left(\xi ,\eta \right)={\displaystyle {\int }_0^{\xi }\{\frac{S_z^{\left(m-1\right)}-R_z^{\left(m-1\right)}}{2\tau }-\frac{2\kappa +1-\kappa {\tau }^2}{2F}\left(R_z^{\left(m-1\right)}-S_z^{\left(m-1\right)}\right)\tau }\\ -\frac{2\kappa +1-2\kappa {\tau }^2+{\kappa }^{\prime }\rho }{F}{S}_z^{\left(m-1\right)}\tau +F_{2z}\left(\tau ,z\right)\tau \}\left(\tau ,\frac{\partial z_{-}}{\partial \eta }\left(\tau ,z_{-}\left(\tau \right)\right)\right)\text{d}\tau .\end{array}$ (4.14)

其中 $\frac{\partial z_{\pm }}{\partial \eta }\left(\tau ;\xi ,\eta \right)=\exp \left({\displaystyle {\int }_{\xi }^{\tau }\frac{\partial {\lambda }_{\pm }}{\partial z}\left(s,z_{\pm }\left(s;\xi ,\eta \right)\right)\text{d}s}\right)$ 。由于 $\frac{\partial {\lambda }_{\pm }}{\partial z}\equiv 0$ ，所以 $\frac{\partial z_{\pm }}{\partial \eta }=1$ 。

上述证明与前面类似，所以 $\left(R_{\eta }^{\left(m\right)},S_{\eta }^{\left(m\right)}\right)\left(\xi ,\eta \right)$ 一致收敛。这表明 $\left(R_{\eta },S_{\eta }\right)\left(\xi ,\eta \right)$ 是连续的，进而 $R_{\eta }\left(0,\eta \right)=S_{\eta }\left(0,\eta \right)=0$ 。因此可以得到 $\left(R,S\right)$ 是 $C^1$ 函数。由于满足(3.24)的 $\left(R,S\right)$ 有微分性质，因此系统(3.21)有解。

接下来证明解的唯一性，令 $\left(R_1,S_1\right)$ 和 $\left(R_2,S_2\right)$ 都是系统(3.21)的解，定义 $\tilde{R}=R_2-R_1$ 和 $\tilde{S}=S_2-S_1$ ，则 $\left(\tilde{R},\tilde{S}\right)$ 也满足类似于(4.10)的积分方程，即也满足不等式(4.10)，则有 $\left|\tilde{R}\right|\le \tilde{M}{\left(\frac{2}{3}\right)}^m$ 和 $\left|\tilde{S}\right|\le \tilde{M}{\left(\frac{2}{3}\right)}^m$ ，对任意的 $m,\tilde{M}$ 是正的常数。因此 $\tilde{R}=\tilde{S}\equiv 0$ 。

最后，指出带有条件(3.20)的系统(3.21)等价于柯西问题(3.4) (3.12)，因此完成了(3.4)解的存在性的证明。

5. 初始平面上的解

本节将 $\left(t,r\right)$ 平面上的解回到 $\left(x,y\right)$ 平面上。将验证它是问题1的解，于是可以得到定理1。

通过对(3.1)的变形，可得

$\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{{\theta }_y}{J},\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{{\theta }_x}{J},\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{\sin \omega {\omega }_y}{J},\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\sin \omega {\omega }_x}{J},$ (5.1)

其中J是由(3.2)定义的Jacobi变换的变形。结合(2.6)，(2.12)和(2.13)，可以得到 $x_t,y_t$ 以及 $x_r,y_r$ 的值，因此可以得到

$\frac{\text{d}x\left(t,r_{-}\left(t\right)\right)}{\text{d}t}=-\frac{t\cos r+\sqrt{1-t^2}\sin r}{2F\left(t\right)V\left(t,r\right)}t,\frac{\text{d}y\left(t,r_{-}\left(t\right)\right)}{\text{d}t}=-\frac{t\sin r-\sqrt{1-t^2}\cos r}{2F\left(t\right)V\left(t,r\right)}t.$ (5.2)

通过对上式积分，可以得到 $\left(x,y\right)$ 的值，因此可以验证系统(1.3)成立，以及u和v是问题1的解。