1. 引言
1985年,Toader在文 [1] 引进了m-凸函数的概念,2007年Varosanec引入了h-凸函数的概念,引用文献 [2]。2011年Özdemir等进一步推广了h-凸函数与m-凸函数的概念,提出了
-凸函数的概念,见文献 [3],若无特殊说明,本文均有
。
定义1:设
,函数
,区间
,若函数
满足条件,若对任意的
和任意的
,有
则称f为I上的
-凸函数。
M. P. Gill等人在文 [4] 中引进了“r-凸函数”的等价形式
定义2:设
为区间,实数
,函数
,若对任意的点
和任意的
,有
则称函数
为区间I上的r-凸函数。
吴善和在文 [5] 中定义了r-平均凸函数的概念:
定义3:设
为区间,实数
,函数
,若对任意的点
及任意的
,有
则称函数
为区间I上的r-平均凸函数。
2001年,Dragomir.S.S在文 [6] 中引入多元函数的协同凸性的概念。
定义4:设函数
,其中
,若对任意的点
,
和任意的
,有
则称二元函数
为矩形区域
上的协同凸函数。
文 [7] 中定义了协同r-凸函数的概念。
下面介绍引进Stolarsky平均数:
设
,Stolarsky平均数
定义为:
其中
,
分别称为对数平均数和广义对数平均数。
文 [8] 中建立了协同对数凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。
定理1 [4] 设函数
为对数凸函数,且
,则
其中
为对数平均数。
定理2 [4] 设一元函数
为r-凸函数,且
,
,若
,则
其中
为广义对数平均数。
定理3 设函数
为矩形区域
上的协同对数凸函数,其中
,则
其中
为对数平均,且
2. 主要结果
2.1. 协同
-凸函数概念及引理
本节将定义二元函数的一个分量满足r-凸性,另一个分量为具有广义
-凸性的协同
-凸函数概念和协同
-凸函数概念。
定义1.1设常数
,函数
,实数
,函数
,其中
。称二元函数
为区域
上的协同
-凸函数,若对任意点
和任意的
,有
若
,有
(3.1.1)
若
,有
定义1.2设常数
,函数
,
函数
,其中
。称二元函数
为区域
上的协同
-凸函数,若对任意点
和任意的
,有
若
,有
若
,有
2.2. 协同
-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式
本节将研究协同
凸函数的积分估计问题,建立协同
-凸函数的几个Hermite-Hadamard型积分不等式。
定理2.1设
,
,函数
,且函数
为
-凸函数,
,若
,则
其中
为广义对数平均数。
证 作变换
,
,
,由
的协同
-凸性,有
经计算可得
由上述三个公式,我们有
推论2.1.1在定理2.1的条件下,若
,有
其中
为广义对数平均数。
定理2.2 设常数
,函数
,函数
为协同
-凸函数,若
,则
其中
为对数平均数。
证 作变换
,
,
,再由
的协同
-凸性,有
因
于是,有
故定理证毕。
推论2.2.1 在定理2.2的条件下,若
,有
其中
为对数平均数。
定理2.3 设
,常数
,函数
,函数
为
-凸函数,
,且
。
(i) 若
,则
(ii) 若
,则
证 对任意的
,由函数
的区域
上协同
-凸性,有
当
,时,对两边求
的积分,并作积分变换
可得
当
时,有
对上述不等式两边求
的积分,并作变换
可得
故定理2.3证毕。
同理,可证得
定理2.4 设函数
为协同
-凸函数,
,函数
,且
(i) 若
,则
(ii) 若
,则
定理2.5 设常数
,函数
,正值函数
为
-
凸函数,
,若
,则
证 对任意的
,利用基本不等式以及
的
-凸性,有
对上述不等式两边求
积分,并作积分变换
,有
故本定理证毕。
同理可证:
定理2.6 设函数
是协同
-凸函数,
,函数
,若
,则