1. 引言及主要结果
宽度理论是函数逼近论的重要内容之一,也是国内外研究的热点之一,它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。其中,关于伪宽度的研究是当下宽度理论研究的热点之一,伪宽度在模式识别、消退估计、经验过程、学习理论中都有重要的应用。VC-维数的概念最早被Vapnik和Chervonenkis在参考文献 [2] [3] 中提出,他们介绍了集合的指标函数的VC维数。在实值函数中,Pollard [4] 和Haussler [5] 将VC-维数的定义扩展到伪维数,VC维数和伪维数是集合或空间容量的度量,它与一个函数类的熵有联系 [6] 。1998年,Maiorov和Ratsaby在参考文献 [7] 中给出VC-宽度和伪宽度的定义,研究了有限维空间伪宽度在一致框架下的逼近特征,并确定了在一致框架下的VC-宽度
和伪宽度
的精确渐近阶。2007年,陈广贵等 [8] 讨论了具有共同光滑函数类的伪宽度,并且计算了其精确阶。本文主要讨论无穷维恒等算子的伪宽度。首先,介绍伪维数和伪宽度的定义。
定义1.1:对实数
,
表示符号函数,当
时,其值为1,其它情形其值为−1。对向量
,如果
是
上的一个实值函数集合,称满足下列条件的最大整数
为
的伪维数,即存在指标集
和
使得集合
的基数为
。如果不存在这样的最大的
,那么
的伪维数是正无穷。我们将
的伪维数记为
。
定义1.2:设
为赋范线性空间
的一非空子集,
,称
为
在
中的伪宽度,其中
取遍
中的伪维数不超过
的所有线性子空间。
定义1.3:设
为两个赋范线性空间,其范数分别为
与
,
是
到
的有界线性算子,
,称
为算子
的伪宽度,其中
表示
的单位球,即
。
关于伪宽度的一些重要性质已经得到了精彩的结果。本文将讨论无限维恒等算子
的伪宽度。为此,继续介绍有关概念。
设
,对任一实序列
,令
表示满足条件
的实序列
所构成的集合。众所周知,
为
上的一个范数,而且
是一个Banach空间。易见,
空间具有如下性质:
1)
,
2)
。
因此,无穷维恒等算子
是从
到
的有界线性算子,而不是
到
的算子。
对于
,
,令
,
和
则易见
为
上的范数,且
为Banach空间。用
表示
中的单位球。
令
,
,(
时,记
),对任意的
,由Hölder不等式有
因此
。从而无穷维恒等算子
为
到
的有界线性算子。
本文利用离散化的方法讨论了无穷维恒等算子
的伪宽度,并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果,即
定理1:设
,
,
则
其中,符号“
”的定义如下:假设
是和参数
有关的非负常数。对两个正函数
和
,
,如果存在正常数
满足条件
,则记
。若存在正常数
满足条件
,则记
,若
且
,则记
。
2. 主要结果的证明
为了证明定理1,首先讨论有限维空间的伪宽度。令
。
设
,
。令
则
为
上的范数。用
表示
按照范数
所构成的Banach空间。用
表示
中的单位球。易见
为
的基,其中
(第n个分量为1,其余分量为0)。
引理1: [7] 设
,
,
,则
下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。
对
,其中
,记
。则对任意的
,且
有
,
。用
表示
中元素的个数,则
。
以下我们总是假设
。用
表示第
个分量为1,其余分量为0的无穷维实序列,则
为
的Schauder基。从而对
,有
。
对
,记
,则
。令
则对
,有
(2.1)
且
(2.2)
从而
为
到
上的等距同构映射。
引理2:设
,
,非负整数序列
满足
,且
。则
证明:对
,由(2.1)知,对
,有
,由(2.2)知
所以
由伪宽度的定义知,存在
的一个伪维数不超过
的线性子空间
使得
令
(直和)。则
为
的线性子空间,且
。
从而
下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。
引理3:令
,
,
,则
其中
。
证明:对
,则由(2.1)有
对
,则由(2.2)有
所以
定理1的证明:
由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子
的定义,易见
。
首先估计定理1的上界。
对
,令
,
其中,
,易见
满足引理2的条件。
由引理2和引理1有
定理1的下界估计。
取满足引理3中条件的
,则由引理3和引理1有
综上,定理1得证。