一类Filiform李代数的左对称代数结构

The Left Symmetric Algebraic Structure of a Class of Filiform Lie Algebras

摘要: 本文运用导子和极大环面的定义，对一类特殊的filiform李代数进行了深入的探讨，并成功求得了这类特殊filiform李代数的一个极大环面，从而证明出这类filiform李代数满足左对称代数结构。这一发现不仅丰富了filiform李代数的理论体系，也为相关领域的研究提供了新的思路和方向。

Abstract: In this paper, by using the definitions of derivation and maximal torus, a special class of filiform Lie algebras are discussed in depth, and a maximal torus of this special class of filiform Lie algebras is successfully obtained, which proves that this class of filiform Lie algebras satisfies the left symmetric algebraic structure. This finding not only enriches the theoretical system of filiform Lie algebras, but also provides new ideas and directions for research in related fields.

1. 引言

上世纪60年代，M. Vergen在文献 [1] 中引入了filiform李代数的基本概念，时隔不久，M. Goze在文献 [2] 中介绍了几种特殊的filiform李代数 $L_n,Q_n,R_n,W_n$ ，这些filiform李代数以及它们的形变是李理论的重要研究内容之一。

左对称代数(也被称为Pre-Lie代数，Vinberg代数等)作为一种Lie-admissible代数，早在1896年，Cayley在文献 [3] 中就以一种rooted tree代数引入了左对称代数，它在换位运算下构成一个李代数。由此，左对称代数与李代数有十分密切的关系。近年来，对左对称代数的研究愈来愈多，例如，文献 [4] [5] [6] 讨论了左对称代数的一些基本理论和性质。而Novikov代数作为一类特殊的左对称代数，在1985年，Balinskii A.A.和Novikov S.P.在文献 [7] 中就给出了其定义，后来很多学者深入研究了Novikov代数．例如，文献 [8] [9] [10] 分别讨论了几类Novikov代数及其实现，4维Novikov代数的自同构，Novikov代数和L-值范畴及其应用。

极大环面是由可对角化的线性变换组成的全体导子集合的一个可交换极大子代数 [11] 。近年来，对代数极大环面的研究也愈来愈多，例如，文献 [12] 中讨论了关于半单李代数的极大环面子代数的中心化子，文献 [13] 中讨论了完备Lie代数的极大环面子代数，文献 [14] 中讨论了(n-3)-filiform李代数的极大环面。此外，通过计算极大环面，文献 [15] 中证明了 $B_{n+1}^r$ filiform李代数具有左对称代数结构。相同道理，那么一类特殊的filiform李代数究竟是否具有一个左对称代数结构依然是一个尚未解决的基本问题。

文献 [16] 中给出了第一个三步幂零李代数不具有Novikov代数结构的例子，并且证明了任意自由三步幂零李代数都具有Novikov代数结构。进一步还给出了一类filiform李代数的Novikov代数结构，从而证明了这类filiform李代数具有Novikov代数结构(因此，也具有左对称代数结构)。具体结果表明如下，

如果一个维数为 $n\left(n\ge 3\right)$ 的filiform李代数在一组基 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 下满足

$\begin{array}{l}\left[e_1,e_j\right]=e_{j+1},2\le j\le n-1,\\ \left[e_i,e_j\right]=\frac{6\left(j-i\right)}{j\left(j-1\right)\left(\begin{array}{c}j+i-2\\ i-2\end{array}\right)}{e}_{i+j},2\le i\le j;i+j\le n,\end{array}$ (1)

那么这类filiform李代数具有以下Novikov代数结构(左对称代数结构)

$e_i{e}_j=\frac{6}{\left(\begin{array}{c}j+i-2\\ i-2\end{array}\right)}{e}_{i+j},2\le i,j\le n;i+j\le n.$ (2)

文献 [16] 中对于以上结果的证明即是直接验证以下的(3)，(4)，(5)式。

而本文从另外的角度，运用导子和极大环面的定义，成功求得了以上这类特殊filiform李代数的一个极大环面，从而证明出这类filiform李代数满足左对称代数结构。

本文所讨论的线性空间和代数都定义在数域F上。

2. 基本概念

定义1令A是数域F上的一个线性空间。在A上定义一个双线性运算 $\left(x,y\right)\to xy$ ，如果这个双线性运算满足，对于任意的 $x,y,z\in A$ ，都有

$\left(xy\right)z-x\left(yz\right)=\left(yx\right)z-y\left(xz\right).$ (3)

那么称A是一个左对称代数。如果A再满足

$\left(zx\right)y=\left(zy\right)x.$ (4)

那么称A为Novikov代数。

如果在左对称代数A上定义一个括积

$\left[x,y\right]=xy-yx.$ (5)

那么A构成一个李代数。此时该李代数与左对称代数A相邻，仍用A表示该李代数，并称该李代数具有左对称代数结构。

定义2 [1] 令A是一个n维李代数。如果满足条件 $\dim C^{i}A=n-i-1,1\le i\le n-1$ ，那么A称为filiform李代数。

定义3 令 $\delta$ 是李代数A的一个线性变换。如果在A的一组基 $\left\{f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right\}$ 上 $\delta$ 满足条件：对任意的 $1\le i,j\le n$ ，都有

$\delta \left(\left[f_i,f_j\right]\right)=\left[\delta \left(f_i\right),f_j\right]+\left[f_i,\delta \left(f_j\right)\right].$

那么称 $\delta$ 是李代数A的一个导子。

3. 主要结果

在(1)式这类filiform李代数中，引入新的一组基 $\left\{f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right\}$ 满足

$\begin{array}{l}{f}_1=6e_1,\\ f_j=\frac{1}{j-2}{e}_j,2\le j\le n.\end{array}$

那么新的括积为

$\left[f_i,f_j\right]=6\left(j-i\right),1\le i\le j;i+j\le n.$ (*)

在本文中，我们将以上这类filiform李代数记为 $F_n$ 。

定理1 令 $F_n$ 是如( $\ast$ )式的filiform李代数， $\left\{f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right\}$ 为 $F_n$ 的一组基，那么 $F_n$ 有一个由 $\sigma \in Der\left(F_n\right)$ 张成的极大环面，其中 $\sigma$ 是如下定义的线性变换，

$\sigma \left(f_i\right)=i{f}_i,1\le i\le n.$

证明 假设D是 $F_n$ 的一个可对角化的线性变换

$D\left(f_1\right)=a_1{f}_1,D\left(f_2\right)=a_2{f}_2,D\left(f_3\right)=a_3{f}_3,\cdots ,D\left(f_n\right)=a_n{f}_n.$

由定义3可得

$\begin{array}{c}\left[D\left(f_i\right),f_j\right]+\left[f_i,D\left(f_j\right)\right]=\left[a_i{f}_i,f_j\right]+\left[f_i,a_j{f}_j\right]=\left(a_i+a_j\right)\left[f_i,f_j\right]\\ =6\left(a_i+a_j\right)\left(j-i\right)f_{i+j},\end{array}$

$D\left(\left[f_i,f_j\right]\right)=D\left(6\left(j-i\right)f_{i+j}\right)=6\left(j-i\right)a_{i+j}{f}_{i+j}.$

因此D是 $F_n$ 的一个导子当且仅当以下式子成立

$a_i+a_j=a_{i+j},1\le i,j\le n,i+j\le n.$

解这个线性方程组我们得到

$a_1=a_1,a_2=2a_1,a_3=3a_1,a_4=4a_1,\cdots ,a_{n-1}=\left(n-1\right)a_1,a_n=n{a}_1.$

所以有

$D\left(f_1\right)=a_1{f}_1,D\left(f_2\right)=2a_1{f}_2,D\left(f_3\right)=3a_1{f}_3,\cdots ,D\left(f_n\right)=n{a}_1{f}_n.$

特别的，取 $a_1=1$ ，那么 $F_n$ 的一个线性变换 $\sigma$

$\sigma \left(f_1\right)=f_1,\sigma \left(f_2\right)=2f_2,\sigma \left(f_3\right)=3f_3,\cdots ,\sigma \left(f_n\right)=n{f}_n$

是 $F_n$ 的一个半单导子。

不妨假设 $\Phi$ 是 $F_n$ 的一个使得 $\sigma \in \Phi$ 的极大环面。 $\forall {\Phi }_{\ast }\in \Phi$ ，假设 ${\Phi }_{\ast }$ 关于所定义的一组基 $\left\{f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right\}$ 的矩阵是 $M_{{\Phi }_{\ast }}$ 。由于所有的环面子代数都是Abel (可交换)的，所以 $\forall {\Phi }_{\ast }\in \Phi ,\left[{\Phi }_{\ast },\sigma \right]=0$ 。由

$\begin{array}{l}{\Phi }_{\ast }\left(f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right)=\left(f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right)M_{{\Phi }_{\ast }};\\ \sigma \left(f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right)=\left(f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right)diag\left(1,2,3,\cdots ,n\right).\end{array}$

可得到 $\left[M_{{\Phi }_{\ast }},diag\left(1,2,3,\cdots ,n\right)\right]=0$ 。因此 $M_{{\Phi }_{\ast }}$ 须为一个对角矩阵。

假设 $M_{{\Phi }_{\ast }}=diag\left(k,2k,3k,\cdots ,nk\right)$ ，即有

${\Phi }_{\ast }\left(f_1\right)=k{f}_1,{\Phi }_{\ast }\left(f_2\right)=2k{f}_2,{\Phi }_{\ast }\left(f_3\right)=3k{f}_3,\cdots ,{\Phi }_{\ast }\left(f_n\right)=nk{f}_n,k\in F,$

所以 ${\Phi }_{\ast }=k\sigma$ 。因此 $\sigma$ 张成 $F_n$ 的一个极大环面。

定理2 令 $F_n$ 是如( $\ast$ )式的filiform李代数， $\left\{f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n\right\}$ 为 $F_n$ 的一组基。如果 $\sigma$ 张成 $F_n$ 的一个极大环面，那么 $F_n$ 具有以下左对称代数结构

$\begin{array}{c}\forall x=a_1{f}_1+a_2{f}_2+\cdots +a_n{f}_n\in F_n,\\ y=b_1{f}_1+b_2{f}_2+\cdots +b_n{f}_n\in F_n,\left(a_i,b_i\in F,1\le i\le n\right).\end{array}$

那么令 $xy={\sigma }^{-1}\left[x,\sigma y\right]$ ，则这个乘积使得该filiform李代数构成左对称代数。

证明 如果 $\sigma$ 是一个非奇异导子，令 $xy={\sigma }^{-1}\left[x,\sigma y\right]$ ，那么这个乘积运算使得该李代数构成左对称代数，验证如下

$\begin{array}{l}\left(xy\right)z-\left(yx\right)z-x\left(yz\right)+y\left(xz\right)\\ ={\sigma }^{-1}\left[{\sigma }^{-1}\left[x,\sigma y\right],\sigma z\right]-{\sigma }^{-1}\left[{\sigma }^{-1}\left[y,\sigma x\right],\sigma z\right]\\ -{\sigma }^{-1}\left[x,\sigma \left({\sigma }^{-1}\left[y,\sigma z\right]\right)\right]+{\sigma }^{-1}\left[y,\sigma \left({\sigma }^{-1}\left[x,\sigma z\right]\right)\right]\\ ={\sigma }^{-1}\left(\left[{\sigma }^{-1}\left[x,\sigma y\right],\sigma z\right]-\left[{\sigma }^{-1}\left[y,\sigma x\right],\sigma z\right]-\left[x,\left[y,\sigma z\right]\right]+\left[y,\left[x,\sigma z\right]\right]\right)\\ ={\sigma }^{-1}\left(\left[{\sigma }^{-1}\left(\left[x,\sigma y\right]-\left[y,\sigma x\right]\right),\sigma z\right]-\left[x,\left[y,\sigma z\right]\right]+\left[y,\left[x,\sigma z\right]\right]\right)\\ ={\sigma }^{-1}\left(\left[\left[x,y\right],\sigma z\right]-\left[x,\left[y,\sigma z\right]\right]+\left[y,\left[x,\sigma z\right]\right]\right)=0.\end{array}$

即证得(1)式： $\left(xy\right)z-x\left(yz\right)=\left(yx\right)z-y\left(xz\right)$ 。

而由定理1得到了 $F_n$ 的一个非奇异导子

$\sigma \left(f_i\right)=i{f}_i,1\le i\le n.$

因此 $F_n$ 具有左对称代数结构。

本文与文献 [16] 分别是以两种不同的方法得到的这类filiform李代数 $F_n$ 的两个的左对称代数结构，可以看出(2)式中所具有的左对称代数结构与定理2中所具有的左对称代数结构是两个不同的左对称代数结构。

基金项目

西华师范大学博士科研启动基金(15E027)；西华师范大学基本科研业务费(17C048)；西华师范大学英才科研基金(17YC392)；四川省教育厅资助科研项目(17AZ0378)。

NOTES

^*通讯作者。