1. 引言
常循环码构成了循环码的显著推广,因此在编码理论中形成了一类重要的线性码。而且,常循环码也有实际的应用程序,因为它们可以用移位寄存器进行编码。
令
是一个特征为p的有限域。在
上一个长度为n的循环码是商环
的理想,其中
是首一多项式并且满足
。作为循环码的泛化,对于
中任意的非零元素
,
上一个长度为n的
常循环码为商环
的理想
,其中
是首一多项式并且满足
。
常循环码在 [1] [2] [3] 中已经得到了很多的基本结果,更进一步地,长度为
,
,
的常循环码在 [4] [5] [6] 中已经进行了很好的研究。 [7] 进一步得到了长度为
的常循环码。在此基础上,长度为
的常循环码的生成多项式的问题在 [8] 中得到了解决。 [9] 得到了更为一般化的长度为
的常循环码。
在本文中,我们主要得到在
上长度为
的重根常循环码,其中k,l,m,p为不同的奇素数,并且p为
的特征。在第二部分,给出了我们需要的一些基本结果。在第三部分,对于任意的
,我们给出了
的不可约分解。最后,我们得到了在
上长度为
的常循环码的生成多项式。
2. 预备知识
定义2.1令n是一个正整数。对于
中的任意元素
和
,如果多项式
在
中有一个根,那么我们称
与
在
中n等价,记为
。
命题2.2 [8] 对
中的任意元素
和
,下面的四个陈述是相互等价的:
1)
,其中
是
的本原元。
2)
,其中
。
3)
与
在
中n等价,即存在一个元素
使得
。
4) 存在一个元素
使得
是一个
代数同构。
特别地,在
上的n等价类的个数等于
。
引理2.3 [10] 对于任意的
,如果
,那么存在一个整数s使得
。
由定义2.1,如果
满足
,那么
并且
是
的一个根。根据命题2.2 (4)中的表述我们有
,由于s和
互素,因此
。
引理2.4 [10] 令k,l,m为不同的素数,且q为一个素数的幂次。令
。那么![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x75_hanspub.png)
且所有不同的q模kl的分圆陪集为
,
,
,
.
其中
,
,
。
引理2.5 [11] 令整数
并且
。那么二项式
在
上不可约当且仅当满足下面的两个条件:
1) 在
中,t的每一个素因子能够整除a的阶e,但不能整除
;
2) 如果
,那么
。
假设
是首项系数
的多项式。我们把首一多项式
记为
。
3. 主要结果
为了表述需要,我们给出下面的一些记号:
;
;
;
;
;
;
;
,
,
,
。
由中国剩余定理,我们可以定义一个从
到
的同构,记为
。
定理3.1令k,l,m为不同的奇素数,并且q为一个素数的幂次。根据
,
,
,
,那么
,
,
,
并
且所有不同的q模klm的分圆陪集为
,
,
,
,
,
,
,
.
其中
,
,
,
,
,
,
,
。
证明假设
,其中
都为整数且满足
,
,
。因此存在整数v,
,使得
.
由
是一个同构,我们能得到下面的条件:
(1)
(2)
因为
,由条件(1)可得
。因此
。再根据
可得
。由此可得,
。因此
,从而
。同样地,由条件(2)得到
。因此
。由于
,我们可以得到
。由此可得,
。因此
。再根据
和
可以得到
。由于
,所以
。把
代入
可得
,由此可得
。再根据
可得
。
那么
,
,
,
为q模klm的互不相同的陪集。同理可证
,
,
,
,
,
,![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x178_hanspub.png)
也为q模klm的互不相同的陪集。
下面假设
,其中
,
,
,
,
。因此存在整数
,
,使得
.
由
是一个同构,我们能得到下面的条件:
(3)
(4)
(5)
由条件(3)可得到
,因此
。再根据
可得
。由此可得,
。因此
,从而
。
由条件(4)可得到
,因此
。再根据
可得
。由
此可得,
。因此
,从而
。又因为
,所以
。再根据
,可得
。
由条件(5)可得到
,因此
。再根据
可得
。
且由此可得
。因此
。再由
与
可得
。从而由
,可得
。
我们根据
并且
,可得
。再根据
可得
。从而我们得到
,
,
,
,
,
,
,
均为q模klm不同的陪集,其中
,
,
,
,
,
,
,
。由于
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x242_hanspub.png)
从而,我们就得到了所有q模klm的分圆陪集。
我们记
,
,
,
,
,
,
。则
,
,
,
,
,
,
,
为所有q模klm的分圆陪集,其中
,
,
,
,
,
,
。
为方便陈述,我们记
,则
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x266_hanspub.png)
定理3.2令k,l,m为不同的奇素数,并且q为一个素数的幂次。则由
,
,
可得
。
1) 若
,
。则所有不同的
模lm的分圆陪集为
,
,
,
.
2) 若
,
。则所有不同的
模lm的分圆陪集为
,
,
,
.
3) 若
,
。则所有不同的
模lm的分圆陪集为
,
,
,
.
其中
,
,
,
。
证明:假设
,其中
都为整数且满足
,
,
,
。那么存在整数s,
使得
。
因为
是一个同构,我们可以得到下面的条件:
1) ![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x305_hanspub.png)
2) ![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x306_hanspub.png)
因为
,由条件1)可得
。因此
。再根据
可得
。更进一步地可得,
。所以
,从而
。
由条件2)可得,
。因此
。再根据
可得
。更进一步地可得,
。所以
。又因为
且
,所以
。而
,所以
。
把
,
,
代入到1)和2)中,我们可以得到
,
.
又因为
,从而可以得到
。所以
。又由于
,我们可以得到
,因此
。再根据
可得
。再把
代入
可得
,从而
。再根据
,可得
。
从而我们说明了
,
,
,
,
为
模lm的互不相同的陪集。
并且对于情况(1),我们有
.
从而当
,
时,
,
,
,
为所有不同的
模lm的分圆陪集,其中
,
,
,
。
同理可证情况(2)和情况(3)。
定理3.3令k,l,m,p为不同的奇素数,并且p为
的特征。假设
,
。那么对任意的
我们有
,其中
。而且
1) 当
,即
时,
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x371_hanspub.png)
其中
并且满足
。
2) 当
时,
(2.1)若
,则
.
其中
,
,
,
。
并且满足
,
,
和
分别为
中的
次和
次单位根。
(2.2)当
时,则有![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x390_hanspub.png)
i) 若
,
则
.
其中
,
,
,
。
ii) 若
,
。则
.
其中
,
。
iii) 若
,
。则
.
证明:1) 若
,即
,由命题2.2(1)可得
,所以存在
使得
。又因为
,所以
.
2) 当
时,令
,其中
。
则由命题2.2 (1)可得
,所以存在
使得
。令
,则
且
。因此
.
又因为
,由引理2.3可知
,所以存在
使得
且
。
因为
是一个有限循环群,所以存在整数
使得
,并且
满足
。根据
可得
.
又因为
,所以存在整数
和
使得
。因此可得
.
(2.1)当
,则所有不同的
模lm的分圆陪集仍为
,
,
,
,其中
,
,
。则
.
所以
.
令
,
。则
.
因此
.
令
。那么对所有的
,
,且
。又因为
,故当j取遍
时,
取遍
。令
,
,
,
。
显然为
上的不可约多项式。因为
,则当
取遍
,j取遍
时,
取遍
的所有根。因为
,且
。因此
仍然为
的根,从而我们可得
是
在
上的极小多项式,故
为
上的不可约多项式。同理可证
和
均为
上的不可约多项式。从而
.
为
在
上的不可约分解。
(2.2)当
时,
i) 若
,
则所有不同的
模lm的分圆陪集为
,
,
,
,其中
,
,
,
。所以
.
从而
.
令
,
,
,
.
同(2.1)可说明
与
均在
不可约。令
为
的一个根,则
。因为
,所以
。因此
为
的一个根。
根据数学归纳法可得
为
在
上的极小多项式,故
在
不可约。同理可证
也为
上的不可约多项式。从而
.
ii) 若
,
。则所有不同的模的分圆陪集为
,
,
,
,其中
,
,
,
。则
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x536_hanspub.png)
令
,
.
类似可证
与
均为
上的不可约多项式。从而
.
iii) 若
,
。则所有不同的
模lm的分圆陪集为
,
,
,
,其中
,
,
,
。则
.
定理3.4令k,l,m,p为不同的奇素数,并且p为
的特征。假设
。则
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x557_hanspub.png)
其中
并且满足
。
证明:因为
,则
。从而根据命题2.2(2)
可得
,所以存在
使得
。又因为
,所以
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x566_hanspub.png)
定理3.5令k,l,m,p为不同的奇素数,并且p为
的特征。假设
,
,
。那么对任意的
我们有
,其中
。而且
1) 当
,即
时,
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x576_hanspub.png)
其中
并且满足
。
2) 当
,
并且
。则
.
其中
并且满足
,
为
中的
次单位根,
。
证明(1)与定理3.3(1)的证明类似。
(2)当
,
并且
。我们有
。根据命题2.2(2)可得
,所以存在
使得
。同时我们有
.
令
,则
。从而
.
令
,
,则
且
。则
.
因为
。所以存在
使得
。从而我们可以得到
.
所以
.
定理3.6令k,l,m,p为不同的奇素数,并且p为
的特征。假设
,
,
。那么对任意的
我们有
,其中
。而且
1) 当
,即
时,
![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x619_hanspub.png)
其中
并且满足
。
2) 当
,
并且
。那么
.
其中
并且满足
。
3) 当
,
并且
。那么
.
其中
并且满足
。
证明(1)与定理3.3(1)的证明类似。
(2)当
,
并且
。我们有
。根据命题2.2可得
,所以存在
使得
。同时我们有
.
令
,则
。因此可得
.
又因为
,所以
。再根据引理2.4可知多项式
在
不可约。所以
.
(3)若
,
并且
。那么
,所以存在
使得
。同时我们有
.
并且可得
。又因为
,所以
。再根据引理2.5可知多项式
在不可约。所以
.
定理3.7令C是在
上长度为
的
常循环码。在定理3.3的条件下,有下面的结论成立:
1) 当
时。记
,则
.
对于任意的
,
,
,
,
,
,
,都有
。
2) 当
时,
(2.1)若
,则
.
对于任意的
,
,
都有
。
(2.2)当
时,则有![](//html.hanspub.org/file/10-1250655x684_hanspub.png)
i) 若
,
则
.
对于任意的
,
,
,
都有
。
ii) 若
,
。则
.
对于任意的
,
,
,
都有
。
iii) 若
,
。则
.
对于任意的
,
,
,
都有
。
定理3.8令C是在
上长度为
的
常循环码。在定理3.4的条件下,记
,有下面的结论成立:
.
对于任意的
,
,
,
,
,
,
,都有
。
定理3.9令C是在
上长度为
的
常循环码。在定理3.5的条件下,有下面的结论成立:
1) 当
时,
.
其中
。的
,
,
,
,
,
,
,都有
。
2) 当
,
并且
。则
.
对于任意的
,
,
都有
。
定理3.10令C是在
上长度为
的
常循环码。在定理3.6的条件下,有下面的结论成立:
1) 当
时,
.
其中
。且
,
,
,
,
,
,
,都有
。
2) 当
,
并且
。那么
.
对于任意的
都有
。
3) 当
,
并且
。那么
.
对于任意的
都有
。