1. 引言
Ajraldi [1] 研究了如下的食饵具有牧群行为的广义Holling-II功能函数反应
Braza [2] 研究了简化的食饵含有二次根号防御机制的函数反应
给出了内部平衡定的稳定性分析,在给出Hopf分岔分析时,并未计算Lyapunov系数,所以并不清楚在Hopf临界值时细焦点的阶数。
本文在上述研究成果的基础上,研究了一类食饵具有三次根号防御机制的函数反应
(1)
给出了内部平衡点的稳定性分析,并在判断Hopf分岔时给出了Lyapunov系数的值,计算出平衡点的类型为一阶稳定细焦点,改变参数后系统会发生Hopf分岔,平衡点的稳定性改变,分岔出一个稳定的极限环(参考 [3] [4] [5] )。
2. 主要结果
方程(1)的内部平衡点为
,其Jacobian矩阵为
(2)
定理2.1 假设
,即为
,则系统(1)在
有一个从平衡点E经过
Hopf分岔出的稳定的极限环。
证明 由(2),可得
(3)
令
。
由(3),可得
当
时,
,可得
我们可以检验如下横截条件
在
时,平衡点
的坐标为
为了把平衡点坐标移到原点
,我们作平移变换
则系统(1)变换为
(4)
我们可以把系统(4)写成如下形式
其中B,C为向量函数,令
,则由(4),可得
(5)
(6)
其中
,即为
(7)
其中
。
方程
的复特征向量为
(8)
且
。由(5),(6),(8)可得
(9)
且
(10)
由(8),(9),(10),可得
Figure 1. Stable limit cycle phase diagram of bifurcation from equilibrium point, bifurcation parameter is
图1. 从平衡点
分岔出的稳定的极限环相图,其中分岔参数为
我们可以计算参数在
时的平衡点E的第一Lyapunov系数为
则
为一阶细焦点,所以,当
时,从平衡点
分岔出一个稳定的极限环,参看图1。
基金项目
国家自然科学基金项目(11561019);中央高校基本科研业务费专项资金资助(2012017yjsy141)。