1. 引言
近年来,边界条件中含有谱参数的Sturm-Liouville (S-L)问题一直是数学物理领域中研究的热点。一些物理问题例如热传导问题和边界在滑竿上的弦振动问题等,由于边界条件中含有谱参数,边界条件随着谱参数的变化而变化,其特征值也会随着谱参数的变化而变化。学者们从其自共轭性的刻画,特征值的分布,特征函数系的完备性以及反问题等诸多方面考虑,在该领域已经形成了比较系统的理论 [1] [2] [3] 。
目前,许多学者对二阶S-L问题以及高阶边值问题的有限谱与矩阵表示问题进行了讨论 [4] [5] [6] [7] [8] ,这些结论不仅证明了文献 [9] 中Atkinson的猜想,同时也说明了具有有限谱的S-L问题与矩阵特征值问题之间可以相互转化。
然而,1988年,德国数学家Stefan Hilger首次提出了时标的概念,得到了一种能够将离散和连续两者结合起来,将微分方程和差分方程结合起来的理论新框架。由于时标在数学,物理等领域中的广泛应用,随后又有一些学者对时标上的S-L问题从多方面进行了一系列研究 [10] [11] [12] ,而对于时标上边界条件含有谱参数的S-L问题的矩阵表示还没有相应的结论。因此,本文利用文献 [11] 的方法,讨论了时标上带有谱参数边界条件的S-L问题的矩阵表示,在特定条件下得出两类问题之间的等价关系。
本文结构如下:在引言之后,第二部分给出了时标
上带有耦合型谱参数边界条件的矩阵表示的结论并给与了证明,同时得出带有分离型谱参数边界条件下的相应结论,第三部分得出了时标上矩阵特征值问题的带有谱参数边界条件的S-L问题表示。
主要讨论时标上带有谱参数边界条件的Atkinson类型的S-L问题与矩阵特征值问题
(1)
之间的等价关系。
考虑如下S-L方程
(2)
(3)
带有一般耦合型谱参数的边界条件
(4)
其中
且
,满足条件
设
,则方程(2)可以表示为
(5)
以下是本文用到的有关时标的基本概念:
定义1.1 [11] 时标
为
中的一个非空闭子集。
,定义前跳算子
为
,
;后跳算子
为
。其中,
,
。
定义1.2 [11]
,若
,且
,则
称为右稠密(rd)的;若
,且
,则称
为左稠密(ld)的;若
,则称
为右分散(rs)的;若
,则称
为左分散(ls)的。步长函数
。
定义1.3 [11] 记
,
为
的最大值且为左分散的,否则
。设函数
,
其中,
。
定义1.4 [11] 函数
为rd连续的,是指它在左稠密的点处极限存在,右稠密的点处连续,rd连续的函数记为
;函数
为prd连续的,是指它在左稠密的点处极限存在,在除有限个右稠密的点处均为连续的,prd连续的函数记为
。
若
,
,则在时标
上定义
的积分
2. 时标上带有谱参数边界条件的Sturm-Liouville问题的矩阵表示
定义2.1 时标上的S-L方程称为是Atkinson类型的,如果对于任意的正整数
存在对时标
的分割:
(6)
使得
(7)
以及
(8)
定义2.2 时标上带有谱参数边界条件的S-L问题(2),(3)为Atkinson类型的,如果方程(2)是Atkinson类型的。一个Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题称为与矩阵特征值问题是等价的,如果它们有相同的特征值。不妨设
(9)
由(7),(8)可知对于(5)的任何解
和
,
在
恒等于零的子区间上为常数,而
在
和
恒等于零的子区间上为常数。由此可令:
(10)
并设
(11)
引理2.3 对方程(5)的任何一组解
有
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
反之,对于系统(12)~(16)的任一组解
,
和
,
,
,存在方程组(5)的唯一解
和
满足(10)和(11)。
证明 证明可参考 [5] 。■
下面讨论时标上带有耦合型谱参数边界条件(4)的S-L方程的矩阵表示。
定理2.4 设S-L方程(2)满足带有耦合型谱参数的边界条件(4),定义
矩阵
和对角矩阵
(18)
以及矩阵
(19)
则带有谱参数边界条件的S-L问题(2)~(4)与矩阵特征值问题
(20)
等价,其中
。此外,同一特征值的带有谱参数边界条件的S-L问题的特征函数
与矩阵特征值问题(20)的特征向量
之间存在关系式:
证明 首先,系统(12)~(16)与以下系统等价:
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
事实上,若假设
和
是系统(12),(13)的解。则(21)~(23)可由(12),(13)得到。同理,(25)~(27)可由(15),(16)通过假设
和
为系统(15),(16)的一组解而得到。(24)可由(14)通过假设
为系统(14)的解以及文献 [11] 而得到。另一方面,若设
是系统(21)~(23)的一组解。则
和
可分别由(21)和(23)得出。再令
是由(12)所定义。则利用(21)并反复利用(22)进行逐步推导可得到(13),同理可得(15),(16)。因此由引理2.3,方程(5)的任何解,从而也是方程(2)的解,被系统(21)~(27)的解唯一决定。由边界条件(4),有
(28)
由文献 [11] 又有
通过选取向量
,并由(21)~(28)即可得到两类问题之间的等价性。■
将带有谱参数的耦合型边界条件(4)变形即可得到带有分离型谱参数的边界条件
(29)
其中
,满足
,
,
为谱参数,则可得到以下推论。
推论2.5 设S-L方程(2)满足带有分离型谱参数边界条件(29),定义
三对角矩阵
和对角矩阵
(31)
以及“几乎对角”(除了(1,2)和(m+n+5,m+n+4)位置上有非零元素外为对角矩阵)矩阵
(32)
则带有分离型谱参数边界条件(29)的S-L问题(2),(3)与矩阵特征值问题
(33)
等价,其中
。此外,所有特征值为几何单重的,同一特征值的含有谱参数边界条件的S-L问题的特征函数
与矩阵特征值问题(33)的特征向量
之间存在关系式:
证明 同定理2.4。■
以下定理说明每一个Atkinson类型的方程与一个以分段常值函数为系数的方程是等价的。
定理2.6 设方程(2),(3)是Atkinson类型的,并设
,
,以及
,
由(9)给出,定义时标
上的分段函数
如下:
(34)
设谱参数边界条件(4)满足。则时标上边界条件含有谱参数的S-L问题(2),(3)与分段常值函数为系数的方程
(35)
以及同样的谱参数边界条件(4)所构成的S-L问题有相同的特征值。
证明 显然,两个不同的S-L问题(2)~(4)和(35),(3),(4),决定相同的
,以及
。因此由定理2.4及推论2.5可知,在包含谱参数边界条件(4)的情况下,两个不同的S-L问题与矩阵特征值问题等价,所以它们有相同的特征值。 ■
3. 矩阵特征值问题的时标上带有谱参数边界条件的S-L问题表示
接下来给出矩阵特征值问题
(36)
的具有Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题表示。其中
是
实三对角或“几乎对角”矩阵且满足
,而
为
“几乎对角”矩阵且满足
,这是本文另一个重要结论,它是定理2.4的逆过程。
定理3.1 令
,设
为
实“几乎三对角”矩阵(除了
上有非零元素之外为三对角矩阵)
(37)
其中
,
,
,
,
。而
为
“几乎对角”矩阵
(38)
其中
,矩阵
的第一行和最后一行元素满足
则对固定的
矩阵特征值问题(36)有Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题表示,其形式为S-L问题(2),(4)。且给定时标
的一个固定分割(6),矩阵特征值问题(36)在(9)的符号意义下有唯一的具有(35),(4)形式的S-L问题的表示。
证明 令
,
。首先定义谱参数边界条件(4)中的各个参数,为此设
,
,
,
,
,
,
,
,以及
,
,
,
,
,
,
,
。按照(6)定义
的一个分割。然后构造
上的分段常值函数
,使得满足(7),(8)。下面定义(7),(8)中在
的子区间上不为零的函数值,其中
为固定的。为此,令
以及
则按照(34)定义
。这样的函数
为时标
上满足(7),(8)的分段常值函数。而方程(35)为Atkinson类型的,且将
对应换为
时满足(9),可看出问题(36)与问题(20)形式相同。因此,由定理2.4,矩阵问题(36)与含有谱参数的S-L问题(2)-(4)等价。定理剩下部分的证明可由定理2.6得出。■
注:当
,且
时,含有谱参数的耦合型边界条件就变为分离的情形了。证明如定理3.1。
致谢
本文由国家自然科学基金资助项目(11661059, 11301259);内蒙古自然科学基金项目(2017JQ07)支持。