1. 引言
对于保险人,再保险是重要的风险管理工具,并且在精算领域的研究非常广泛。保险人分出一部分风险给再保险人来减少自己的风险责任,同时再保险人向保险人收取一定的保费来支付未来可能的索赔。最优再保险是在一个优化标准下去确定最优的分出风险。在不同的在保险合同中最优的分出风险有停止损失、比例损失、变换损失、限额停止损失以及有限截断停止损失等。Borch (1960) [1] 通过方差最小模型来研究再保险,在期望保费原理下,使得保险人自留风险的方差最小得到停止损失再保险是最优的。Arrow (1963) [2] 研究了在期望效用模型下的最优再保险。Young (1999) [3] 运用Wang’s保费原理推广了Arrow (1963)的结果。Kaluszkal (2001) [4] 在均值–方差保费原理下推广了Borch (1960)的结果。
在最近的研究中,Cai (2007) [5] 介绍了两类最优再保险模型,在期望保费原理下,通过风险度量VaR和CTE使得保险人的总风险最小来研究停止损失函数的最优自留额。Cai (2008) [6] ,Cheung (2010) [7] 和Tan (2011) [8] 在期望保费原理下,通过风险度量VaR和CVaR使得保险人的总风险最小来研究最优的分出函数的具体形式。Chi和Tan (2013) [9] 应用VaR和CVaR研究了一类保持凸序的保费原理下的最优再保险。Cui和Yang (2013) [10] 推导了一般的失真风险度量和失真保费原理下最优再保险,但是假定的失真函数是分段凸或者凹的。Zheng和Cui (2015) [11] 运用失真风险度量和期望保费原理来研究最优再保险。Cai (2014) [12] 考虑了初始资本和违约风险对再保险的影响,在期望保费原理下分别应用期望–效用模型和风险度量VaR来得到最优的分出风险。Assa (2014) [13] 首次应用边际索赔函数(Marginal Indemnification Function)来研究在失真风险度量和失真保费原理下的最优再保险。Zhuang和Weng (2016) [14] 首先再保险保费进行一定的限制,然后在失真风险度量和失真保费原理下应用边际索赔函数(MIF)和拉格朗日对偶方法研究了最优再保险。本文在Zhuang和Weng (2016)的基础之上考虑了再保险人违约风险,建立违约风险的最优化模型,在失真风险度量和失真保费原理下运用MIF函数研究了最优再保险。
文章的结构安排如下:第2节建立了违约风险的最优再保险模型。第3节研究了失真风险度量下的最优再保险以及对应的最优分出风险。第4节对风险度量VaR和Wang’s保费原理的实例分析。第5节是全文的总结。
2. 模型的建立
本文中,所有的随机变量均定义在概率空间,假设保险人面对的损失在一个固定时间下是非负的随机变量,对应的分布函数为,生存函数,并且。记,随机变量的有效域记为,如果,即,本文所有的结果也均成立。
在建立模型之前,首先引入失真风险度量以及失真保费原理的相关概念。
2.1. 失真风险度量和失真保费原理
我们称函数是失真函数,如果它是满足:
并且是非减左连续的实值函数。
定义1 对于非负的随机变量和失真函数,定义失真风险度量
。
满足如下性质:
(1) 同单调可加性:,对任意两个同单调的随机变量和。
(2) 平移不变性:,对任意的和随机变量。
(3) 单调性:,当随机变量。
关于失真风险度量的具体讨论见Dhaene等(2006) [5] 。
当失真函数给出不同的形式时,失真风险度量包含许多其他类型的风险度量。两个主要的例子就是和,给出如下定义:
定义 2 对于随机变量,给定置信水平,我们定义
和
对于失真风险度量,当(其中是示性函数),,当,。
对于风险度量,。当,有,为此我们规定参数满足。另外,对于任意左连续的增函数,
假定再保险保费是失真保费原理,它的定义如下:
定义 3失真保费原理定义为
(1)
其中:代表相对安全加载,为失真函数。
特别地,当,失真保费原理就是期望保费原理,即。
当是增的凹函数且,失真保费原理就是Wang’s保费原理。
2.2. 初始资本和违约风险的再保险模型
在再保险合同中,保险人同意支付的部分损失,则对应保险人的自留损失为。因此称和分别分出损失函数和自留损失函数。当保险人考虑再保险人的初始资本和违约风险时,对于分出的损失,我们用失真风险度量来确定再保险人的初始资本,即
用表示再保险保费,根据(1)式,即
对于再保险人的赔偿,保险人意识到存在一定的潜在风险。如果,但再保险人仅赔付,显然保险人会出现亏损,如果,再保险人仅赔付,则就是一般研究的经典的风险模型。因此,在考虑违约风险的情况下保险人的总风险可以表示为:
,
其中。
2.3. 分出损失函数集的建立
假定再保险合同中分出函数满足下面两个条件:
(i)且是非减函数。
(ii)。
在这篇文章中,所有的分出函数均满足条件(i) (ii),记
由于分出函数是Lipschitz连续的,因此在上几乎处处是可导的,即存在一个勒贝格可积函数使得
函数就是分出函数在点的斜率,因此,,,我们称函数是“边际赔偿函数(MIF)”。
经典的风险模型研究中,经常得到停止损失或比例停止损失是最优的分出风险。但是Balbas (2015) [15] 指出,在实际中再保险人很难接受这一类分出损失,因为分出风险在超过某一范围时缺少对再保险人的一些奖励性政策。因此,Balbas规定在分出损失进行一定的范围限制进而避免这种情况。
本文中根据Balbas的观点,我们建立边际赔偿函数满足如下集合:
其中和是两个常数并且满足。
因此,可以记为
2.4. 最优再保险模型
假设保险公司用失真风险度量对总风险进行度量,使得在总风险的最小的情况下得到最优的分出函数,即考虑下面的最优化问题:
(2)
其中,是失真函数。
3. 失真风险度量下的最优再保险
对于(2)式的最优化问题,我们可以通过“边际索赔函数(MIF)”得到它的一个等价最优化标准。首先给如下引理:
引理 1 (Zhuang 2007)对任意的失真函数,任意的,则存在函数使得
并且
根据引理1,可以得到和分别为:
(3)
。 (4)
因此,由(3)式和(4)式我们就能得到的表达式为:
其中
。 (5)
由于是一个常数,故只分析
就能得到(2)式的最优解。因此,我们将最优化目标(2)式可以转化为MIF的形式如下:
。 (6)
注1 假定,对于每一个,由于有界并且上界是,因此
即由(2)式得到(6)式的上确界形式并且它是有界的。
根据以上的推导,我们知(6)式和(2)式的最优化目标是等价的。因此,通过对(6)式的最优化问题求解,进而可以得到(2)式的最优分出函数,具体过程及结果见定理1。这里用表示为Lebesgue测度。
定理1如果是(6)式最优解当且仅当表示为:
(7)
其中的定义域是。当,为取值在内的任意实值函数。
证明 假设存在与在一个Lebesgue测度集上是不同的,并且。只需证明,因此,将和相减则有
显然有,证毕。
注2,如果,则,则定理1也是Zhuang (2015)的无保费限制的最优解。如果,则,最优解就是考虑违约风险的最优解。
由(6)式和(2)式的最优化目标的等价性。我们就能得到(2)式的最优分出损失函数为:
(8)
其中满足(7)式。如果取在时,对应的MIF函数
。 (9)
是(6)式的最优解,然后就能得到(2)式的最优分出函数为
推论1 对于(2)式的最优分出函数在上是唯一的当且仅当
4. 风险度量VaR和Wang’s保费原理的实例分析
在这一节,应用风险度量VaR和Wang’s保费原理来求解(2)式的最优分出函数。首先对于再保险人的准备金,取,其中。在保险保费为Wang’s保费原理,即,其中是增的凹函数且。对于(2)式中度量总风险的失真风险度量,我们取,其中。根据以上的假设,(5)式可以具体的表示为:
其中,是增的凹函数且,。
接下来主要讨论中与大小关系进而得到最优的分出函数。
(a) 若;则
(i) 如果
由于在是单调递减,因此,复合函数表示为:
因此,根据定理1和(9)式,我们就能得到(6)式的最优解为:
最后根据(8)式,就能得到(2)式的最优分出函数
(ii) 如果,复合函数表示为:
因此,根据定理1和(9)式,对应(6)式的最优解为:
从而(2)式的最优分出函数为
(b) 若;记
当,;当,。
(i) 如果,则。
则表示为:
显然,根据(9)式,(6)式的最优解为:
则(2)式的最优分出函数为
(ii) 如果,则。
根据(9)式,(6)式的最优解为:
(iii) 如果,则。
则:
同样根据(9)式,得到(6)式的最优解为:
5. 结论
本文考虑了再保险人的违约风险,建立了含有违约风险的再保险优化模型,为了避免再保险中的道德风险以更适应再保险市场,对分出损失进行一定范围的限制,然后应用失真风险度量和失真保费原理,通过边际索赔(MIF)函数与分出函数之间的关系建立了与之等价的再保险优化模型模型,进而得到最优分出函数的具体表达形式。最后通过具体的风险度量VaR和Wang’s保费原理得到对应的最优分出函数。传统的应用风险度量来研究最优再保险时,均是先构造一个分出函数的形式,然后来证明它是最优的。但是运用MIF函数,对最优化标准求解就能简单直观的得到最优的MIF函数,进而得到最优的分出损失。因此,应用边际赔偿(MIF)函数是我们研究最优再保险的有力工具。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(11361058)。
参考文献