1. 引言
本文考虑以下边值问题：
(1.1)
其中为分支参数，。
边值问题正解的分支的研究一直是微分方程领域的重要部分。关于边值问题正解研究，目前比较常用的方法有上下解方法、积分法、分支理论、时间映射分析法等。对于非线性项为凹函数、凸函数、凹-凸函数以及凸-凹函数的研究已有大量的成果。在1970年，T. Laetsch [1] 就利用积分法研究了边值问题
(1.2)
在，在为凸函数时，得出了(1.2)的正解的确切个数。2001年，S.-H. Wang和D.-M. Long [2] 利用时间映射分析法研究了边值问题
(1.3)
在，在为凹-凸函数且满足一定条件时，得出了(1.3)的正解的确切个数。2011年，K.-C. Hung和S.-H. Wang [3] 利用时间映射分析法证明了当，在为凸-凹函数且为渐近次线性时，(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线。2014年，P. Korman和Y. Li [4] 利用分支理论证明了当分别在为凸-凹函数或凹-凸函数且满足一定条件时，(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线或反S-型曲线。
当(1.1)的非线性项时，即为扰动的Gelfand问题。对于此问题，也有大量的成果。通过 [5] 的证明，存在一个分支值，使得当，(1.1)正解的分支曲线在-平面上单调递增；当，(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线。在 [3] [6] [7] [8] 中都对取近似值，最新的结果为 [8] 中的。对于此问题的研究，还可参考 [9] [10] [11] [12] [13] 。
不难注意到，很多文献都是对非线性项为凸函数或凹-凸函数或凸-凹函数时进行研究，而很少有对非线性项为凹-凸-凹函数或凸-凹-凸函数时的研究，这是因为在这两类情况下，时间映射的图形十分复杂，讨论其单调性及极值点将变得十分麻烦。本文对非线性项为凸-凹-凸函数进行研究，证明了当非线性项为渐近次线性时，(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线。
2. 准备工作
定义(1.1)正解的分支曲线
.
则分支曲线在-平面上为S-型曲线即为S恰好存在2个转向点，其中，使得：
1)。
2) 分支曲线S在向左转向。
3) 分支曲线S在向右转向。
首先，设，且有以下假设条件：
(H1)。
(H2)在上是凸-凹-凸函数，即存在，使得
(H3)为渐近次线性，即：。
为了提出下面的假设条件，先定义以下函数：
. (2.1)
. (2.2)
因此
. (2.3)
由(H2)知，在上是凹-凸-凹函数，即
(2.4)
若≤0，则由(2.4)，(H3)以及，易得：存在，使得：
(2.5)
其中均为的极值点。
再定义：
(2.6)
则：
(2.7)
因此在时，与有着相同的单调性以及极值点。
有了以上的定义，再提出以下的假设：
(H4)。
(H5)或，即。
以下为本文的主要结果：
定理2.1 设，若满足(H1)-(H5)，则(1.1)正解的分支曲线在-平面上为S-型曲线，即存在两个正数，当或时，(1.1)存在唯一正解，当或时，(1.1)恰好存在两个正解，当时，(1.1)恰好存在三个正解；且。
3. 主要结果的证明
本文使用J. Smoller和A. Wasserman [14] 以及T. Laetsch [1] 使用过的时间映射分析法对(1.1)进行分析，时间映射等式为：
. (3.1)
为(1.1)的正解当且仅当
. (3.2)
因此，研究(1.1)正解的个数等同于研究时间映射在上的图像。
为了证明定理2.1，给出以下引理：
引理3.1 [1] 设，若满足(H1)-(H3)，则
,. (3.3)
且在最多只有一个极值点，且为极大值点。
引理3.2设，若满足(H1)-(H5)，则，且在上恰好有一个极值点，且为极小值点，此极值点在上。
证明：分几步进行证明，首先证明。
由(3.1)计算得：
. (3.4)
由及(2.5)可知：对任意的，有，且，所以
. (3.5)
接下来证明在上存在唯一的极值点，且为极小值点。把区间分为以及，分几步进行证明：
1) 由上面证明的过程以及(2.5)，易得:对任意的，有。因此在上单调递减，从而不存在任何极值点。
2) 接下来证明。
a) 若，因为，所以由(2.5)得:存在，使得：
以及
. (3.6)
不难注意到等号不能取，所以。
b) 若，则存在，使得：
因为，所以。因此
. (3.7)
因此，无论是还是，都有。
3) 下面证明在内，。
由(3.4)可计算得：
(3.8)
所以
. (3.9)
其中，所以，且：
(3.10)
下面分两种情况讨论：
a) 若，则对任意的且，所以易得。
b) 若，因为，所以由(3.10)得：存在，使得：
. (3.11)
注意到，且与有相同的单调性及极值点，所以由(2.5)及(3.10)，可得：
下面简单地证明。在，有，，所以；而在，有，，所以。因此在上，都有，即，对其从0到p2积分，可得：。所以。
因此由(3.11)得：对所有在上且满足的，都有：
. (3.12)
所以对所有的，都有。
由前面的证明可知，，所以在上至少有一个极值点，且为极小值点。又因为对所有的，都有。设为在内的任意一个极值点，则由(3.12)，当时必有，因此必为极小值，从而是唯一的。所以在上存在唯一的极值点，且为极小值点。
最后证明在上不存在任何极值点。
对任意的，由(2.5)易得，因此
按照证明(3.7)的过程，同样可得(只是被积函数的分母不同，对证明结果没有影响)，就不再加以证明。所以对任意的，都有。因此在上单调递增，从而不存在任何极值点。
定理2.1的证明 由(2.5)知：在单调递增，又由前面的讨论，易得：对任意的，，因此，又，所以在上至少有一个极值点，且为极大值点。又由引理3.1知，在上最多只有一个极值点，且为极大值点。因此在上存在唯一的极值点，且为极大值点，此极值点在上。
因此，在一共有两个极值点，一个在中，为极大值点；另一个在中，为极小值点；在其他区间没有极值点。设这两个极值点分别为，且，则为极大值点，为极小值点，因此在上的单调性为：
(3.14)
又由(3.3)有：
,.
因此(1.1)正解的分支曲线在-平面上的轨迹为一条S-型曲线，它从点出发向右移动，到达点后向左转向，到达点后向右转向，此后不再发生转向且趋于无穷。即存在两个正数，当或时，(1.1) 存在唯一正解，当或时，(1.1)恰好存在两个正解，当时，(1.1)恰好存在三个正解；且。
参考文献