1. 引言
本文所讨论的群均为有限群。
有限群的交换度及子群的交换度和广义交换度是刻画交换性质的三个重要数量指标。Tărnăuceanu [1] 定义了群的子群交换度
其中为群的子群格。Russo [2] 定义了群的广义交换度，为了方便计算，采用如下记法：
以此对比于交换度
并已获得很多重要的结果。文 [3] 通过考虑一类内交换群，探索了有限群的幂零性与其广义交换度之间的关系，并对于对称群及非交换单群的广义交换度能否计算提出了疑问，而次对称群是一个重要的群。当较大时，要找出的所有子群及各个子群的结构非常困难。本文对的交换性进行了分析，并给出具体的计算公式。
文 [4] 给出了的所有子群。
2个平凡子群：
9个2阶子群：
4个3阶子群：
7个4阶子群：
4个6阶子群：
3个8阶子群：
1个12阶群：
文 [5] 给出了对称群中各类子群正规化子的计算。两个元素称为是共轭的，如果该群中存在元，使成立，这时称作的变形，称为将变形为的变形元。其中对称群中的共轭类是由具有相同循环结构的元素组成。文 [5] 给出了对称群中不同形式元素的变形元形式。对称群中由生成的循环子群的正规化子是由的一切自变形元构成。一般子群的正规化子，先将的元分成若干个共轭类，然后求出使各共轭类中的元素互变的子集，即为各元素变形元的交集。再求各个的交集，此即为在中的正规化子。
2. 子群的正规化子
首先，通过子群结构分析正规化子。接下来，利用文 [2] 的方法给出正规化子来计算广义交换度等。
显然，两个平凡子群。
2.1. 2阶子群
有9个2阶子群，且均为循环群。子群的生成元为，则的正规化子由的一切自变形元构成，且正规化子个数为4。而的自变形元为，即。而由生成元的结构，同理可得，，，，。对于剩余的，，可计算得正规化子个数为8。子群的生成元的自变形元为，即，同理可得，。
2.2. 3阶子群
同上2阶子群的讨论，有4个3阶子群，且均为循环群。子群的生成元为，则的正规化子由的一切自变形元构成，且正规化子个数为6。而变形为自身的自变形元为，，；变形为的自变形元为，，。所以。同理可得，，。
2.3. 4阶子群
有7个4阶子群，其中3个为循环群；，，。剩余为4个Klein4元群：，，，。子群的生成元为，则的正规化子由的一切自变形元构成，且正规化子个数为8。而变形为自身的自变形元为，，，；变形为的自变形元为，，，。所以。同理可得，。
子群为非循环子群，有3个共轭类：，，。显然共轭类的正规化子为。变形为自身的自变形元为；变形为的自变形元为，，，；即共轭类的正规化子为。共轭类的正规化子为的自变形元，即。所以。同理可得，。
而有2个共轭类：，。显然共轭类的正规化子为。第二个共轭类的正规化子为各元素互变的自变形元的集合。变形为自身的自形元为；变形为的自变形元为；变形为的自变形元为。所以第二个共轭类的正规化子为。取交集可得。
2.4. 6阶子群
有4个同构于的6阶子群：，，，，其中子群有3个共轭类：，，。显然共轭类的正规化子为。共轭类的正规化子为。变形为自身的自变形元为；变形为的自变形元为，，，；变形为的自变形元为。所以
第三个共轭类的正规化子为。变形为自身的自变形元为；变形为的自变形元为。所以。取交集，迫使的正规化子为自身。同理可得，，的正规化子只能为自身。
2.5. 8阶子群
有3个8阶子群：，，，其中子群有4个共轭类：，，，。显然共轭类的正规化子为；共轭类的正规化子为；共轭类的正规化子为；共轭类的正规化子为。取交集，迫使的正规化子为自身。同理可得，的正规化子只能为自身。
2.6. 12阶子群
有且仅有1个12阶子群。
3. Sn的广义交换度
下面计算的广义交换度及子群交换度。
广义交换度：
子群交换度：
本文第二部分给出了部分元素的稳定子。显然，1阶元和2阶元的稳定子都已给出。接下给出剩余的3阶元和4阶元的稳定子。和的稳定子为；和的稳定子为；和的稳定子为；和的稳定子为。和的稳定子为；和的稳定子为；和的稳定子为。此时可以计算交换度。所以，的交换度为：
4. 结束语
本文给出了的交换性刻画。此方法同样适用于较大阶的对称群的交换性的计算。
基金项目
国家自然基金(11401424)项目资助。
参考文献