1. 引言
设
是复数域
上的*-代数。若线性(可加)映射
和任意的
有
,则称
是(可加)导子。若对任意的
有
,则称
为(可加)*-导子。显然*-导子是导子。对任意的
,称
为Lie积;称
为*-Lie积。若映射(没有加性假设)
和任意的
,有
,则称
为Lie导子;若
,则称
为*-Lie导子。近年来,*-Lie导子的研究引起学者关注。文献 [1] 证明了每个由因子von Neumann代数到自身的非线性*-Lie导子都是一个可加*-导子。文献 [2] 证明了包含非平凡对称幂等的2-挠率自由酉素*-环之间的每一个*-Lie导子都是一个可加*-导子。文献 [3] 证明了标准算子代数上的每一个非线性*-Lie导子都是一个内导子。
在Lie导子的基础上,Miers在 [4] 中引入了Lie三重导子的概念。设
是域
(
或
)上的结合代数,
为
-双模。设
为从
到
的线性映射,若对任意的
成立
,则称
是Lie三重导子。易证每一个Lie导子都是一个Lie三重导子,反过来不成立。近年来不同算子代数上的Lie三重导子映射引起关注和研究(见 [5] - [12] 及其文献)。同样地,我们可以很自然地引入*-Lie三重导子的概念。设
是复数域
上的*-代数,
是一个映射,对任意的
,若
则称
为*-Lie三重导子。文献 [13] 证明了因子von Neumann代数间的每一个非线性*-Lie三重导子都是一个可加*-导子,而因子von Neumann代数是一个素代数,对于更加一般的von Neumann代数,其上的*-Lie三重导子是否也是一个*-导子?为解决此问题,本文继续研究有限von Neumann代数上的*-Lie三重导子。
在本文中,
和
分别表示代数
的中心和代数
的自伴随算子构成的集合。
2. ∗-Lie三重导子
设
是复可分希尔伯特空间,我们用
表示
上所有有界线性算子构成的集合。设
为一个von Neumann代数。集合
称为
的中心。对
,A的中心覆盖是所有满足
(
)的中心投影的交集,记为
。A的中心覆盖是值域为
的投影,即
的闭线性扩张。对于每个自伴算子
,集合
称为A的核,记为
。如果P是投影,且
,我们称P为core-free投影。显然,
。若
,且
,则
。如果P是投影,很明显
为
的最大的中心投影。当且仅当
时,
,其中
表示
的中心覆盖。本文中将经常使用von Neumann代数的以下几个基本性质及命题。
命题1 [13] [14] 设
为一个von Neumann代数。
(1)如果
不含I1型的中心直和项,则
中每个非零的中心投影都是
的一个core-free投影的中心覆盖。
(2)如果
,P是
中的投影且
,那么对于所有
,
蕴含
。因此,如果
,则
蕴含
。
在本文中,设
是一个不含I1型中心直和项的von Neumann代数,根据命题1(1),存在一个中心覆盖为I的core-free投影,记为P1,即
且
。显然
。在本文中,P1是固定的。记
。根据core-free和中心覆盖的定义,P2是core-free投影且
。记
,
。记
。对于每个元素
,记
。本文中
表示
。
本节的主要结论表示如下。
定理1 设
是一个不含I1型中心直和项的有限von Neumann代数,
是一个非线性*-Lie三重导子,即对任意的
有
其中
,那么
是一个可加*-导子。
下面,我们首先证明
的可加性,即证以下命题。
命题2 设
是一个不含I1型中心直和项的有限von Neumann代数,
是一个非线性*-Lie三重导子,即对任意的
有:
,
其中
。那么
是可加的。
现在我们将分以下几个步骤证明命题2。
步骤1
。
实际上,对
,
。
步骤2 对每个
和
,
。
证明记
。由于
,根据步骤1有
因此,
,这说明
。
类似地,对P2应用同样证明方法,可以得到
。因此
。
步骤3 对所有
,
,
。
证明记
。由于
,由步骤1有
因此,
,这说明
。
类似地可以证明
,这说明
。
另一方面,由于
,由步骤1和步骤2有
因此
,这说明
。
综上可得
。
步骤4 对所有
,
,
。
证明易证
。
由步骤3有
因此,可以得到
。
步骤5 对所有
,
,
。
证明记
,且
,有
因此
,这表明
。
另一方面,对所有
,
由步骤4有
因此对所有
,
有
,这表明
。由命题1(ii)有
。
由以上步骤可得
。
下面对命题2进行证明。
证明令
,
。由步骤2~5有
接下来,我们给出定理1的证明。在证明定理1之前,我们需要以下引理。
引理1 设
是一个单位元为I的von Neumann代数,
。若对所有的
,
成立,则
。
证明令
,可以得到
,这说明
。因此对于所有
,有
,这说明
,因此
。
此外,下面的注记它在定理1的证明中起着重要的作用。
注记1 如果
是有限的,则
上存在中心值迹,那么
中每个非零元素不能写成
的形式,其中
。
断言1
,
,且当
时,
成立。
对于任意的
和
,由步骤1有
因此,对于任意的
可以得到
,由于对于任意
,均有
,其中
,从而可得
。从而由引理1有
,进而可以得到
。对于任意
,由
可得
因此
时
成立。
接下来证明
。
对于任意的
和
,由
得到
。
对所有
成立,根据引理1有
对所有
成立。由注记1可得
,即对每个
,有
。而对任意的
,有
,其中
,从而可得对于任意的
,有
。因此,
,则
。
断言2
,
,其中
。
由断言1,假设
,
,
,
,
其中
,由
和步骤1有
这表明
。
同样,由
可得
。
因此可以进一步假设,
,
,
,
,
由
有
这说明
。
由
可以得到
这说明
。
由
可以得到
由
可以得到
因此
,所以
并且
。
对于每个
,由
可以得到
。
最后我们证明定理1,通过命题2,我们只需要证明
是一个*-导子。
证明对于每个
,
,其中
。由断言1和2可以得到
根据断言2和命题2,
。那么对于所有
可以得到
因此
(1)
由断言2和式(1)可知
因此
(2)
结合式(1)和(2)可得
定理证明完毕。
3. 结论
本文针对代数上的*-Lie三重导子是否为*-导子的问题,对代数做Pierce分解,证明了有限von Neumann代数上的每一个非线性*-Lie三重导子是一个可加*-导子。设
是不含I1型中心直和项的有限von Neumann代数,则
的每一个非线性*-Lie三重导子是一个可加*-导子。
关于代数上的Lie导子及*-Lie导子还有一些问题有待于继续深入研究。例如,我们证明了在不含𝐼1型中心直和项的有限von Neumann代数上的每一个非线性*-Lie三重导子是一个可加*-导子,但有限条件是否可以去掉?又如,
的上的*-Lie n重导子是否为*-导子?接下来,我们将继续研究Lie n重导子*-Lie n重导子和的相关问题。