1. 引言
数学家Ball [1] [2] [3] 提出了三次参数曲线,随后广义Ball曲线曲面的研究工作不断推进并且取得众多成果。王国瑾 [4] 将三次参数曲线推广至n次广义Ball曲线并分析了其几何性质。Said [5] 提出了一种的新的广义Ball曲线,将三次参数曲线推广至任意奇数次。在文献 [6] 中,文献 [4] [5] 中的曲线分别被称为Wang-Ball和Said-Ball曲线,并通过比较分析发现Wang-Ball曲线的递归算法效率优于Bézier曲线和Said-Ball曲线。与同次Bézier曲线相比,广义Ball曲线在曲线求值和升降阶等计算方面更高效。因此,广义Ball曲线被广泛应用于几何制造业。
文献 [7] [8] 构造了两种带位置参数的广义Ball曲线。从提高t的次数的设计思路出发,文献 [9] 先构造了一组新的含形状参数
的基函数,再由此构造了与三次Ball曲线性质相似的扩展曲线。文献 [10] 提出了两种四次广义Ball曲线的生成方法。文献 [11] 先构造了次数分别为三次和四次的带形状参数的基函数,再基于这两组基函数定义了两种不同的扩展三次Ball曲线。文献 [9] [12] [13] 讨论了广义Ball曲线间的拼接问题,其中,文献 [13] 还给出了
连续条件下形状参数的选取准则。
整合文献 [7] [8] [9] 的思想,本文依次构造了
和
基函数,其中,
基函数可以从七次Wang-Ball基过渡到Said-Ball基,而
基函数可以从七次Said-Ball基过渡到Bernstein基。基于
基函数和
基函数构造的曲线均具有形状可调性,当
曲线中的形状参数
取不同值时,不仅可以得到七次Wang-Ball与Said-Ball曲线,而且还可以得到无数条处于这两种曲线之间的曲线;当
曲线中的形状参数
取不同值时,不仅可以得到七次Said-Ball与Bézier曲线,而且还可以得到无数条处于这两种曲线之间的曲线。
2. 介于Wang-Ball和Said-Ball曲线之间的曲线
2.1. 基函数的构造与性质
定义1 对
和
,多项式
(1)
被称为含形状参数
的七次广义Ball基函数,即
基。
基具有如下性质:
性质1 非负性,即
。
性质2 规范性,即
。
性质3 对称性,即
。
性质4 端点性质:
性质5 单峰性,即每个基函数在定义域
上有唯一的最大值。
性质6 退化性:当
时,
基是七次Wang-Ball基;当
时,
基是七次Said-Ball基。
2.2. 曲线的构造与性质
定义2 给定一组控制顶点
,对
,曲线
(2)
被称为含形状参数
的七次广义Ball曲线,即
曲线。
根据
基的性质可以得到,
曲线具有下列性质:
性质1 端点性质:
。
性质2 凸包性。由
基的非负性与规范性可以推出,
曲线始终会位于其控制多边形构成的凸包内。
性质3 对称性,即不论是控制多边形
还是
构成的
曲线形状相同仅方向相反。
性质4 几何不变性与仿射不变性,即
曲线的形状不会随着坐标系的不同而变化,并且不论是对
曲线的控制多边形进行仿射变换还是对
曲线直接进行仿射变换,两者所对应的新曲线仍然相同。
2.3. 形状参数的几何意义
形状参数
的取值变化会直接影响
曲线形状,下面先讨论
曲线中参数
的几何意义。
基可转化为七次Bernstein基函数的线性组合形式,即
(3)
记作
其中
,
,
。
如果令
则式(2)的等价表示为
(4)
将七次Bézier曲线的控制顶点记作
,再令
则可用七次Bézier曲线等价表示
曲线为
(5)
比较式(4)和式(5)可得
(6)
即
(7)
形状参数
的几何解释:由式(7)可知,
,
。当
时,如图1所示,
曲线的控制多边形为
,与
曲线等价的Bézier曲线的控制多边形为
。
Figure 1. The geometric meaning of shape parameter
图1. 形状参数
的几何解释
2.4. 形状参数对曲线形状的影响
由2.3节可知,当
增大时,与
曲线等价的七次Bézier曲线的控制多边形将会不断逼近
曲线的控制多边形。同时由Bézier曲线的逼近性可知,当
增大时,
曲线也会随之不断逼近其控制多边形。图2中依次取
生成曲线1~5,其中,曲线1和5分别为由
所定义的七次Wang-Ball曲线与Said-Ball曲线。
2.5. 曲线的几何作图法
通过2.3节的分析可知,
曲线可以转化为七次Bézier曲线,而且式(7)明确了两者控制顶点之间的显性关系。所以当
曲线的控制顶点已知时,可以先利用式(7)求解其相对应的七次Bézier曲线的控
Figure 2.
curves with different values of
图2.
不同取值时的
曲线
制顶点,再根据Bézier曲线的几何作图法,由七级递推后得到的最后一点即为
曲线上的点。令
且
,如图3所示,
为
曲线的控制多边形,则该
曲线对应的七次Bézier曲线的控制多边形为
。
Figure 3. The geometric drawing method of
curves
图3.
曲线的几何作图法
3. 介于Said-Ball和Bézier曲线之间的曲线
3.1. 基函数的构造与性质
定义3 对
和
,多项式
(8)
被称为含形状参数
的七次广义Ball基函数,即
基。
基具有如下性质:
性质1 非负性,即
。
性质2 规范性,即
。
性质3 对称性,即
。
性质4 端点性质:
性质5 单峰性,即每个基函数在定义域
上有唯一最大值。
性质6 退化性:当
时,
基是七次Said-Ball基;当
时,
基是七次Bernstein基。
3.2. 曲线的构造与性质
定义4 给定一组控制顶点
,对
,曲线
(9)
被称为含形状参数
的七次广义Ball曲线,即
曲线。
类似于
曲线性质,
曲线具备下列性质:
性质1 端点性质:
。
性质2 凸包性。
性质3 对称性。
性质4 几何不变性与仿射不变性。
3.3. 形状参数的几何意义
为阐明形状参数
对
曲线形状的影响,类似于2.3节的分析,接下来讨论参数
的几何意义。
基也可以由七次Bernstein基函数线性表出,即
(10)
记作
其中,
,
,
。
如果令
则式(9)可以等价表示为
(11)
仍然将七次Bézier曲线的控制顶点记作
,并令
故
曲线也可以转化为七次Bézier曲线表示形式,即
(12)
比较式(11)和式(12)可得
(13)
即
(14)
式(14c)可以等价表示为
(15)
同理,式(14f)可以等价表示为
(16)
形状参数
的几何解释:由式(14b)可知,
;由式(14g)可知,
;由式(15)可知,
位于以
和
为邻边的平行四边形的终点处;由式(16)可知,
位于以
和
为邻边的平行四边形的终点处。令
,
曲线的控制多边形为
,而与
曲线等价的Bézier曲线的控制多边形为
,如图4所示。
Figure 4. The geometric meaning of shape parameter
图4. 形状参数
的几何意义
3.4. 形状参数对曲线的影响
通过3.3节的分析可知,当
不断增大时,与
曲线等价的七次Bézier曲线的控制多边形将会渐渐靠近
曲线的控制多边形。结合Bézier曲线的逼近性可知,当
越大时,
曲线也会越来越靠近其控制多边形。图5中依次取形状参数
生成曲线1~4,其中,曲线1和4分别为由
所定义的七次Said-Ball曲线和Bézier曲线。
Figure 5.
curves with different values of
图5.
不同取值时的
曲线
3.5. 曲线的几何作图法
由3.3节可知,
曲线不仅可以转化为七次Bézier曲线,并且
曲线与七次Bézier曲线的控制顶点之间的显性关系可表示为式(14)。所以给定
曲线的控制顶点后,设计人员可以先根据式(14)求解其等价的七次Bézier曲线的控制顶点,然后采用Bézier曲线的几何作图法,由七级递推后得到的最后一个点即为
曲线上的点。当
,
时,如图6所示,
为
曲线的控制多边形,
为该
曲线等价的七次Bézier曲线的控制多边形。
Figure 6. The geometric drawing method of
curves
图6.
曲线的几何作图法
4. 结束语
本文给出了两种新的七次广义Ball曲线,即
曲线与
曲线。
曲线与
曲线均具有形状可调性:
曲线通过改变形状参数
的取值不仅可以转化为七次Wang-Ball和Said-Ball曲线,还可以得到无数条处于两者之间的曲线;而
曲线通过改变形状参数
的取值不仅可以转化为七次Said-Ball和Bézier曲线,而且可以得到无数条介于两者之间的曲线。对比文献 [7] [8] ,因为本文构造的两种新的基函数的表达式均为显性,所以整体更加简洁明了。此外,形状参数
和
具有明确的几何意义,便于设计员通过调整形状参数的值构造所需的曲线。
基金项目
国家自然科学基金(11761008);江西省自然科学基金(20161BAB211028);江西省教育厅科技项目(GJJ160558)。
NOTES
*通讯作者。