1. 引言与主要结果
文中
都是指亚纯函数,
表示
的s阶导数(s为正整数),
均为正整数,
的增长级
,其中
为
的Nevanlinna特征函数。
大约在1637年左右,法国数学家Pierre de Fermat在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,在页边空白处写下了:当整数
时,关于
的方程
没有正整数解。这就是著名的Fermat大定理。事实上,Fermat本人并未给出证明的细节,他仅对
的情形给出了少许提示。Fermat大定理被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年英国数学家Andrew Wiles证明了这个结论。
借助亚纯函数的Nevanlinna理论这一强有力工具,早在Fermat大定理被严格证明之前,1966年,当
时Fermat型函数方程
(1)
非常数亚纯解的存在性问题就已经被刻画清楚了 [1] [2] 。
受Fermat大定理的启发,Euler提出了如下的猜想 [3] :若
,则不定方程
(2)
无正整数解。
对于
,L. J. Lander,N. D. Elkies [4] [5] 给出反例表明,不定方程(2)存在非平凡正整数解。
对于
,上述的Euler猜想是否成立?这一问题迄今尚未解决。即使对于
,不定方程
是否存在非平凡的正整数解的问题也未彻底解决。而研究不定方程
整数解的存在性问题可以转化为研究方程
有理数解的存在性问题。
类似地,不妨先考虑下述问题:是否存在非常数亚纯函数
满足Fermat型函数方程
(3)
其中
。关于函数方程(1) (3)的上述问题可以看作Fermat大定理在亚纯函数域上解的状况。W. K. Hayman,G. G. Gundersen等人经过很长时间的探究,已得到如下结果。
J. Molluzzo [6] 、M.Green [7] 、Gundersen [8] [9] [10] 等人给出例子表明:对于
函数方程(3)存在非常数亚纯函数解。
1985年,Hayman [11] 证明了:如果
,则不存在非常数亚纯函数
满足函数方程(3)。
2009年,苏敏与李玉华 [12] 证明了:如果
,则不存在增长级小于1的非常数亚纯函数
满足函数方程(3)。
对于
,是否存在非常数亚纯函数
满足函数方程(3)的问题,现在还没有解决。
本文探究了当
时函数方程(3)亚纯解的存在性,证明了下述定理:
定理1 如果存在非常数亚纯函数
满足函数方程
(4)
则
是整函数,其中
定理2 如果存在非常数亚纯函数
满足函数方程(4),且
的增长级
,则
存在非零常数c,使得
。
2. 几个引理
引理1 [1] 如果
,则不存在非常数亚纯函数
满足函数方程(1)。
引理2 [13] 设
为区域D内k个亚纯函数。若
线性无关,则
的Wronskian行列式
引理3 [14] 如果
是非常数亚纯函数,且增长级
,则对
,
,使得
,且
引理4 [15] 设
为
上的亚纯函数,k为正整数,则
与
有相同的增长级。
3. 定理的证明
3.1. 定理1的证明
由于存在非常数亚纯函数
满足方程(4),则
线性无关。如若不然,假设
线性相关,则存在三个不全为零的常数
,使得
。不妨设
,则
(5)
由引理1可知,方程(5)只有常数解,从而得出矛盾。于是
线性无关,从而由引理2得
。
由方程(4)可得
令
则
,因此
. (6)
于是
(7)
(8)
(9)
下面证明
是整函数。
如果
存在极点,那么
的极点仅可能在
的极点处取得。设
分别为
的
重极点,且
,
这里
,
,
为
的解析部分,每次出现不一定相同,则
从而由(8)式得
由于
,且由方程(4)可知
,则
于是
在点
解析。因此
为整函数。
3.2. 定理2的证明
在定理1的证明基础上,证明定理2。
将(7)~(9)式相乘得
由引理3得,对
,
,使得
,且
(
,B为某一常数)。 (10)
由引理4和方程(4)知:
。
又由定理1知
为整函数,则由(10)式可得
为常数。再由(6)式知
,则必存在非零常数c,使得
。
4. 结论
本文主要对是否存在非常数亚纯函数
满足函数方程
(11)
的问题进行研究,但由于上述问题研究起来困难重重,不妨先研究
时函数方程亚纯解的情况,定理1、定理2是研究此问题得到的一点点结论。受文献 [12] 的启发,进一步将探究下述问题:是否存在增长级小于1的非常数亚纯函数
满足函数方程(11)。
基金项目
云南省教育厅科学研究基金项目(2023J1212, 2022J0967);昭通学院教学改革研究项目(Ztjx202102)。