1. 引言
作为平坦模的推广,1993年,Overtoun等 [1] 引入了Gorenstein平坦模的概念,研究了其性质。2009年,Holm和Jorgensen [2] 引入了对偶对的概念。2019年,Gillespie [3] 引入了相对于对偶对
的Gorenstein投射、内射和平坦模的概念。2022年,Becerril [4] 进一步研究了
-Gorenstein平坦模的同调性质及其维数。
1954年,Kasch [5] 引入了Frobenius扩张的概念。1960年,Nakayam,Tsuzuku [6] 和Morita [7] 对Frobenius扩张做了更深入的研究。近年来,Ren [8] 引入了可分Frobenius扩张的概念,研究了在环的Frobenius扩张下Gorenstein投射模与Gorenstein投射维数,证明了左S-模M是Gorenstein投射模当且仅当M作为左R-模也是Gorenstein投射模。2019年,Ren [9] 研究了在环的Frobenius扩张
下,其中S-是右凝聚环,Gorenstein平坦模与Gorenstein平坦维数的同调不变性。
受以上结论的启发,本文研究了在环的Frobenius扩张下
-Gorenstein平坦模与
-Gorenstein平坦维数的同调不变性。
文中环R和S-均指有单位元的结合环,模均指酉模。R-模(或者S-模)表示所有的左R-模(或者左S-模)。Rop-模(或者Sop-模)表示所有的右R-模(或者右S-模)。对任意的环R,
表示所有左R-模的范畴,
表示所有右R-模的范畴。
表示所有内射左R-模构成的类。
表示所有平坦左R-模构成的类。
在本文中,
表示所有右R-模构成的类,
表示所有右S-模构成的类,且
。
2.
-Gorenstein平坦模
定义2.1 ( [9] 定义2.1)称
是环的Frobenius扩张,如果满足下面五条等价条件中的一条
1) 函子
和
是自然等价的;
2) 函子
和
是自然等价的;
3)
是有限生成投射模,且
;
4)
是有限生成投射模,且
;
5) 存在R-同态
和
,使得对任意
,
和
。
定义2.2 设M是左R-模,称M是
-Gorenstein平坦模,如果存在平坦左R-模的正合列
,
使得
,且对任意
,
正合。
通常,我们将
-Gorenstein平坦模类记为
。
引理2.3 设
是环的Frobenius扩张,M是任意左S-模,假设以下成立
1) 任意
,
;
2) 任意
,
;
3) 任意
,B是右S-模
的直和项。
若M是
-Gorenstein平坦左S-模,则M也是
-Gorenstein平坦左R-模。
证明 设M是
-Gorenstein平坦左S-模,则存在平坦左S-模的正合复形
,
使得
,且对任意
,
是正合的。因为任意平坦左S-模都是平坦左R-模,所以F是平坦左R-模的正合复形。
令
,因为
,且
是右S-模,所以
正合,又由同构
知,
是正合的,所以M是
-Gorenstein平坦左R-模。
引理2.4 设
是环的Frobenius扩张,M是任意左S-模,假设以下成立:
1) 任意
,
;
2) 任意
,
;
3) 任意
,B是右S-模
的直和项。
若M是
-Gorenstein平坦左R-模,则
是
-Gorenstein平坦左S-模。
证明 设M是
-Gorenstein平坦左R-模,则存在平坦左R-模的正合复形
使得
,且对任意
,
正合。由( [10] 定理2.1.13),知
是平坦左S-模的正合复形,且
。对任意
,由同构
知,
正合,因此
是
-Gorenstein平坦左S-模。
引理2.5 ( [4] Lemma 3.11)设
,
,以下等价
1)
关于扩张封闭;
2)
是预可解的;
3)
是左R-模的正合序列,其中
,如果对任意
,
,则
。
命题2.6 若
关于扩张封闭,且
,则
关于直和和直和项封闭。
命题2.7 设
是环的Frobenius扩张,L是任意左S-模,
关于扩张封闭,
,假设以下成立
1) 对任意
,
;
2) 对任意
,
;
3) 对任意
,B是右S-模
的直和项。
则L是
-Gorenstein平坦左R-模,当且仅当
是
-Gorenstein平坦左S-模。
证明
)由引理2.4易知。
)若
是
-Gorenstein平坦左S-模,由引理2.3知,
也是
-Gorenstein平坦左R-模,设L是左S-模,则有自然满同态
,
,当看作R-同态时,
可裂,因此
是
的直和项,又由命题2.6知
-Gorenstein平坦左R-模关于直和项封闭,所以L是
-Gorenstein平坦左R-模。
命题2.8 设M是左R-模,以下等价:
1) M是
-Gorenstein平坦模;
2) 对任意
及整数
,
,且M存在
正合的右平坦分解;
3) 存在短正合序列
,其中
,则
。
证明 (1)
(2)易得。
(3)
(2)因为
,所以对任意
及整数
,
,且K存在
正合的
右平坦分解,
, ①
将短正合序列
与正合序列①连接起来,存在M的一个
正合的右平坦分
解,
, ②
将
作用于短正合序列
,可得长正合序列
,
从而
。
定理2.9 设
是环的Frobenius扩张,
关于扩张封闭,
,M是任意左S-模,假设以下成立
1) 任意
,
;
2) 任意
,
;
3) 任意
,B是右S-模
的直和项。
则M是
Gorenstein平坦左S-模,当且仅当M是Gorenstein平坦左R-模。
证明
)显然。
)设M是
-Gorenstein平坦左R-模,则对任意
及整数
,
。由于对任意
,B是右S-模
的直和项,因此由同构
可知
。
由命题2.8可知,我们只需要构造
的向右的一个平坦分解,由引理2.4知,
是
-Gorenstein平坦左S-模,又因
,所以存在左S-模的短正合序列
其中
是平坦模,K是
-Gorenstein平坦左S-模,另外,有S-模单同态
,
,将
限制在R-同态上,
可裂,于是存在
,使得
,考虑左S-模的短正合序列
其中
。由引理2.3知,K是
-Gorenstein平坦左R-模,则对任意
及整数
,
。从而
是单同态,同时,
也是单同态,因此序列
是正合的,故
,从而由引理2.5可得,
是
-Gorenstein平坦左R-模。用类似的方法,我们可以证得对任意
,
,从而序列
是正合的。
对
重复以上步骤,可以得到一个在函子
作用后依旧保持正合的短正合序列
,
其中
是平坦模,
作为R-模是
-Gorenstein平坦左R-模,通过归纳法,可以构造出
的向右的一个平坦分解,
①
其中
是平坦模,且对任意
,序列①在函子
的作用下保持正合。因此M是
-Gorenstein平坦左S-模。
3.
-Gorenstein平坦维数
定义3.1 设M是任意左R-模,定义M的
-Gorenstein平坦维数为M的
-Gorenstein平坦维数的最短长度,即
当且仅当存在左R-模的正合序列
其中n是非负整数,
是
-Gorenstein平坦模。
如果这样的n不存在,则
。
引理3.2 由( [4] 定理3.12)可得
-Gorenstein平坦维数的另一种定义
定理3.3 设
是环的Frobenius扩张,
关于扩张封闭,
,
,M是左S-模,假设以下成立
1) 任意
,
;
2) 任意
,
;
3) 任意
,B是右S-模
的直和项。
则
。
证明 由引理2.3知,任意
-Gorenstein平坦左S-模都是
-Gorenstein平坦左R-模,则
。下面证
,设
,由引理3.2,只需证对于任意
及整数
,
,又因对任意
,
,所以
。因此
,另外,由于对任意
,B是S-模
的直和项,且
,则对任意整数
,
,故
。即
。
命题3.4 若
是一族左R-模,
关于扩张封闭,
,则
。
证明 类似文献 [11] 命题3.11可证。
在定理3.3中,我们需要
,接下来我们研究在什么情况下,任意左S-模M的
-Gorenstein平坦维数沿着环的Frobenius扩张是传递的。
命题3.5 设
是环的Frobenius扩张,
关于扩张封闭,
,假设以下成立
1) 任意
,
;
2) 任意
,
;
3) 任意
,B是右S-模
的直和项。
则
a) 若M是左R-模,则
;
b) 若M作为左S-模,则
。
证明 a)由引理2.3知,任意
-Gorenstein平坦左S-模都是
-Gorenstein平坦左R-模,则
。由引理1.3,易得
。
b) 设M是左S-模,则M作为左R-模是
的直和项,由命题3.4,易得
。又由(a)知
,故
。
作为Frobenius代数的推广,2018年,Ren在文献 [8] 中提出了可分Frobenius扩张的概念.
定义3.6 [8] 称
是环的可分Frobenius扩张,如果满足以下两条
1)
是环的可分扩张;
2)
是环的Frobenius扩张。
称环扩张
是可分的,是指乘法映射
是可裂满同态。
定理3.7 设
是环的可分Frobenius扩张,
关于扩张封闭,
,M是任意左S-模,假设以下成立
1) 任意
,
;
2) 任意
,
;
3) 任意
,B是S-模
的直和项。
则
。
证明 因为
是环的可分Frobenius扩张,所以
是可裂满同态,故M是
的直和项,由命题3.4,易知
,由定理2.7可得不等式
,从而由命题3.5(b),我们有下面的不等式:
。
NOTES
*第一作者。