1. 引言
在现代经济学中,许多的经济模型都是建立在完全理性的基础之上,其中的“理性经济人”是指做出决策的人会在一定的约束条件之下最大化自身的利益,既是完全理性的。然而,这一假设与现实中的真实决策者们是不符的,也就是,在真实情况中,没有一个人可以做到完全理性的,故已有经济模型的应用受到了一定的限制。因此,在有限理性下研究经济或是博弈问题,不论是在理论和实践应用中都有重要的意义。
2001年,Anderlini和Canning [1] 构造了有限理性模型,这是一类带有理性函数的“一般博弈”。2006年,学者Yu等 [2] 对模型
进行了改进,减弱了相应的条件,使得模型的应用更为广泛。具体来说,
是参数空间,每个
是一个博弈,
是行为空间,每个
是一个策略,
是可行映射,而由
诱导出行为映射
,其中
,
,集值映射
的图
,
是理性函数,
定义为博弈的
近似解集,特别地,
定义为博弈的平衡点集,而
当且仅当
。之后,Yu等将改进的有限理性模型应用到多目标博弈 [3]。对于有限理性模型博弈更多的研究可见 [4] [5] [6] [7]。
另一方面,在实际的情况中,因为信息的不完备性会导致一些不确定的变化参数存在,例如Larbani 和Lebbah [8] 指出,在经济中的不确定参数可能由于信息的不完备或者天气、温度等大自然因素,在工业中的不确定参数的影响可能来自于测量仪器的误差。对于博弈论的均衡求解问题实际上也是一个决策问题,所以对于不确定参数的考虑是必要的。Zhukovskii [9] 引入了不确定非合作博弈的NS均衡概念。此后,国内外许多学者就不确定下的博弈问题展开了大量的研究,具体可见文献 [10] - [15]。为了将有限理性引入到不确定性博弈中,陆和邬 [16] 研究了不确定下的有限理性非合作博弈,并研究了模型的良定性问题。王 [17] 给出了有限理性下最一般不确定下博弈的NS均衡的稳定性分析,进一步,作为扩展,还研究了有限理性下广义不确定性的广义博弈NS均衡的稳定性。
1965年,Zadeh [18] 发表的《模糊集理论》为之后的模糊数学研究提供了系统的理论基础。模糊集理论已经应用到许多领域,如不动点理论、变分不等式和博弈论等。1992年,Billot [19] 将模糊行为和微观经济学结合起来研究模糊博弈,证明了模糊经济平衡点的存在性。Kim和Lee [20] 提出了模糊抽象经济学和模糊均衡的概念,并利用模糊映射概念下的连续选择定理证明了均衡点的存在性。此后,国内外许多学者围绕着模糊博弈做了深入的研究,可见文 [21] - [26]。
受以上研究的启发,本文希望将模糊参数引入到不确定性下的有限理性博弈模型中,研究在有限理性下的不确定模糊博弈均衡的稳定性。首先,本文建立了不确定下模糊博弈的有限理性模型。其次,研究了其强Berge均衡解的稳定性。最后,给出了不确定下模糊博弈的有限理性模型的良定性结论。
2. 预备知识
文献 [2] 给出了模型
鲁棒性和结构稳定性的定义及两者等价的结论。
定义2.1模型
在
对
近似解集是鲁棒地,如果
,有
。称模型
在
是结构稳定地,如果集值映射
关于
是连续地。
引理2.1对于模型
,设
是一个完备度量空间,
为一度量空间,
是uso的,且
,
是非空紧集,
是lsc的,且
,那么
1) 平衡映射
在
上是usco的;
2) 存在
中的一个稠密剩余集
,使得
,
在
是结构稳定的;
3) 如果
在
是结构稳定的,则
在
对
近似解集必是鲁棒的,从而
在
对
近似解集必是鲁棒的;
4)
,有
;
5) 如果
是单点集,则
在
是结构稳定的,在
对
近似解集是鲁棒的。
在 [27],Yu给出了如下的定义和定理,并就良定性之间的关系给出了相关的引理。
设
和
都是度量空间,
定义2.2如果
,
,
,其中
,必存在
的子序列
,使
,则称问题
是广义良定的,简记为G-wp;如果
(单点集),
,
,
,其中
,必有
,则称问题
是良定的,简记为wp。
定义2.3如果
,其中
,必存在
的子序列
,使
,则称问题
是广义Tykhonov良定的,简记为GT-wp;如果
(单点集),
,其中
,必有
,则称问题
是Tykhonov良定的,简记为T-wp。
定义2.4如果
,
,
,必存在
的子序列
,使
,则称问题
是广义Hadamard良定的,简记为GH-wp;如果
(单点集),
,
,
,必有
,则称问题
是Hadamard良定的,简记为H-wp。
定理2.1给定有限理性模型
,
,如果
1)
在
上是上半连续的且
是非空紧集;
2)
满足当
时
且在
是下半连续的,则
a) 问题
是G-wp;
b) 如果
(单点集),则问题
必是wp。
引理2.2 a) 如果问题
是G-wp,则
是GT-wp又是GH-wp;
b) 如果问题
是wp,则
是T-wp又是H-wp。
引入本文中所需要的关于模糊映射相关定义 [28]。
设
和
是两个Hausdorff拓扑向量空间,
分别是是
和
两个非空凸子集。定义模糊映射
,其中
表示在
上的所有模糊集的集合。对于每一个
是
的一个模糊集(可以写为
)。
表示在
里
的隶属度。令
属于
和
,用
表示
的
截集,具体表示为
。
定义2.5设
和
是两个Hausdorff拓扑向量空间,
是一个非空集。一个模糊映射
被称为凸的,如果对于每个
,
是凸的。即对于任意
和
,有
3. 主要结果
不确定下广义模糊博弈
定义如下:
表示局中人构成的集合,
为局中人
的策略集,
为非合作博弈的局势,
,
是不确定参数,
,
为第
个局中人的支付函数,
是局中人
模糊可行策略值映射,
表示是对于局中人
的可行度的可行函数。对于每个策略组合
,定义集值映射
,表示由
诱导出的集值映射,根据
截集的定义可表示为:
定义3.1一个策略组合
被称为
的模糊强Berge均衡,如果满足下列条件:
i)
;
ii)
;
iii)
。
注3.1条件(i) (ii)说明
是不确定下广义模糊博弈
的模糊强Berge均衡。条件(iii)说明
是多目标问题
的弱Pareto有效解,即所有局中人对不确定参数
均持乐观主义态度。
注3.2如果
或
且
不再是模糊集,则不确定广义模糊非合作博弈变为经典广义非合作博弈,其余情况类似。
假设
都是紧度量空间,设
对于任意
和
,定义距离
定理3.1
是一个完备度量空间。
证明明显,
是一个度量空间,下面证明
是完备的。设
是
中的任意柯西列。那么,对任意的
,存在
,使得当任意
,有
因此,对于每一个固定的
,当
时,有
(1)
(2)
(3)
即序列
是柯西列,因此存在
,使得
。下面证明
。在(1)式中令
,得到对一切
,有
(4)
又因为
,所以存在实数
,使得对所有
,
成立。因此
。固定
,
,因为
在
上是连续的,即对于
,当
时,有
(5)
则有(4) (5)可得
,所以
在
上时连续的。其次,容易证明存在
和
使得
和
。容易证明
是一个上半连续映射且是凸值的在
上和
是一个下半连续映射在
上。因为
在
上是拟凹的,既对于任意
,可有
,自然有
则
在
上是拟凹的。最后得到
。因此
是完备的。
接下来,构造不确定下广义模糊博弈的有限理性抽象模型
,其中
分别定义理性函数
和解集映射
如下:
表示博弈
的所有模糊强Berge均衡点,由空间
的定义可知
。
定理3.2 1)
;
2)
当且仅当
。
定理3.3
在
是连续的。
上述的定理证明类似于文献 [17] 中的引理4.1和引理4.2的证明。
综上可得,引理2.1的假设条件全部成立,因此其结论(1)~(5)也全都成立。既可得如下结论
定理3.4 1) 模糊强Berge均衡集值映射
是上半连续的;
2) 存在一个稠密剩余集
,对
在
是结构稳定的;
3) 如果
在
是结果稳定的,则
在
对
均衡解集是鲁棒的,从而
在
对
均衡解集是鲁棒的;
4) 对
Math_273#,有
;
5) 对
若
为单点集,则
在
是结构稳定的,而且对
均衡解集也是鲁棒的。
定理3.5 i) 对
,不确定下广义模糊博弈是G-wp,从而也是GT-wp和GH-wp;
ii) 如果
(单点集),
,则不确定下广义模糊博弈是WP,从而也是T-wp和H-wp。
证明i) 由于
是连续的且对
是非空紧集,
在
是下半连续的,满足定理2.1的条件,所有对
,不确定下广义模糊博弈G-wp,再由引理2.2可知,不确定下广义模糊博弈也是GT-wp和GH-wp。
ii) 同i)的证明,满足定理的条件,再由引理2.2可以推出不确定下广义模糊博弈是WP,从而也是T-wp和H-wp。
4. 总结
本文研究了不确定性广义模糊博弈的有限理性模型模糊强Berge均衡的稳定性,同时给出了该博弈模型的相应良定结论。本文扩展了不确定性
人非合作博弈的有限理性模型,引入了模糊集值映射,具有更强的理论价值和实践意义。
基金项目
国家自然科学基金项目(71961003);贵州省科技厅联合基金项目(黔科合LH字[2017]7223);贵州大学博士基金(贵大人基合字(2019)49)。