1. 引言和主要结果
本文设H表示复Hilbert空间,
表示在复Hilbert空间H上的所有有界线性算子的
-代数,对任意算子
,设
表示算子的算术平方根,其中
表示T的伴随算子。如果对任意算子
,T可以写为
,i为虚数单位,那么称此表达式为算子T的Cartesian分解,其中
,
。如果对任意非零向量
,有
,那么称T为半正定算子,记为
。算子T的数值域半径定义 [1] 为
。显然
在
上定义了一个范数,此范数
是算子范数,通常算子范数和数值域半径是等价的 [2] [3],即有不等式
(1.1)
成立。
的一个重要不等式是数值域半径的幂的不等式 [3] [4]
(1.2)
其中
。利用该不等式,很多文献 [2] - [14] 得到很多关于
的重要估计不等式。
一般而言,算子数值域半径的计算很困难,所以研究给出
上下界的估计或者推广就显得很重要,比如文献 [5] 证明了
(1.3)
明显(1.3)要比(1.1)好。文献 [14] 又得到
(1.4)
可以看出(1.4)又改进了(1.3),其中
是算子T的Aluthge变换,定义为 [3]
,U为部分等距算子,
是算子T的极分解,在文 [7] 和文献 [14] 中,研究了
的界,得到一些很好的不等式。近期,Sababheh等证明了 [10],对任意算子
,如果有
,那么对任意算子X,有
(1.5)
其中
,并且实数篇,
满足
。
Mirmostaeface证明了 [7],如果对任意的算子
有Cartesian分解
,当
时,有
(1.6)
和
(1.7)
成立。
本文利用Bohr不等式和Young不等式得到给出了一些新的算子数值域半径界的不等式,同时和文献中的已知结果做了一些对比,这在研究算子数值域半径上界的不等式有一定的理论和实际意义,本文主要得到以下一些结果。
定理1.1 设
有Cartesian分解
,则有
(1.8)
定理1.2 设
,并且
满足
,
,那么有
(1.9)
定理1.3 设
,函数f和g是定义在
上非负连续函数,并且满足
,那么
(1.10)
其中,
,
,
,
。
定理1.4 设
,
,
,那么
(1.11)
定理1.5 对任意算子
,存在酉算子U和实数
对任意
,使得
,
,那么
(1.12)
其中
。
本文结构安排如下,第一部分引言和主要结果,第二部分引理,第三部分定理的证明和注。第四部分为小结。为了给出定理的证明,需要以下的几个引理。
2. 几个引理
引理2.1 [3] [8] [10] 设
,那么
1)
2)
注意到引理2.1 (1)第一个不等式是权重为
的Young不等式 [3] [8] [10],权重为
的不等式可以写为
(2.1)
其中
,该式在不等式的研究中具有广泛的应用 [7] [8] [9]。
引理2.2 [11] [12] 设
表示复数,满足
,那么有
,特别的,当
时,得到经典的Borh不等式
引理2.3 [7] [8] [13] (Cauchy-Schwarz) 设算子
,对任意向量
,那么
1)
;
2) 函数f和g是定义在
上非负连续函数,并且满足
,那么有
。
引理2.4 [1] [8] (Mc-Carty)
,那么
1)
;
2)
。
3. 定理的证明和注
定理1.1的证明 对任意向量
,设
那么当
时,有
(引理2.3(1),
)
(引理2.2)
(引理2.4)
(引理2.4 (1, 2))
应为
,对上述不等式两边取上确界和利用定义,定理得证。
定理1.2的证明 设
,并且
满足
,
,那么有
(引理2.2)
(引理2.3)
(引理2.3 (1)引理2.1 (2))
(引理2.4)
最后一个不等式是因为当
时,函数
是凹函数,定理得证。
定理1.3的证明 设
,那么
(不等式2.1)
再利用不等式 [10],
,所以
对上述不等式两边取上确界和利用定义,定理得证。
注2.1 在不等式(1.10)中,令
,那么有
,显然,该式蕴含
,所以不等式(1.10)是(1.1)的推广。
定理1.4的证明 设
,
,
,那么
(引理2.3(1))
第二个不等号是因为当
时,有
,所以定理得证。
注2.2 在不等式(1.12)中取
,那么可得
,
所以不等式(1.12)变为 [7] 重要不等式
。
定理1.5的证明 注意到引理2.4,有
,由文献 [8] 有
,那么
,
简单计算,有
利用推广的极化恒等式
设
。
,
,那么
第一个不等号成立,是因为对任意正实数
,有
,第二个不等号成立,是利用引理2.4 (2),对上述不等式两边取上确界,定理得证。
4. 小结
算子数值域半径不等式在算子论的研究中有着很重要的作用,但是要精确计算出半径有时候相当困难,所以本文利用一些基本不等式和相关文献已有的结论,得到给出了一些新的算子数值域半径界的不等式,这在将来继续研究算子数值域半径上界的不等式有一定的好处。