1. 引言
作为Z2-阶化流形的数学模型,复李超代数在理论物理、工程学以及其他数学领域中都有着重要的意义 [1] [2] [3] [4]。型心和拟型心作为复李超代数上的重要映射,其在双导子的研究中起到关键的作用 [5]。对于复单李超代数
的型心,文献 [6] 证明了其是常数阵或其平方是常数阵,并且此类李超代数的型心与拟型心相同。对于一般李超代数的拟型心,文献 [7] 证明了其保持诣零根不变。而在文献 [8] [9] [10] 中具体研究了特殊线性李超代数几类子代数的型心和拟型心。Cartan型模李超代数是一类非常重要的单模李超代数,它的结构与表示是当前较为活跃的研究方向。在李超代数理论中,作为刚体运动学对应超旋转的重要数学模型,有限维的正交辛李超代数
研究已成为当前该领域的核心研究之一。对于实数域
上正交辛李超代数
,文献 [11] 讨论了其理想之间的关系并证明了
的所有理想都是标准的。文献 [12] 以素特征域上正交线性李超代数
为例,研究其在广义Witt型李超代数上的中心化子。但未有文章研究具体给定正交李超代数的型心与拟型心。本文将主要研究3阶复正交李超代数
的型心与拟型心的矩阵表示。相较于同类文章,文本推广了已有文献中的结论,对已有公理系统进行运用,研究具体给定正交李超代数。
文本结构如下:第二部分是预备知识,介绍了本文用到的一些基本概念和符号。第三部分得到了
的拟型心的矩阵表示。第四部分得到了
的型心的矩阵表示。
2. 预备知识
定义2.1 设
为模2剩余类环,则复数域C上的
-阶化线性空间
称为李超代数,若对其上定义的双线性二元运算
满足:
1) 超反对称性:
2) 超莱布尼兹公式:
其中:
是李超代数中的
-齐次元素,
分解为
的
-阶化次数。
注:超莱布尼茨公式移项整理后就是雅可比恒等式,李超代数也称为
-阶化李代数。
定义2.2 在
中定义超代数
,令
其中:
是偶数,我们将
称为正交对称的超代数,当
或
时即转换为正交的或对称的李代数。
定义
阶矩阵,
其中:
是
阶单位矩阵,
是
阶单位矩阵,令
表示从中删除第
行与第
列所得到的
阶矩阵,那么有
其中:
表示G的超转置。则
可表示为
其中:B,C是斜对称矩阵,E,F是对称矩阵,易得
则
可由如下矩阵表示
由此可以验证
是
的一组基。
其中
表示第i行第j列的元素为1,其余位置为0的方阵。为简便本文称以上这组基为对应代数的标准基。
定义2.3 设L是复李超代数,则称
为L上的
-阶化型心;称
为L上的
-阶化拟型心,其中
表示所有L中
-阶化线性变换的集合。
注:对任意
,若
,则称f为偶变换,即
;若
,则称f为奇变换,即
。
命题2.4 设f是李超代数上的线性变换,则f在一组基上的矩阵表示为:
注:当f表示型心时,由元素
组成的矩阵即是型心矩阵表示法;当f表示拟型心时,由元素
组成的矩阵即是拟型心矩阵表示法。
3.
拟型心的矩阵表示
引理3.1 设f是
线性变换,则f在
的标准基上的线性变换为:
定理3.2 若
的拟型心偶变换,则其在标准基上的矩阵为
,其中c为任意的复数。
证明:设偶变换为f是
的拟型心,根据拟型心的定义分别用
代替定义中的
进行运算。当
时,
与
的情况为:
又由拟型心的定义可得
,所以通过比较系数可得:
其他情况同理可得
,
。
类似的,可得f是奇变换即
的情况。
定理3.3 若
的拟型心是奇变换,则其在标准基上的矩阵为
。
证明:设奇变换为f是
的拟型心,根据拟型心的定义分别用
代替定义中的
进行运算。当
时,
与
的情况为:
又由拟型心的定义可得
,所以通过比较系数可得:
其他情况同理可得
,
。
4.
型心的矩阵表示
定理4.1 若
的型心是偶变换,则其在标准基上的矩阵为
其中c为任意的复数。
证明:设
的型心f是偶变换,则此时可同样用
的基元素代替型心定义中的
。当
时,由
,有:
又由型心定义
所以
,其他情况同理可得
,
。
同理,根据f为奇变换定义运算可得型心矩阵。
定理4.2 若
的型心是奇变换,则其在标准基上的矩阵为
矩阵。
致谢
衷心感谢审稿人提出的细致建议。
基金项目
东北林业大学大学生创新训练项目(S202210225006);中央高校基本科研业务费专项资金资助(2572021BC02)。
参考文献
NOTES
*通讯作者。