1. 引言及主要结果
在复解析动力系统的研究中,参数空间的研究是一个极其重要的方面。对二次多项式族
(c为复常数),我们考虑集合
。
此时,集合M即为著名的Mandelbrot集 [1] [2] [3]。M集有许多问题吸引着众多的数学家去进行研究,至今仍有很多问题是没有解决的,例如
的局部连通性以及
,其中
具有吸性或超吸性周期轨道
等 [2]。
人们猜测,对含有单参数的函数族,应该也有像M集一样复杂的参数空间。对超越整函数族
,
,当参数
时,f的Julia集
,
含有cantor束;当
时,
。而对整个参数平面结构的研究,仍很不完整 [1]。
我们研究的是含有单参数的有理函数族
(
为复常数),发现当参数沿实轴并且在
之间取值时,其Julia集
为cantor集,此时函数全为双曲有理函数。为此,我们有如下的结论:
定理 若
,则对任意的
,
为cantor集,且
为双曲有理函数。
2. 预备知识和引理
为了证明定理,本节对有理函数动力系统的一些概念和结果进行回顾。
设
是有理函数,则R可表示为
,这里P和Q是两个互质的多项式,记
为多项式P的次数,定义
,
称为有理函数R的度,它等于方程
的根的个数(重根记重数)。记
,如果序
列
在
是正规的,则称
是R的正规点,R的所有正规点集称为R的Fatou集,记为
。
关于
的余集称为R的Julia集,记为
。
是开集,也称为稳定点集,
是闭集,也称为不稳定点集。
的连通分支称为Fatou分支或稳定域。
定义2.1 [3] 若g是集合X上的一个自映射,
为X的一个子集,则
1) 称E为向前不变的,如果
;
2) 称E为向后不变的,如果
;
3) 称E为完全不变的,如果
。
引理2.1 [3] [4]
和
都是完全不变的,即
,
。
定义2.2 设R为有理函数,
,称序列
为R在点
的轨道(或称为正向轨道),记为
或
,称点集
为R在点
的逆轨道(或称为逆向轨道),记为
或
。
一类重要的轨道是周期轨道,其定义如下。
定义2.3 称
为R的周期点,如果存在正整数p使得
,满足该式的最小的p称为
的周期,这时,
的轨道是一条有限轨道:
,称其为周期轨道或循环,p为其周期。若
,即
,我们称
为
的不动点。
显然,周期轨道内每一点都是周期点,都具有相同的周期p。
定义2.4 设
为R的周期点,周期为p,则称
为
的乘子,若
的轨道为
,则
。因此,周期轨道内每一点都有相同的乘子,故
也称为周期
轨道
的乘子。若
或
,则在
的邻域内取局部坐标
,这时,求导运算在
的邻域内也有定义。
依据乘子
,我们对周期点有如下分类。
定义2.5 设
是R的周期点,周期为p,乘子为
,那么
1) 如果
,则称
为吸引周期点;
2) 如果
,则称
为超吸引周期点;
3) 如果
,则称
为中性周期点,此时,
,
。进一步,如果
是有理数,则称
为有理中性周期点;如果
是无理数,则称
为无理中性周期点。
上述分类对周期轨道也适合,对应地称为吸引周期轨道、超吸引周期轨道等。不动点是周期为1的周期点,关于不动点的个数,有如下结论。
引理2.2 [2] [3] [4] 若R是度
的有理函数,则R在
中有
个不动点。
在动力系统的研究中,我们不仅要准确掌握不动点,还需要明确临界点以及它的轨道。
定义2.6 如果
在z的任何邻域内都不是单叶的,则称点z为
的临界点,也即
的零点及其
的重级极点(如果有重级极点)称为
的临界点。R在临界点的值称为临界值,R的临界点的集合通常记为
,
指的是临界点的向前轨道。
引理2.3 [2] [3] [4] 度为d的有理函数R,在
中有
个临界点。
关于临界点和周期轨道,有很多重要的结论,这里,我们回顾一下临界点和吸引周期轨道的关系。
引理2.4 [2] 设
是R的吸引周期轨道,则其直接吸引域中至少包含R的一个临界点c,且
。
一个拓扑空间(或子集)称为完全不连通的,如果它的每个连通分支由单个点组成。Cantor集就是完全不连通的,其定义如下。
定义2.7
中的子集E称为是cantor集,如果E是一个非空闭的完全集且E是完全不连通的。
这里的cantor集是广义cantor集,其原型是康托的“middle-third”集,若Julia集为cantor集,则此时的Julia集像一片片叶子的碎片,它不再是连续的,而由许许多多的离散点组成。
关于Julia集何时为cantor集,我们有下面的结论。
引理2.5 [3] 设R是度
的有理函数,
为R的吸引或超吸引不动点,如果R的所有临界点均在
的直接吸性域中,则
为cantor集。
接下来,我们需要回顾动力学性质相对简单的双曲有理函数。
定义2.8 一个有理函数
,
,称为是双曲的,如果R在Julia集
上是扩张的。
引理2.6 [2] 设R是度
的有理函数,那么下列条件等价:
1) R是双曲的,即在
上是扩张的;
2)
;
3) 每个临界点的正向轨道收敛于某个吸引(或超吸引)周期轨道。
3. 定理的证明
证明:对任意的
,由于
,由引理2.2和引理2.3知函数
在
中有3个不动点和2个临界点,其2个临界点分别为−1和1,0为其中一个不动点,由于
,且
,所以0为
的吸性不动点,记
包含0的分支为
,则
是吸性分支且
。由于
是
吸性分支,由引理2.4,
含有
的一个临界点,因为
,所以
是
的完全不变的分支。由于
,所以临界点
。接下来分两种情形来讨论另一临界点−1的轨迹。
1) 当参数
时,取
,则
且
。此时,
在
中有3个
不动点分别为
和
。由于
,所以当
时,有
,由于
在
上没有不动点,所以
,特别地有
,从而
。
2) 当参数
时,取
,则
且
,此时,
,由引理2.2知
在
中有5个不动点分别为
,
,
和
。由于
所以
,由于
在
上没有不动点,所以
,同情形(1)我们也有
。由于对任意的
,其所有的临界点都在吸引分支
中,从而由引理2.5知
为cantor集。此时,由于
,由引理2.6得函数族中的函数均为双曲有理函数。定理证毕。
如果有理函数R是双曲的,那么在R附近的有理函数都是双曲的 [3]。在定理中,我们发现当参数沿实轴在
和
取值时,函数
都是双曲的,所以在实轴附近一个不规整的区域内,函数都是双曲有理函数,这样的区域能否拓展?具体形状如何?这将是我们后续研究的问题,进一步,我们可以考虑函数的J-稳定性以及Julia集的hausdorff维数。
基金项目
云南开放大学云南国防工业职业技术学院科学研究基金项目,项目编号:21YNOU13。