基于五轴加工中心的涡轮叶片在机测量准确定位方法研究

Research on Accurate Positioning Method of Turbine Blade in Machine Measurement Based on Five-Axis Machining Center

摘要: 以航空发动机涡轮叶片为研究对象，针对五轴在机测量平台在叶片旋转后测量坐标系偏移问题，提出了一种基于ICP算法的配准定位方法，并基于该算法建立了配准目标函数。为了提高定位精度，针对涡轮叶片加工精度在区域分布不均问题，依据曲率划分定位区域，选取曲率较小区域用于定位。基于涡轮叶片的配准结果，给出了叶片定位中各轴向的定位误差和综合定位误差的计算公式，并提出迭代测量、二次定位的方法提高定位精度，减小定位误差。通过实际加工叶片配准定位，定位精度在15微米左右，证明该方案的有效性。

Abstract: Taking the aeroengine turbine blade as the research object, aiming at the measurement coordinate system offset of the five-axis on-board measurement platform after the blade rotates, a registration and positioning method based on ICP algorithm is proposed, and the registration objective function is established based on this algorithm. In order to improve the positioning accuracy, aiming at the uneven distribution of turbine blade machining accuracy in the region, the positioning region is divided according to the curvature, and the region with small curvature is selected for positioning. Based on the registration results of turbine blades, the calculation formulas of axial positioning error and comprehensive positioning error in blade positioning are given, and the methods of iterative measurement and secondary positioning are proposed to improve the positioning accuracy and reduce the positioning error. Through the actual processing of blade registration and positioning, the positioning accuracy is about 15 microns, which proves the effectiveness of the scheme.

1. 引言

随着国内经济实力的提升和军事技术的发展，自由曲面已经在航空航天、汽车行业、船舶制造、精密设备、高档数控机床等领域有了广泛的使用，其中，涡轮叶片的制造和测量对于航空航天领域是一项技术难点。当前国内的国产机床对于涡轮叶片的加工精度大约只能在50微米左右，因此对涡轮叶片的高效率、高精度的测量及后续的超精加工提出了前所未有的迫切需求 [1]。在机测量是提高叶片加工以及测量效率的一种非常有用的解决方案，相比于离线测量，在机测量能把加工过程与检测过程高效地结合起来，在加工复杂空间曲面的产品时有明显的优势，它自由度大，避免了对工件多次装夹造成的误差，缩短制造周期，降低生产成本，同时能够对加工过程给予精确的指导，所以在气缸、叶片、整体叶轮以及螺旋桨等这类结构复杂且为空间曲面的零件加工上有重要的研究意义 [1]。

目前，国内的在机测量方案主要是传统的基于三轴加工中心的测量方式，五轴加工中心很少应用于量测。传统的三轴定位方式主要还是利用加工坐标系进行偏置，将建模坐标系和测量坐标系通过对齐来实现定位。国内外许多专家学者在定位这方面也做了许多科学研究。广西工业大学方瑞、陈岳坪等 [2] 人利用量块、激光干涉仪通过对机床的定位精度进行补偿提高对复杂曲面的定位精度，这种方法减小了机床的静态误差，同时提高机床的量仪精度，但是没有考虑到在对曲面定位过程中，五轴机床在加工复杂曲面时带来的整体形状误差。于海祥等 [3] 人采用“基于多层感知器神经网络”的误差补偿方法，通过三坐标测量仪计算出铣床的误差数据，并利用MLP神经网络模型来对这些数据进行训练，最后得到拟合的误差曲面，实现了对工件的定位。郭前建 [4] 提出“基于机床空间误差的多模型融合预测”的算法，通过对机床的三种误差(几何误差、热误差和切削力误差)建立最优化的空间误差模型，对空间误差补偿模型进行设计，从系统层面出发，实现了对工件的定位。蔺小军 [5] 采用CMM测量机对叶片进行测量，提出了基于流道线法的测量方式，并利用L-BFGS-B算法对叶片配准来实现对曲面加工质量的评估。Zhang等 [6] 提出了基于特征的自由曲面测量路径规划方法。

工件定位的主要目的在于选取测量坐标系，测量坐标系选取的准确与否对于之后叶片数据的采集、叶片加工误差的分析有着不可忽视的影响。由于涡轮叶片是复杂曲面的一种，其表面上各个点的法向量都各不相同，这给后续的测量以及测头半径的补偿带来了困难。常见的CMM三坐标测量仪是采用3-2-1法来实现对工件的定位 [7]，即三个点确定一个平面，两个点确定坐标系方向，一个点确定原点。这种方法在三坐标测量仪上用得较多，只是这种方法有一个局限性就是需要工件上有一个确定的平面，而涡轮叶片的表面一般是自由曲面，这就很难用3-2-1法去定位。

对于这种问题国内有许多学者也提出了不同的解决方法，蔺小军等人 [5] 采用的一个解决方案是设计一个特殊的测量夹具，这个测量夹具的楔型面与涡轮叶片安装楔型面配合，利用对测量夹具的定位来间接得到叶片的定位，但这种方法会引入装夹误差并且需要更改装夹方式，设计专用夹具，过程繁琐，因此，3-2-1定位法在涡轮叶片的在机测量方案中不适用。针对上述问题，本文提出了一种基于配准算法的定位方法，该方法将机床上的曲面和理论曲面进行配准，实现了对机床上工件的准确定位，实验结果表明了本文方法在减小了定位复杂度的同时提高了精度，证明了本文方法的有效性。

2. 涡轮叶片初定位

2.1. 涡轮叶片点云坐标变换

通过UG二次开发技术，可以得到涡轮叶片曲面上的任意一点在建模坐标系下的三维坐标及其空间法向量，因此为了便于测量以及后续的数据分析，测头测量叶片曲面时的测量坐标系应当与建模坐标系重合，这就需要在机床上利用测头对工件寻找测量原点，叶片在经过机床加工后，其加工坐标系和建模坐标系之间的位置关系理论上是已知的，通过手动校正测头的测针偏心后，测量坐标系和加工坐标系只是在Z轴上有一个距离偏置，因此只需对测头进行长度补偿即可将加工坐标系中曲面任意点的坐标转换到到测量坐标系下叶片曲面任意点的坐标。

在实际对叶片进行测量时，叶片曲面上并不是所有点皆可在XYZ三轴下进行测量，有些点由于叶片结构的原因，其法向指向Z轴负方向，在这种情况下测头若只是通过三轴移动，是无法测量到这些点的，因此需要加入A、C两轴辅助测头测量。在建立测量坐标系后，叶片曲面上的点经过A、C轴旋转可以得到新的理论点云坐标。但需注意的是，计算旋转矩阵时需注意A、C轴旋转顺序，即欧拉角顺序，常见的A、C两轴摇篮式五轴机床其欧拉角顺序是C、A，即C轴先旋转，其次A轴旋转，因此，叶片曲面上旋转后的点坐标和每一点的法向量由公式(1)可得

$\{\begin{array}{l}t={O^{\prime }}_w-O_w\\ R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ {P^{\prime }}_o=R\left(P_o-t\right)+t\\ n^{\prime }=Rn\end{array}$ (1)

式中，t为转台旋转中心在测量坐标系中的坐标； ${O^{\prime }}_w$ 为转台旋转中心在机床坐标系中的坐标； $O_w$ 为测量坐标系原点在机床坐标系中的坐标； $R$ 为A、C两轴的欧拉旋转矩阵； $P_o$ 为旋转前曲面点在测量坐标系下的坐标； ${P^{\prime }}_o$ 为旋转后曲面点在测量坐标系下的坐标； $n$ 为旋转前曲面点在测量坐标系下的法向量； $n^{\prime }$ 为旋转后曲面点在测量坐标系下的法向量。

2.2. 涡轮叶片定位点的选取

涡轮叶片属于一类典型的自由曲面零件，这种零件的典型特点就是薄，并且由于其加工材料都是不锈钢、蒙乃尔合金、INCONEL、钛和镍为基础的难加工合金材料，所以其加工精度也很难控制 [8]。因此可以认为涡轮叶片曲面是一个由多个不同精度的特征区域组成，其中叶片的加工精度主要与曲面的曲率有关，可以认为曲面曲率越大，该区域的加工精度越低，曲率越小的区域，其加工精度越高。曲面的曲率有很多指标，常见的曲面曲率有高斯曲率、主曲率、平均曲率、法曲率等，但对于涡轮叶片测量的常用解决方案中，由于叶片曲面一般可分为U向和V向，因此叶片曲面的曲率可以用线曲率来表示，叶片曲面上每一点的曲率可以用该点在U向曲线上的曲率来表示，并且该曲率可认为直接与加工精度有关，因为刀轴在加工叶片时的走刀路线也是基于U向曲线。

由于涡轮叶片曲面加工精度与其U向曲线的曲率有关，因此将涡轮叶片曲面根据U向线曲率分成4块区域，其中I区域和IV区域，II区域和III区域的曲率分别近似相同，而I区域和IV区域的U向曲率要明显小于其他两块区域，因此，用来定位的测量点的选取主要还是考虑从I和IV区域选取，II区域和III区域不用来选取定位测量点。如图1所示，首先将两块测量区域在U、V方向离散化成点云，为了保证之后的定位精度足够高，每一块区域离散的点云中包含点的数量应当足够多，足够密，但若点云包含的点的数量过多，就会增加定位算法所需的时间，因此在兼顾定位效率的情况下，利用UG在两块测量区域中各选取10 cm × 10 cm的正方形区域，离散成100 × 100个点，两块区域共计20,000个点的点云数据，每两个邻近点之间近似距离为0.1 mm。之后从这20,000个点云数据中选取用于涡轮叶片的定位测量点定位测量点的选取应满足以下两个条件，1) 为了实现对涡轮叶片的精准定位，测量点的数量及其分布要尽可能表现出叶片的曲面特征，否则可能会落入局部解陷阱，出现定位错误，因此这种情况应该是尽量避免的。2) 为了保证测量的效率，减少对涡轮叶片定位所用时间，测量点的数量在满足条件1的情况下应该足够少。因此在基于以上两方面的考虑，利用随机采样算法从20,000个点云数据中随机采样160个点，并利用这160个随机采样点进行定位，如图2所示。

Figure 1. Surface measurement area division

图1. 曲面测量区域划分

Figure 2. 160 random sampling points

图2. 160个随机采样点

3. 涡轮叶片精细定位

叶片能实现精准测量的前提是叶片曲面在机床上能够被准确的定位，其定位的精确性直接会影响到之后测头测量的精确性。由于叶片型面是曲面，因此在利用测头测量时应当采用测头法向靠近量测的方式来测量曲面上任意点坐标，注意测量时需要先标定测头各个方向的误差，由于机床测量输出的坐标都是测头的球心坐标，所以需要对输出坐标补差才能得到叶片曲面上的真实坐标。

3.1. 测量点与模型理论点配准理论

由于机床加工误差和旋转误差的影响，实际测量坐标系和理论测量坐标系不会精确的重合，这样就会使测量得到的坐标和实际曲面上点的坐标存在着系统误差，这样也不利于后期的二次加工。因此，在对测量数据进行处理时，最重要的就是要将测量得到的点的坐标和叶片曲面模型理论点的坐标进行一次配准，通过ICP (Iterative Closest Point)配准算法来将叶片实测点相对于理论模型点的误差达到最小，从而减小系统误差的影响。由于测头一次测量所得到的点的坐标误差可能较大，因此可以通过迭代测量配准定位的方式来提高对叶片的定位精度。

3.1.1. 刚性变换矩阵

测量曲面得到的点坐标和模型理论点坐标配准的目的是将两组点云坐标数据通过旋转和平移使其重合，这个过程可用一个映射变换来表示。假设映射变换为 $H$，那么 $H$ 可以用公式(2)来表示。

$H=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& t_x\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& t_y\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& t_z\\ v_x& v_y& v_z& S\end{array}\right]$ (2)

$\{\begin{array}{c}T={\left[\begin{array}{ccc}{t}_x& t_y& t_z\end{array}\right]}^{\text{T}}\\ A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\\ V={\left[\begin{array}{ccc}{v}_x& v_y& v_z\end{array}\right]}^{\text{T}}\end{array}$ (3)

其中， $H$ 可以在公式(3)中由 $A$ 、 $T$ 、 $V$ 、 $S$ 矩阵或向量等四部分组成。 $A$ 为旋转矩阵， $T$ 为平移向量， $V$ 为透视变换向量， $S$ 为整体的比例因子。由于测量点和理论模型数据点之间的变换属于刚体变换，没有发生形变，所以 $V$ 可以设为零，并且刚体变换时没有发生放缩，比例因子 $S=1$。那么映射变换 $H$ 可以用公式(4)表示为：

$H=\left[\begin{array}{cc}{R}_{3\times 3}& T_{3\times 1}\\ O_{1\times 3}& S\end{array}\right]$ (4)

其中旋转矩阵 $R_{3\times 3}$ 和平移矩阵 $T_{3\times 1}$ 可以通过公式(5)和(6)来表示：

$R_{3\times 3}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ (5)

$T_{3\times 1}={\left[\begin{array}{ccc}{t}_x& t_y& t_z\end{array}\right]}^{\text{T}}$ (6)

其中 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 分别表示点沿 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴的旋转角度， $t_x$ 、 $t_y$ 、 $t_z$ 分别表示点沿 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴的平移量。

3.1.2. 映射变换矩阵的参数估计

将两个不同坐标系下的点 $X$ 和 $X^{\prime }$ 进行坐标变换时，可以通过公式(7)来实现转换：

$X^{\prime }=R_{3\times 3}X+T_{3\times 1}$ (7)

式中， $X={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& z_i\end{array}\right]}^{\text{T}}$， $X={\left[\begin{array}{ccc}{x^{\prime }}_i& {y^{\prime }}_i& {z^{\prime }}_i\end{array}\right]}^{\text{T}}$。

由公式(4)可知，映射变换矩阵主要由 $R_{3\times 3}$ 和 $T_{3\times 1}$ 组成，其中含有六个未知数 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 、 $t_x$ 、 $t_y$ 、 $t_z$。要唯一确定这六个未知参数，需要六个线性方程，即至少需要在待匹配点云重叠区域找到3组对应点对，且3组对应点对不能共线，才可以求解这六个参数的值，进而完成映射矩阵的参数估计。因此为了进一步提高映射变换矩阵的参数估计精度，需要选择尽可能多的对应点对，详情可看1.3节。

3.1.3. 配准目标函数

在需要匹配的模型理论点云和测量点云数据中，可以将理论点云表示为源点集，测量点云表示为目标点集，其中令 $P=\left\{p_i|p_i\in R_3,i=1,2,\cdots ,n\right\}$ 表示为源点集， $Q=\left\{q_j|q_j\in R_3,j=1,2,\cdots ,m\right\}$ 表示为目标点集， $m$ 和 $n$ 主要用于表示点集中点的个数。设旋转矩阵为 $R$，平移矩阵为 $t$，用 $f\left(R,t\right)$ 表示源点集 $P$ 经过变换矩阵 $\left(R,t\right)$ 后与目标点集 $Q$ 之间的误差。则求解最优变换矩阵的问题就可以转化为求满足 $\min f\left(R,t\right)$ 的最优解 $\left(R,t\right)$。其中 $f\left(R,t\right)$ 用公式(8)定义为：

$f\left(R,t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\Vert R{p}_i+t-q_i\Vert }^2}$ (8)

3.2. ICP算法原理与步骤

ICP算法的基本原理是：分别在带匹配的目标点云 $P$ 和源点云 $Q$ 中，按照一定的约束条件，本文中用的是KNN搜索 [9] 算法，找到最邻近点 $\left(p_i,q_i\right)$，然后计算出最优匹配参数 $R$ 和 $t$，使得误差函数最小。误差函数 $E\left(R,t\right)$ 为：

$E\left(R,t\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\Vert q_i-\left(R{p}_i+t\right)\Vert }^2}$ (9)

其中 $n$ 为最邻近点对的个数， $p_i$ 为目标点云 $P$ 中的一点， $q_i$ 为源点云 $Q$ 中与 $p_i$ 对应的最近点， $R$ 为旋转矩阵， $t$ 为平移向量。

ICP算法步骤：

步骤1 计算最近点集：对于目标点集 $Q$ 中点集 $q_i\in Q$，找到与源点集 $P$ 中最邻近的对应点集 $p_i\in P$ 如图3所示，使得 $\Vert q_i-p_i\Vert$ 的值即对应点之间的欧氏距离最小。

步骤2 计算变换矩阵：利用SVD分解算法计算旋转矩阵 $R$ 和平移矩阵 $t$，使得误差函数 $E\left(R,t\right)$ 最小。

步骤3 应用变换矩阵：对源点集 $P$ 使用上一步求得的旋转矩阵 $R$ 和平移矩阵 $t$ 进行旋转和平移变换，得到新的源点集 $P^{\prime }$。

Figure 3. Schematic diagram of adjacent point selection

图3. 邻近点选取示意图

步骤4 目标函数计算与阈值判断：在新的源点集 $P^{\prime }$ 找到与步骤一中的点集 $q_i$ 最邻近的点集 ${p^{\prime }}_i\in P^{\prime }$，计算 ${p^{\prime }}_i$ 与对应点集 $q_i$ 的平均距离：

$d=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\Vert {p^{\prime }}_i-q_i\Vert }^2}$ (10)

如果 $d$ 小于某一给定的阈值或者迭代次数大于预设的最大迭代次数，则停止迭代计算，否则返回步骤2。

步骤5 配准结束。

上述解法的关键是步骤3中旋转矩阵 $R$ 和平移矩阵 $t$ 的求法，这是一个非线性规划问题。因为测量坐标系和理论模型坐标系近似重合，测量数据的姿态比较接近全局最优解，所以可以通过ICP算法来进行精确配准。

3.3. 叶片定位误差计算

如何评价叶片的定位精度是叶片定位过程中的关键，其定位精度与后续的测量精度有着密切关系。定义 $p$ 点为测量得到的点的坐标， $q$ 点为CAD模型上与 $p$ 点最接近的理论点坐标，那么可以得到以下的定位误差：

1) 叶片在 $X$ 轴方向上的定位误差：

$e_x=x_p-x_q$ (11)

式中 $x_p$ 为 $p$ 点在 $x$ 轴的坐标， $x_q$ 为 $q$ 点在 $x$ 轴的坐标。

同理可得：

叶片在 $Y$ 轴方向上的定位误差：

$e_y=y_p-y_q$ (12)

叶片在 $Z$ 轴方向上的定位误差：

$e_z=z_p-z_q$ (13)

2) 叶片的综合定位误差：

$e_{\text{total}}=\sqrt{e_x^2+e_y^2+e_z^2}$ (14)

4. 实验验证

为了验证该测量方案的可行性和有效性，需要建立涡轮叶片模型实际加工测量。可以利用三次贝赛尔曲线 [10] 来对涡轮叶片的外形轮廓建模，如图4，并使用UG的后处理生成RTCP加工程序，用于五轴机床加工，加工后的涡轮叶片如图5。通过对曲率较小、精度较高区域的20,000个离散点中随机采样160个点用于测量定位，测量点的分布应该尽可能地包含曲面信息，图中160个采样点基本能满足定位点分布的要求。将测量后的160个点导入理论配准模型中进行第一次配准，配准后的叶片综合误差在0.1452~0.0084，很显然第一次配准定位误差较大，其主要原因在于配准前实测点法向和理论点法向有较大偏差，因此测量误差较大，为了解决这一问题，可以利用第一次配准后的点进行迭代测量定位，即二次定位。

将第二次测量得到的点导入到配准理论模型中，可以发现第二次配准后的叶片综合误差在0.0004~0.028，大部分点的综合误差在0.015左右，与第一次定位综合误差相比，第二次定位综合误差有了很明显的优化，如图6、图7所示，图6是第二次定位误差的分布图，由图可知，定位误差较大的区域主要分布在叶片曲面的两侧，误差在0.02左右，但区域较小，其余大部分区域的误差控制在0.01左右，图7是所有采样点的定位误差，可以看到大部分点的定位误差在0.015及以下，只有少部分点误差达到0.02，因此综合来看定位精度更高了。

Figure 4. Cubic Bezier curve

图4. 三次贝赛尔曲线

Figure 5. Turbine blade

图5. 涡轮叶片实图

Figure 6. Distribution of sample points position error

图6. 采样点定位误差分布平面图

Figure 7. Error of sample points position

图7. 采样点定位误差

Table 1. Three order registration positioning error table

表1. 三次序配准定位误差表

在成功实现二次定位后，为了提高定位精度尝试再次迭代测量定位，即三次定位，根据测量结果可以发现，第三次配准后的叶片综合误差在0.0008~0.0282，大部分点的综合误差依然在0.014左右，这与第二次定位的综合误差相差不大，如表1，显然叶片综合定位误差在第二次定位后已达到收敛值，因此在机测量的定位最多定位两次即可提高定位精度。

NOTES

^*通讯作者。