1. 引言及主要结果
设
,分数次极大算子和分数次积分算子分别定义为:
.
给定可测函数b,相应的交换子可定义如下:
,
同时给出定义:
,
.
当
时,对于任意的局部可积函数f,有
。
设
为无界开集,
表示
上的特征函数,
,
,本文中
均为
上的非负可测函数。
给定可测函数
,变指标Lebesgue空间
定义为:
,
其上的Luxemburg-Nakano范数为:
.
定义1.1 [1] 设
为
上的一个局部可积函数,它表示权函数。加权变指标Lebesgue空间
定义为:
.
定义1.2 [2] 设
,
,
,变指标
权和变指标
权可分别定义为:
.
定义1.3 [3] 设
,
,则广义加权变指标Morrey空间
定义为:
.
当
时,C. Capone 在文献 [4] 中证明了分数次极大算子从
到
是有界的,文献 [5] 中证明了带粗糙核的Marcinkiewicz积分在变指标Morrey空间上的有界性,文献 [6] 给出了局部互补广义变指标Morrey空间上几类奇异积分算子的有界性估计,分数次极大算子在广义加权Morrey空间上的有界性估计可参见文献 [7]。最近作者在文献 [8] 中得到了Calderón-Zygmund奇异积分算子在中心Morrey-Orlicz空间上的有界性。受上面研究的启发,本文将研究分数次极大算子及其交换子在广义加权变指标Morrey空间上的有界性。
定义1.4 [9] 给定有界可测函数
,假设
满足局部log-Hölder连续条件:
, (1)
且满足log-Hölder在无穷远处的连续条件:存在
,使得
, (2)
将满足上述条件的所有
构成的集合记为
,其中
,
,
。
定义1.5 [10] 设
,且
,(3)
其中
.
则
空间可定义为:
.
本文的主要结果如下:
定理1 设
为无界开集,
,
,
,
,
,
则对任意
,有
, (4)
其中C与
和r均无关。
定理2 设
为无界开集,
,
,
,
,
,且函数
和
满足条件
, (5)
其中C与
和r均无关,则
从
到
上有界。
定理3设
为无界开集,
,
,
,
,
,
,则对任意的
有
, (6)
其中C与
和r均无关。
定理4设
为无界开集,
,
,
,
,
,
,且函数
和
满足条件
(7)
其中C与
和r均无关,则
从
到
上有界。
2. 预备知识
引理2.1 [11] 设
为无界开集,
,
,
,
,
,则
从
到
上有界。
引理2.2 [12] 设
为无界开集,
,
,
,
,
,
,则
从
到
上有界。
引理2.3 [12] 设
,
,且
,则
。
引理2.4 设
为无界开集,
,
,
,
,
,则下列条件等价:
(i)
;
(ii)
从
到
上有界。
证明 (i)
(ii) 设
且
,则由引理2.2可知
。
(ii)
(i) 设
从
到
上有界,则由广义Hölder不等式和变指标
权的性质可得
引理2.5 [12] 设
,
,且
,则
在
上有界。
引理2.6 [13] 设
,则存在常数
,使得
, (8)
其中C与
和t均无关。
引理2.7 [14] 设
为无界开集,
,且
为Lebesgue可测函数。若
,则范数
与范数
等价,其中对于任意的局部可积函数f,有
.
引理2.8 [15] 设
,若
,则
。
3. 主要结果的证明
定理1的证明 设
,分解
,其中
,
,
,则有
。 (9)
由引理2.1,有
。
另一方面,
所以
, (10)
则有
。 (11)
设对于任意
,若
,则
。事实上,若
,则
。另一方面,当
,有
。因此,
。则由广义Hölder不等式和变指数
权的定义可得,
因此,
。 (12)
由式(9),(11)和(12)即可得到定理1。
定理2的证明 设
,则由定理1和式(5)可得
定理3的证明 设
,
,由定理1的证明,记
,则有
。 (13)
由引理2.4,有
,
则由式(10)有
。(14)
设对任意
,若
,则
。事实上,若
,则
。另一方面,当
,有
。因此,
。
对于
,由广义Hölder不等式,定义1.2,引理2.7和变指数
权的定义可知,
另一方面,对于
,由引理2.6和广义Hölder不等式,有
则由引理2.5,有
由式(13)和式(14)即可得到定理3。
定理4的证明 设
,则由定理3和式(7)可得