有限非交换单群上的10度1-正则Cayley图

On 10-Valent 1-Regular Cayley Graphs on Finite Nonabelian Simple Groups

摘要: 称Cayley图Γ=Cay(G,S)是1-正则的，如果的全自同构群Aut(Γ)作用在其弧集上正则。称Γ是正规的，如果G◁Aut(Γ)。在本文中, 我们证明了有限非交换单群上的连通10度1-正则Cayley图一定是正规的。

Abstract: A Cayley graph Γ=Cay(G,S) is said to be 1-regular, if the full automorphism group Aut(Γ) of Γ acts regularly on the arc set of Γ. And Γ is called normal if G◁Aut(Γ). In this paper, we prove 10-valent 1-regular Cayley graphs on finite nonabelian simple groups must be normal.

1. 引言

假定本文中的图均是有限，连通，简单的无向图。

设 $\Gamma$ 是一个图，将图 $\Gamma$ 的顶点集，边集，弧集，全自同构群分别记作 $V\left(\Gamma \right)$， $E\left(\Gamma \right)$， $Arc\left(\Gamma \right)$， $Aut\left(\Gamma \right)$。用 $val\left(\Gamma \right)$ 表示 $\Gamma$ 的度数。

设 $X\le Aut\left(\Gamma \right)$，令s为一个正整数。我们称图 $\Gamma$ 为 $\left(X,s\right)$ -弧传递或者 $\left(X,s\right)$ -正则，若X传递或者正则地作用在图 $\Gamma$ 的s-弧的集合上，其中s-弧是 $s+1$ 个顶点的序列 $\left(v_0,v_1,\cdots ,v_s\right)$，使得 $\left(v_{i-1},v_i\right)\in E\left(\Gamma \right)$ 且 $v_{i-1}\ne v_{i+1}$，其中 $1\le i\le s-1$。特别地，若 $X=Aut\left(\Gamma \right)$，则称 $\left(X,s\right)$ -弧传递图或者 $\left(X,s\right)$ -正则图为s-弧传递图或s-正则图。另外，也称1-正则图为弧正则图。一般情况下，点传递图即为0-弧传递图，弧传递图或对称图即为1-弧传递图。

设G是有限群，将其单位元记为1。取G中集合S使得 $1\notin S$ 且 $S=S^{-1}:=\left\{s^{-1}|s\in S\right\}$，定义有限群G关于子集S的Cayley无向图 $\Gamma :=Cay\left(G,S\right)$，其中：

$V\left(\Gamma \right):=G,E\left(\Gamma \right):=\left\{\left\{g,sg\right\}|g\in G,s\in S\right\}.$

显然， $\Gamma$ 的度数为 $\left|S\right|$。 $\Gamma$ 连通 $\iff$ $G=\langle S\rangle$。我们可以将群G看作为 $Aut\left(\Gamma \right)$ 的正则子群。反之，图 $\Gamma$ 同构于群G的Cayley图 $\iff$ $Aut\left(\Gamma \right)$ 中包含一个正则子群，且该子群同构于G (参见文献 [1]，性质16.3)。称Cayley图 $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 是正规的，若 $G⊲Aut\left(\Gamma \right)$ ；否则称Cayley图 $\Gamma$ 是非正规的。

正规Cayley图的概念是由徐明曜教授在1998年第一次提出，可参见文献 [2]。对于决定Cayley图的全自同构群的问题，正规Cayley图的概念在其中占据着十分重要的地位。自然地，有限非交换单群上的Cayley图的正规性研究在学术界受到了广泛关注和重视，并且对于有限非交换单群上的小度数d度弧传递Cayley图的正规性分类研究，已经有较多突出性的结论，可参见文献 [3] - [9]。而在具有较高对称性的图中，1-正则图是一类特殊的对称图，它一直是一个有意义的研究对象。值得一提的是，小度数d度1-正则图的点稳定子群的阶就是d，那么其结构自然而然就被确定了。

本文主要目的是通过考虑有限非交换单群上的10度1-正则Cayley图的正规性，对该类图进行完全分类，得出了如下结论：

定理1.1. 设G为一个有限非交换单群， $\Gamma$ 为G上的10度1-正则Cayley图，则 $G⊲Aut\left(\Gamma \right)$。

2. 预备知识

设G是有限群， $\Omega$ 是至少包含两个点的集合，G作用在 $\Omega$ 上传递。下列引理是证明传递群G为本原置换群的一个充分必要条件，可参见文献 [10]。

引理2.1. $\Omega$ 上传递群G是本原的 $\iff$ 点稳定子 $G_i$ 是G的极大子群，其中 $i\in \Omega$。 ■

下面是关于传递置换群的一个经典结论，我们称之为Frattini论断，可参见文献 [10]。

引理2.2. 设G为 $\Omega$ 上的传递置换群，H为G的子群。则H作用在 $\Omega$ 上传递 $\iff$ $G=H{G}_v$，其中点 $v\in \Omega$， $G_v$ 是点v在G中的点稳定子。 ■

设X是一个有限群，H为X的一个无核子群。定义G关于H的陪集图 $\Gamma :=\mathrm{Cos}\left(X,H,g\right)$ 如下：

$V\left(\Gamma \right):=\left[X:H\right],$

$E\left(\Gamma \right):=\left\{\left(Hx,Hdx\right)|d\in HgH\right\}.$

其中 $g\in X-H$ 满足 $g^2\in H$。接下来的引理是关于陪集图的一些基本结论，其证明过程可由上述定义以及文献 [11] 得出。

引理2.3. 设 $\Gamma =\mathrm{Cos}\left(X,H,g\right)$，易知 $\Gamma$ 是X-弧传递图，并且有如下结论：

1) $val\left(\Gamma \right)=\left|H:H\cap H^g\right|$ ；

2) $\Gamma$ 为无向图 $\iff$ 存在一个2-元素 $g\in X\backslash H$ 使得 $g^2\in H$ ；

3) $\Gamma$ 为连通图 $\iff$ $\langle H,g\rangle =X$；

4) 若X中包含一个作用在 $V\left(\mathrm{Cos}\left(X,H,g\right)\right)$ 上正则的子群G，于是有 $\mathrm{Cos}\left(X,H,g\right)\cong Cay\left(G,S\right)$，其中 $S=G\cap HgH$。

另一方面，每一个X-弧传递图 $\Sigma$ 均同构于一个陪集图 $\mathrm{Cos}\left(X,X_v,g\right)$，其中 $g\in N_X\left(X_{vw}\right)$ 是一个满足 $g^2\in X_v$ 的2-元素， $v\in V\left(\Sigma \right)$， $w\in \Sigma \left(v\right)$。 ■

设 $\Gamma$ 是X-点传递图，其中 $X\le Aut\left(\Gamma \right)$。又设X中含有正规子群N，且N作用在 $V\left(\Gamma \right)$ 上是不传递的。记 $V_N$ 为N-轨道的集合(即 $V_N:=\left\{{\alpha }^N|\alpha \in V\left(\Gamma \right)\right\}$ )。由N诱导的 $\Gamma$ 的正规商图 ${\Gamma }_N$ 定义为： $V\left({\Gamma }_N\right)=V_N$ ； $E\left({\Gamma }_N\right)=\left\{\left\{B,C\right\}|存在u\in B,v\in C使得\left\{u,v\right\}\in E\left(\Gamma \right)\right\}$。由文献 [12] [13] 可得下列结论：

引理2.4. 设 $\Gamma$ 是G-点传递的局部本原图，其中 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$。若 $N⊲G$ 作用在 $V\left(\Gamma \right)$ 上至少有3个轨道，则以下结论成立：

1) N在 $V\left(\Gamma \right)$ 上是半正则的， $G/N\le Aut{\Gamma }_N$，此时 $\Gamma$ 为商图 ${\Gamma }_N$ 的正则覆盖；

2) $G_{\alpha }\cong {\left(G/N\right)}_{\gamma }$，其中 $\alpha \in V\left(\Gamma \right)$， $\gamma \in V\left({\Gamma }_N\right)$ ；

3) $\Gamma$ 是一个 $\left(G,s\right)$ -传递图 $\iff$ ${\Gamma }_N$ 是一个 $\left(G/N,s\right)$ -传递图，其中 $1\le s\le 5$ 或 $s=7$。 ■

对于级数不超过10的本原置换群，由文献 [14] 中本原置换群的分类结果，易得出下列结论：

引理2.5. 设T是 $\Omega$ 上的本原置换群，K为某点 $w\in \Omega$ 的点稳定子群。若T是非交换单群，K非可解并且 $\left|\Omega \right|10$，则 $\left(T,K,\left|\Omega \right|\right)=\left(A_{10},A_9,10\right)$。 ■

3. 定理1.1.的证明

设G为有限非交换单群， $\Gamma :=Cay\left(G,S\right)$ 为G上的10度1-正则Cayley图。记 $A:=Aut\left(\Gamma \right)$ 为图 $\Gamma$ 的全自同构群， $A_v$ 为点 $v\in V\left(\Gamma \right)$ 在A中的点稳定子。因为 $\Gamma$ 是10度1-正则Cayley图，于是该图的点稳定子 $A_v$ 的阶必为10，即 $\left|A_v\right|=10$。接下来，我们分别考虑A中存在非平凡的可解正规子群和不存在非平凡的可解正规子群，以此来完成定理1.1.的证明。

引理3.1. 若A中不存在非平凡的可解正规子群，则 $G⊲A$。

证明：假设结论不成立。

令N是A的极小正规子群，于是N非可解， $N=T^d\left(d\ge 1\right)$，T是非交换单群。由 $N\cap G⊲G$ 和群G的单性，可知 $N\cap G=1$ 或G。若 $N\cap G=1$。由引理2.2.可知 $A=G{A}_v$，又 $G\cap A_v=1$，可知 $\left|N\right||\left|A_v\right|=10$，意味着正规子群N可解，矛盾于引理的条件“A中不存在非平凡的可解正规子群”。于是 $N\cap G=G$，即 $G\le N$。若此时有 $G=N$， $G⊲A$，矛盾。因此 $G<N$。但若有 $d\ge 2$， $N=T_1\times T_2\times \cdots \times T_d$， $T_i\cong T$ 是非交换单群。则由 $T_1\cap G⊲G$ 和群G的单性，可知 $T_1\cap G=1$ 或G。若 $T_1\cap G=1$，可推出 $\left|T_1\right||\left|N_v\right||\left|A_v\right|=10$， $T_1$ 可解，这与引理中的“A中不存在非平凡的可解正规子群”矛盾了。又若 $T_1\cap G=G$， $G\le T_1$，意味着 $T_2\cap G=1$，同样可以推出矛盾。因而 $d=1$， $N=T$ 是非交换单群。设K为T的极大真子群，满足 $K\ge G$。又设 $\Omega =\left[T:K\right]$，记 $n:=\left|\Omega \right|$。由引理2.2.可知 $T=G{T}_v$， $T_v\ne 1$ 且 $T_v=A_v\cap T\le A_v$，则 $\left|T_v\right||10$。又因为 $G\cap T_v=1$，则 $n=\left|\Omega \right|=\left|T:K\right||\left|T:G\right||10$。现考虑T依右乘作用在 $\Omega$ 上。由于T为非交换单群，可知该作用是忠实的且传递的。一方面，易知K为 $\Omega$ 中某点的点稳定子，又K为T的极大子群，则由引理2.1.可知T为作用在 $\Omega$ 上的本原置换群。另一方面，T为非交换单群，且 $K\ge G$，K必定非可解。那么T，K， $\left|\Omega \right|$ 满足引理2.5.中的条件，即 $\left(T,K,\left|\Omega \right|\right)=\left(A_{10},A_9,10\right)$。注意到交错群 $A_{n-1}$ 中不存在指数小于 $n-1$ 的真子群，也就是说， $\left|K:G\right|\ge n-1$，则 $n\left(n-1\right)\le \left|T:K\right|\cdot \left|K:G\right|=\left|T:G\right|\le 10$，从而有 $K=G$。由引理2.3.和MAGMA (见文献 [15] )可知此时并不存在图。于是假设不成立，此时有 $G⊲A$。 ■

接下来，考虑全自同构群A中存在非平凡的可解正规子群。

引理3.2. 若A中存在非平凡的可解正规子群，则 $G⊲A$。

假设结论不成立。令M是A中最大的可解正规子群，推出 $McharA$，并且 $M\ne 1$。由 $M\cap G⊲G$ 和G的非交换单性可知 $M\cap G=1$， $\left|M\right||10$。注意到 $\left|V\left(\Gamma \right)\right|=\left|G\right|$ 中至少包含3种素因子，则由轨道的相关定义和公式可知M作用在 $V\left(\Gamma \right)$ 上的轨道个数多于2个。再由引理2.4. (1)，此时M在 $V\left(\Gamma \right)$ 上是半正则的。

令自然同态 $\psi :A\to A/M$，设 $\bar{A}=A/M$， $\bar{\Gamma }={\Gamma }_M$。由引理2.4. (3)可知，商图 $\bar{\Gamma }$ 是 $\bar{A}$ -弧传递的。又设 $\bar{N}$ 是 $\bar{A}$ 的一个极小正规子群，N是 $\bar{N}$ 在 $\psi :A\to A/M$ 下的原像。由M的定义可知 $\bar{N}$ 必定非可解， $\bar{N}=T_1\times T_2\times \cdots \times T_d=T^d\left(d\ge 1\right)$，T是非交换单群。

设 $\bar{G}=GM/M$，由同构定理可知 $\bar{G}\cong G$， $\bar{G}$ 也是非交换单群。由于 $\bar{N}\cap \bar{G}⊲\bar{G}$，可知 $\bar{N}\cap \bar{G}=1$ 或 $\bar{G}$。若 $\bar{N}\cap \bar{G}=1$，则 $\left|\bar{N}\right||10$， $\bar{N}$ 可解，矛盾。因此 $\bar{N}\cap \bar{G}=\bar{G}$， $\bar{G}\le \bar{N}$。由于 $\bar{G}$ 是非交换单群， $\left|\bar{G}\right|$ 必定整除 $\bar{N}$ 中某合成因子的阶，即知 $\left|\bar{G}\right||\left|T_1\right|$。但若有 $d\ge 2$，则 $\left|T_2\right||\left|\bar{N}:\bar{G}\right||\left|\overline{A_{\stackrel{¯}{v}}}\right|$，而 $\overline{A_{\stackrel{¯}{v}}}$ 是 $\left\{2,5\right\}$ -群(其中 $\bar{v}\in V\bar{\Gamma }$ )，可知此时 $T_2$ 可解，矛盾。因而 $d=1$， $\bar{N}$ 是非交换单群。另一方面，由于 $\bar{N}$ 的任意性，以上推理叙述也说明了 $\bar{N}$ 是 $\bar{A}$ 唯一的非可解的极小正规子群，进而有 $\bar{N}char\bar{A}$， $NcharA$。

如果 $\bar{G}=\bar{N}$。显然有 $N=M:G$。若G中心化M，则 $N=M\times G$，所以 $GcharNcharA$，矛盾于G在A不正规。因此G不中心化M。推出 $Aut\left(M\right)$ 是非可解的。又 $\left|M\right||10$， $\left|M\right|=1,2,5$ 或10，这意味着 $Aut\left(M\right)$ 可解，矛盾。因此， $\bar{G}<\bar{N}$。从而 $\left|\bar{N}:\bar{G}\right||5$。设 $\bar{K}$ 是 $\bar{N}$ 中包含 $\bar{G}$ 的极大真子群。令 $\bar{\Omega }=\left[\bar{N}:\bar{K}\right]$。由引理2.5.可知， $\left(\bar{N},\bar{K},\left|\bar{\Omega }\right|\right)=\left(A_{10},A_9,10\right)$。由于 $\bar{G}\le \bar{K}$， $\left|\bar{\Omega }\right|=\left|\bar{N}:\bar{K}\right|\le \left|\bar{N}:\bar{G}\right||5$，则 $\left(\bar{N},\bar{K},\left|\bar{\Omega }\right|\right)\ne \left(A_{10},A_9,10\right)$，矛盾。 ■

综合引理3.1.和引理3.2.的证明可知，无论A中是否存在非平凡的可解正规子群，都有 $G⊲A$，即定理1.1.得证。

基金项目

国家自然科学基金项目(12061089，11701503)；云南省科技厅面上项目(2018FB003)。

NOTES

^*通讯作者。