1. 引言
我们讨论如下完全三阶边值问题
(1)
其中
连续,
为非负函数,在非线性项
关于
满足Nagumo条件,运用特殊的截断技巧、Leray-Schauder不动点定理以及上下解方法,获得了该方程解存在性 [1]。
2. 预备知识
设
为
上的全体连续函数按范数
构成的Banach空间,对
,
表示
上
n阶连续可微函数按范数
构成的函数空间 [2]。
定义1.1 [3] 设
,
若
满足
(2)
则称
为(1)的下解。若(1)的不等式符号均取逆,则称
为方程(1)的上解。
对
,方程(1)相应线性边值问题
(3)
存在解
,则通过对式子积分很容易得到
将
带入得
再次积分可得
再次进行积分可以得到
将边界条件
以及
带入得到
则有
进而我们可以得到
即
其中有
(4)
(5)
则算子
为线性有界算子。
由嵌入的
的紧性,则
是线性全连续算子。
为了论述方便,我们引入以下条件:
(H1) 存在
上正值函数
满足
,其中
使得
关于
满足
(H2) 当
时,我们对于任意
,有
;
(H3) 对
有
3. 主要引理
引理3.1 [1] 对
,(3)的解满足
满足
证明 对
,有
因此有
引理3.2 [4] 设
连续,若存在常数
满足
以及
,使得满足以下条件
(1)
(2)
则式子(1)存在唯一解。
证明 证明过程参考文献 [1] 中引理1.2的证明。
4. 主要结论及证明
定理4.1 [5] 设
上连续,方程(1)存在下解
以及上解
,满足
,若
满足条件(H1)和(H2),则方程(1)至少存在一个解
满足
证明 有条件(H1),
使得
取常数
,令
作
的截断函数
有
则
连续有界,因此得到以下方程:
(6)
有解
,下证
为方程(1)的解。
先证
成立,我们不妨采用反证法,假设存在
,
使得
成立,考虑
,让
。
(i) 若
,则
,即
(7)
我们根据截断函数的定义以及(H2)和(7)有
则我们可以得到
,与式子(7)矛盾!故
。
(ii) 若
,则
(8)
但是我们可以得知
,即
与式子(8)是矛盾的,所以有
。
(iii) 若
,则
(9)
但是我们可以得知
,即
与式子(9)是矛盾的,所以有
。
综上所述,对
有
,同时满足
即对
有
,同理可证
,
。
接下来我们继续证明
,由
的定义以及中值定理,则存在
,使得
要证
,反设
且
,使得下列情形之一成立:
1)
且
;
2)
且
;
3)
且
;
4)
且
下面我们证明(1),其他情况类似可证,当(1)成立时,根据上述证明以及条件(H1),有
因为
,给上述不等式左右两侧同乘
,再积分可得
(10)
对式子(10)左端进行变量替换
,有
即
很显然,矛盾!则有
综上所述,
,即
为式子(1)的解。
致谢
感谢薛老师的耐心的指导!
基金项目
国家自然科学基金资助项目(11471146)。