1. 引言及主要结果
亚纯函数在涉及分担值的唯一性问题研究,前人已经有了许多成果,其中最具有突出贡献之一的是R. Nevanlinna所创立的值分布论,它在应用于亚纯函数涉及分担值的唯一性研究中有着很重要的意义。
本文所使用通常的Nevanlinna值分布理论的符号和记号(见文献 [1] [2] ),除此之外本文所需的另外一些特殊符号和记号(见文献 [3] )。
本文主要研究涉及一个IM分担值及在亏值约束条件下整函数之间的关系。
1976年,M. Ozuwa证明了如下定理:
定理A [4] 设两个非常数整函数
与
以1为CM分担值,若
,且0是
的缺值,则
或
。
1987年,仪洪勋证明了:
定理B [5] 设两个非常数亚纯函数
与
以1为CM分担值,且满足
,
,则
或
。
本文将以上定理中CM分担值的条件减弱到IM分担值,再与亏值相结合进行讨论,得到如下定理:
定理1 设
与
为复平面上的两个非常数整函数,若
与
以1为IM分担值,且
, (1.1)
, (1.2)
则
或
。
2. 几个引理
为了证明上述结论,我们需借助一些引理。
引理1 [6] [7] 设
为超越亚纯函数,则
.
引理2 [2] 设非常数整函数
与
以1为IM分担值,则
,
.
引理3 [5] 设
与
为非常数亚纯函数,若它们满足以1为CM分担值,
,且
,
,
则
或
。
引理4 [2] 设
与
为两个非常数亚纯函数,若
为
与
的公共单重极点,则
。
3. 定理1的证明
令
.
我们断言
。事实上,若
,如果
为
和
的单重零点,由引理4可得,
,从而有
. (1.3)
又由于
的极点只可能产生在
与
的零点和
与
没有相同级的重零点处,故
. (1.4)
根据条件知,
与
以1为IM分担值,容易得到
. (1.5)
结合上式(1.3)、(1.4)和(1.5),我们得到
. (1.6)
而且,我们有
.(1.7)
由(1.6)和(1.7)得
.(1.8)
又根据
与
为非常数整函数,从而由Nevanlinna的第二基本定理得
. (1.9)
结合上式(1.8),(1.9)和引理2得
.(1.10)
由(1.1) (1.2)知
,当
时,有
,
. (1.11)
将(1.11)代入(1.10)得
.
矛盾,故
。
又知
与
以1为IM分担值,从而可知
与
以1为CM分担值。
于是根据引理3,我们得到
或
。定理证毕。