1. 引言及主要结果
设S是
的非空子集。如果复平面上的非常数亚纯函数
与
满足条件:对
,若
为方程
的p重根,则相应
使
亦是方程
的p重根,反之亦然。则称S是
与
的CM型分担值集。
Frank G.和Rainders M.证明了如下结果:
定理A [1] 设n为不小于11的整数,c是异于0和1的有限复数,
,
则S是亚纯函数的CM型唯一性象集。
同年,仪洪勋在文 [2] 中也得到了一个含有11个元素的亚纯函数的CM型唯一性象集,并在该文中提出如下问题:
问题2 [2] 是否存在小于11个元素的亚纯函数的CM型唯一性象集?
在考虑亚纯函数极点“极少”的情况下,方明亮和华歆厚在文 [3] 中证明了下述结果:
定理B [3] 设
和
为非常数亚纯函数,且满足
,则存在含有7个元素的集合S,只要
和
CM分担S,就一定有
。
2001年,王新利改进了定理B并得到如下结论:
定理C [4] 设
和
为非常数亚纯函数,且
。则含有7个元素的集
合S为这类亚纯函数的CM型唯一性象集。
2003年徐炎在文 [5] 中推广并改进了定理B和定理C得到:
定理D [5] 设
和
为非常数亚纯函数,且满足
,则存在含有7个元素
的集合S为这类函数的CM型唯一性象集。
本文对上述问题做了进一步研究,证明了:
定理1 设正数
,
和
为开平面C上的非常数亚纯函数,且
,如果
和
以
为CM型分担值集,则
。
推论1 设n为不小于5的整数,若非常数亚纯函数
和
以
为CM分担值集,且
,则
。
定理2 设正数
,
和
为开平面C上的非常数亚纯函数,且
,如果
和
以
为CM型分担值,则
。
推论2 设n为不小于4的整数,若非常数亚纯函数
和
以
为CM分担值集,且
,则
。
2. 几个辅助引理
引理1 [6] 设
为开平面C上的非常数亚纯函数,
均为
的不恒等于∞的亚纯函数,
,则
.
引理2 [6] 设
和
为两个非常数亚纯函数,且它们以1为其CM分担值。若
,
其中
,
,I为
的一个具有无穷线性测度的子集合,则
或
。
引理3 [6] 设
为C上的非常数亚纯函数,p与q都为非负整数,
,其中系数
和
均为
的不恒等于
的亚纯小函数,且
,
。
和
关于w是互质的,则
。
3. 主要结果的证明
定理2的证明:令
,
. (3.1)
则
与
为开平面C上以1为CM分担值的非常数亚纯函数。于是由引理1、定理条件及(3.1)式可得
(3.2)
(3.3)
,
(3.4)
,
(3.5)
又由
得
(3.6)
得
(3.7)
由(3.2)至(3.7)诸式和已知条件得
(3.8)
其中
。由于
,所以
。于是由(3.8)式和引理2得
或
。
若
,则有
. (3.9)
设
为
的零点,则由(3.9)式知
至少为
的4重零点,从而有
, (3.10)
同理可得
, (3.11)
再由Nevanlinna第二基本定理、(3.10)和(3.11)及定理条件得
这是一个矛盾。
若
,则有
, (3.12)
令
,则(3.12)式可变形为
. (3.13)
若
,则
,这与
是非常数亚纯函数矛盾。从而
为常数函数时,必有
,即
。
若
不恒为常数函数,则由(3.13)式得
(3.14)
同理可得
(3.15)
其中(3.14)、(3.15)式中
。
由(3.14)、(3.15)式和引理3可得
, (3.16)
, (3.17)
,(3.18)
, (3.19)
由Nevanlinna第二基本定理及(3.16)至(3.19)诸式得
(3.20)
(3.21)
于是由(3.20)和(3.21)诸式及定理条件得
这是一个矛盾。
综上所述,可得
。定理2.2证毕。
定理2.1的证明与定理2.2的证明类似。
推论1的证明:
由于n为不小于5的整数,非常数亚纯函数
和
以
为CM分担值集,且
。则非常数亚纯函数
与
以1为CM分担值,同定理2.2的证明类似,可推出
。
推论2同推论类似。