1. 引言
本文将借助于赋范线性空间空间下广义正交的相关理论,探究算子空间下的广义正交的若干性质。特别是矩阵作为算子空间中的元素,取
,
都为
矩阵,给出了
和
满足Birkhoff正交、等腰正交 [1] 与Roberts正交的等价条件。
2. 算子空间中n×n矩阵广义正交的等价条件
定义1 [2] 设X是一个赋范线性空间,
,如果对于任意
都有
则称x Birkhoff正交于y。
定义2 [3] 设X是一个赋范线性空间,
,如果
则称x等腰正交于y。
定义3 [4] 设X是一个赋范线性空间,
,如果对于任意
都有
则称x Roberts正交于y。
定义4 [3] 295设X是一个赋范线性空间,
,如果
则称x勾股正交于y。
定义5 [5] 任意给出矩阵
,定义矩阵A的一个实函数,记作
,若此函数满足:
1) 正定性:
,当
时等号成立。
2) 齐次性:任意给出
,都有
。
3) 三角不等式:任意给出
,都有
。
4) 任意给出
,都有
。
定理1 设A和B是两个lp空间,
,
当且仅当存在一个单位向量
有
且
。
证明:首先证明充分性。假设x是空间A上的一个单位向量,对于任意的
有
所以
,充分性得证。
下面证明必要性。让
,即为
。对于空间A上的一个单位向量x有
。
因为
,又因为
。所以有
。
如果
是一个半正定矩阵并且
,使得
成立。则存在一个单位向量x使得
和
。
集合
是集合
在二次形式
下的像,我们称之
的数值范围对应于最大特征值为
的
的特征空间的限制,根据Hausdorff-toeplitz [6] 定理,这是一个凸集,因此集合
是一个凸集。我们得到存在一个单位向量x有
和
意味着
所以必要性得证。
定理2 设
和
是两个有限维Hilbert空间,让
。
当且仅当存在一个单位向量
有
,
且
。
证明:首先我们证明充分性,假设x是空间
上的一个单位向量,有
所以
即为
因此
充分性得证。
反过来我们证必要性,让
即为
所以有
整理得
因此
。
对于空间
上的一个单位向量是x有
因此有
又因为
所以有
。同理可得
。因此必要性得证。
定理3 设
和
是两个有限维Hilbert空间,让
。
当且仅当存在一个单位向量
有
,
且
。
证明:首先我们证明充分性,假设x是空间
上的一个单位向量,对于任意的
有
所以
即为
因此
充分性得证。
反过来我们证必要性,让
即为
所以有
整理得
因此
。
对于空间
上的一个单位向量是x有
因此有
又因为
所以有
。同理可得
。因此必要性得证。
定理4 设
和
是两个有限维Hilbert空间,让
。
勾股正交
当且仅当存在一个单位向量
有
,
且
。
证明:首先我们证明充分性,假设x是空间
上的一个单位向量,有
因此有
,所以
勾股正交
。充分性得证。
下面我们证必要性。让
勾股正交
,即为
。
对于空间
上的一个单位向量是x有
因此有
又因为
所以有
。同理可得
。由
可得
(1)
对于空间
上的一个单位向量是x有
(2)
综合(1)和(2)可以得到
所以必要性得证。
3. 结论
本文讨论了在算子空间中当算子是
方阵时,算子之间的广义正交性问题。分别给出了算子之间Birkhoff正交、等腰正交与Roberts正交的等价条件。