1. 引言
Jordan代数是由物理学家P. Jordan在研究量子力学时所提出来的 [1],后来逐渐成为了一个独立的代数体系 [2] [3]。Jordan代数与李代数有密切的关系。在李代数中一个比较基本的问题是李代数上的经典Yang-Baxter方程,它对于构造李双代数有非常重要的作用。对于Jordan代数及pre-Jordan代数,许多学者也研究了它们的双代数结构以及与经典Yang-Baxter方程类似的方程 [4] [5]。作为Jordan代数的推广,BiHom-Jordan代数也是现在研究的热点,许多学者对它的结构作了研究 [6] [7],本文将进一步研究BiHom-Jordan代数的表示。
2. BiHom-Jordan代数的表示
本文所说的线性空间都指域F上的线性空间。
定义1.1 [6] 设J是线性空间,
,J中定义双线性代数运算
,若满足下面的条件
(1.1)
(1.2)
(1.3)
其中
,则称
是BiHom-Jordan代数。
注记1.1 等式(1.3)有以下等价形式
(1.4)
其中
。
证明:设
是BiHom-Jordan代数,
,由(1.3)得
故有(1.4)成立。反之,在(1.4)中,令
即可得(1.3)。
定义1.2 设
是BiHom-Jordan代数,V是一个线性空间,
且均可逆,
为线性映射,若满足
(1.5)
(1.6)
(1.7)
其中
,则称
为
的表示。
例1.3 设
是BiHom-Jordan代数且
均可逆,定义
,其中
,
,则
为
的表示,称为伴随表示。
证明:由
是BiHom-Jordan代数可知
。由(1.4)和
的定义知
同理可得,
因此,
为
的表示。
命题1.4 设
是BiHom-Jordan代数,V是一个线性空间,
且
均可逆,
为线性映射,在
上定义
(1.8)
(1.9)
其中
,
,则
为BiHom-Jordan代数的充分必要条件是 为
的表示。
证明:
,则
为BiHom-Jordan代数当且仅当在
上(1.1)~(1.3)成立。
由于在J上(1.2)成立,所以有
(1.10)
因此在
上(1.2)成立。
又由于
(1.11)
(1.12)
因此,在
上(1.1)成立当且仅当(1.5)成立,(1.3)成立当且仅当(1.6)和(1.7)成立。因此,命题成立。
设
,
,定义线性映射
,
,其中
命题1.5 设
是BiHom-Jordan代数,
为
的表示,则
为
的表示当且仅当
满足下列条件
(1.13)
(1.14)
其中
。
证明:
为
的表示当且仅当对于
有(1.5)~(1.7)成立。
,
,
,因为
由此可知(1.6)成立当且仅当(1.13)成立,(1.7)成立当且仅当(1.14)成立。因此,命题成立。
推论1.6 设
是BiHom-Jordan代数且
均可逆,则
是
的表示当且仅当下面的等式成立
(1.15)
(1.16)
其中
。
证明:由命题1.5,取
,利用
的定义可直接通过计算得出。
3. BiHom-pre-Jordan代数
定义2.1 设J是线性空间,J上有双线性的代数运算
,
且
均可逆,若满足下面的条件
(2.1)
(2.2)
(2.3)
其中
,则称
是BiHom-pre-Jordan代数。
定理2.2 设
是BiHom-pre-Jordan代数,在J上定义
(2.4)
则
是BiHom-Jordan代数。
证明:由(2.4)可知
经直接计算,可得
所以,
是BiHom-Jordan代数。
4. BiHom-Jordan代数的O-算子
定义3.1 设
是BiHom-Jordan代数,
为
的表示,如果线性映射
满足下面的条件
(3.1)
(3.2)
则称T为
上与表示
相关的一个O-算子。
定义3.2 设
是BiHom-Jordan代数且
均可逆,R是J上的线性变换,若满足下面的条件
(3.3)
(3.4)
则称R为
上的Rota-Baxter算子。
定理3.3 设
是BiHom-Jordan代数,
是它的表示,如果T是
上的与表示
相关的O-算子,在V上定义
(3.5)
则
是BiHom-pre-Jordan代数。
证明:由为
的表示知
并且有(1.6)、(1.7)成立。对任意的
,令
,,
,
,经直接计算,可得
所以,
是一个BiHom-pre-Jordan代数。
5. 结论
本文给出了BiHom-Jordan代数表示和O-算子的定义,同时研究了BiHom-Jordan代数与BiHom-pre-Jordan代数之间的关系,但是没有给出BiHom-pre-Jordan代数的表示,未来还需要进一步研究。