1. 引言
在小波理论之后又新发展起一种理论,即框架理论。小波框架是由多种数学学科结合得来的,1952年,框架理论是首先由Duffin以及Schaeffer给出。我们要说的框架就是一种具有Riesz基性质的基,但是却不一定是基,也可以认为它是这一种广义的基。
最小能量小波框架 [1] [2] [3] [4] [5] 的优点在于可以避免信号在分解以及重构时,对于对偶框架的寻找,也简化了计算过程的繁杂性,并且还能最大可能地去保证数值的稳定性。在框架多分辨分析(FMRA)的基础上,2000年,由C.K. Chui以及W. He首先给出了最小能量小波框架。
2. a尺度二元最小能量多小波框架的概念
先给出文章要提到的记号:
,
,
里函数的内积和Fourier变
换定义如下
其中
。
定义向量值函数
,平移算子为
,伸缩算子为
。
定义1 [6] 假设有正常数
,使函数族
能够满足
那么称函数族
是
的一个紧框架 [7] [8],A,B是这个框架的上,下框架界。当
时,有下列重构公式
(1)
那么称
是
的Parseval框架。
记
是
在
上的闭包。
定义2 [9] 假如每一个
是
的闭子空间,而且有
使得
满足
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
使
为
的紧框架,那么
是FMRA,其中
是FMRA的二
元尺度函数。
定义3 若
由
生成。设函数族
符合(3.1.1),且
,那么称
生成对应
的小波紧框架。
定义4 [10] 若
,而且
在原点处连续,对于
,如果一个函数族
符合
(2)
则称
是与
相对应的二元最小能量多小波紧框架。其中
式(2)等价于
(3)
若函数
满足
(4)
称上式为r重多尺度函数。此处
为
重矩阵序列。
对式(4)两边施行Fourier变换有
(5)
其中
(6)
为
的符号函数。对于
根据定义2,就有
(7)
其中
是
重矩阵序列,等式两边做Fourier变换有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x70_hanspub.png)
为
的符号函数,表示为
(8)
接下来利用
和
来构造一个
阶的分块矩阵
(9)
的共轭转置我们用
来表示。
3. a尺度二元最小能量多小波框架的特征
定理1若
和
里都为Laurent多项式,并且
是
的尺度函数,则等价于
(1)
为与
相应的二元最小能量多小波框架生成元;
(2)
满足
(10)
(3)
(11)
符合
且
是Kronecker符号为
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x91_hanspub.png)
证明:由式(4)和(7)以及
,可以得到式(3)的等价式子
(12)
并且有,式(10)等价于
(13)
即有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x95_hanspub.png)
因为
,有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x97_hanspub.png)
那么上式也可以写为
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x98_hanspub.png)
利用Cramer法则和Vandermonde行列式的性质可将上变形为
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x99_hanspub.png)
对上面式子中所有等式两边乘
,有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x101_hanspub.png)
即为
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x102_hanspub.png)
对上式做Fourier逆变换就有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x103_hanspub.png)
根据式(4)和(7),上式就可变形为
(14)
由(11)式证明得到式(14),也就有了(12)式,现在我们来证明由(12)式得到(11)式。
是紧支撑函数,若固定m,则
仅有有限个不为零,那么泛函
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x107_hanspub.png)
仅有有限个不为零。
接下来对(12)式做傅里叶变换有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x108_hanspub.png)
由于
不是平凡函数,所以
,既有
,故
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x112_hanspub.png)
设
,则有
,最后做傅里叶变换就可得
,综上,定理得证。
定理2 若尺度函数
紧支撑,并有
,设
是对应的二元最小能量多小波框架生成元,则
(15)
证明:由于
那么我们就可以得到
。下面只看式(15)中当
的情况,i为其他数值时证明过程类似。
记
为
的第一行元素,将
中剩下的记为矩阵
,那么根据式(10)就有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x127_hanspub.png)
由
是Hermitian矩阵,那么就有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x129_hanspub.png)
即有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x130_hanspub.png)
其实
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x131_hanspub.png)
其中
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x132_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x133_hanspub.png)
而
所以
。
接下来将
写为多相位形式
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x137_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x138_hanspub.png)
阶的符号矩阵
中的每项都为Laurent多项式,记为
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x141_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x142_hanspub.png)
那么就有
,也即
(16)
由式(10)有
(17)
接下来讨论该框架存在的充分条件。
定理3 若多尺度函数为
,且
,那么a
尺度Laurent多项式符号函数符合
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x148_hanspub.png)
则存在二元多尺度函数
对应的二元最小能量多小波框架生成元
。
证明:由
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x151_hanspub.png)
其中
是
的多相位矩阵。而由(16) (17)可以得到
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x154_hanspub.png)
即有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x155_hanspub.png)
若
且有
,则
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x158_hanspub.png)
根据Riesz定理可知,对于Laurent多项式
有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x160_hanspub.png)
接下来把单位向量
按照文
献 [11] 里定理3的方式变换之后就可以得到 [11]
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x162_hanspub.png)
则
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x163_hanspub.png)
而且符合
。
4. 二元最小能量多小波框架的构造算法
对于
,下面记
,
为
到子空间
上的正交投影算子
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x170_hanspub.png)
则根据以上算子式(3)可变形为
(18)
其中
表示为误差项,还可以表示为
(19)
那么由以上两式,做内积就可以得到
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x174_hanspub.png)
则
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x175_hanspub.png)
在式(19)下,误差项
的系数能量是最小的,也正是这个原因我们把符合(3)的框架叫做最小能量小波框架。
1) 分解算法 若已知
,那么我们由
的加细方程我们可以得到
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x179_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x180_hanspub.png)
对以上两式两边与
作内积,就有以下分解公式
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x182_hanspub.png)
2) 重构算法
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x183_hanspub.png)
对上式两端与
作内积,就有
![](//html.hanspub.org/file/4-1251016x185_hanspub.png)