1. 引言
郑哲敏 [1] 最早研究了单个弹性悬臂梁与一侧液体的相互作用问题;周叮 [2] 研究了单个弹性悬臂梁与两液体的相互作用问题;李遇春等 [3] 研究了双悬臂梁-流体耦联结构的自由振动问题,给出了双悬臂梁–液体耦联结构湿模态频率及振型函数的理论解答,研究了梁与液体、梁与梁之间湿模态的相互作用对梁模态的影响。
多悬臂梁与液体耦联系统中,梁与液体会发生相互作用,当梁间的间距较小时,梁与梁也会发生相互作用,液体充当了梁与梁相互作用的(弱)耦合体,因此梁与梁之间的耦联振动必然存在拍振现象,而文献 [3] 并未对相应的拍振进行研究。拍振广泛存在于物理、音乐和工程结构中。拍振 [4] 是由多个谐振动的叠加产生,且谐振动频率存在差值。李京颍 [5] 采用数值分析方法研究了振动的拍现象。
本文基于ANSYS有限元分析软件,模拟多悬臂梁–流体耦联系统的自由振动,并与理论结果进行比较,研究多悬臂梁–流体耦合结构中模态耦合和由此产生的拍振现象,为类似液固耦合振动研究提供参考。
2. 多悬臂梁–流体的模态耦合
2.1. 双悬悬臂梁–流体的模态耦合
根据文献 [3] ,双悬臂梁–流体结构可简化为如图1所示的系统,为简化计算,取两悬臂梁尺寸相同,仅改变右悬臂梁弹性模量。悬臂梁尺寸为:
、
,梁1的弹性模量为
,梁2的弹性模量为E2,梁材料密度与液体密度分别为
,
。以2a/h为横坐标,
为纵坐标,其中
表示第i阶的第j模态频率值,
、
表示1、2号梁在一侧无限水体时的第i阶模态频率值,其值可根据文献 [1] 计算得到,结果列于表1。对于图1的系统当
取不同值时,本文采用ANSYS软件计算得到图2和图3,关于ANSYS的模拟方法介绍可参看文献 [6] [7] 。
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Table 1. The first two frequencies of cantilever beam with one side infinite water
表1. 不同弹性模量悬臂梁一侧无限水体时前两阶自振频率
![](//html.hanspub.org/file/1-2650169x20_hanspub.png)
Figure 1. Double cantilever beam-fluid system
图1. 双悬臂梁–流体系统
![](//html.hanspub.org/file/1-2650169x21_hanspub.png)
Figure 2. Frequency variation curve of two modes of the first order
图2. 一阶两模态频率变化曲线
![](//html.hanspub.org/file/1-2650169x22_hanspub.png)
Figure 3. Frequency variation curve of two modes of the second order
图3. 二阶两模态频率变化曲线
ANSYS模拟得到的曲线与文献 [3] 中理论解法得到的结果一致,结果表明:两个梁组成的一个系统,其系统某一阶自然频率有两个,当梁间距较小时,由于液体的耦合作用,系统的两个频率发生了很大变化,说明两个梁通过液体耦合发生了相互作用;随着梁间距增大,2a/h大于3时,系统的两个频率趋于直线,与单个梁与无穷水体作用的自然频率相同,说明梁间的耦合作用趋于零。
计算结果表明ANSYS有限元计算软件可很好地模拟多悬臂梁–流体耦联系统的振动模态。
2.2. 三悬臂梁–流体结构模态影响
考虑如图4所示的三梁–流体系统,一般情况下,两区域液体的宽度和深度都会影响耦联系统的频率和振型函数。为简化计算分析,令两区域液体宽度相同,即
,液体深度与悬臂梁长度相等,即
。取三悬臂梁性质相同,为:
、
、弹性模量
。利用ANSYS软件计算该系统的一阶模态所对应的三个振型见图5所示,其对应的模态频率分别为
、
和
。改变水体长度,其它参数不变,以水体长度
为横坐标,同一阶三个湿模态频率为纵坐标,得到图6。
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Figure 4. Triple cantilever beam-fluid system
图4. 三悬臂梁–流体系统
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Figure 5. The three vibration shapes of the first mode shape for the system of triple cantilever beam and fluid
图5. 三悬臂梁–流体系统的一阶模态对应的三个振型图
![](//html.hanspub.org/file/1-2650169x34_hanspub.png)
Figure 6. Variations of the three wet frequencies with liquid width L
图6. 三个湿频率随水宽L的变化曲线
由图5可知:耦联系统的第一阶模态中的悬臂梁均表现为一阶振型,其中的第一个振型(图5(a)所示)主要表现为中悬臂梁的振动,两边悬梁的振幅很小,与中悬梁的相位相反;第二个振型(图5(b)所示)二个边梁反相位同振幅振动,由于对称性,中梁保持为静止状态;第三个振型(图5(c)所示)显示了三个梁的同相位振动,由于边梁一边有水体的耦合作用,而中梁两边均有水体的耦合作用,所以边梁的振幅相对较大。
由图6可知:随着液体长度L增大,二个边梁等同于一侧受无限水体作用的悬臂梁,频率
和
趋于相等,中梁等同于两侧受无限水体作用的悬臂梁,其频率
与文献 [2] 讨论的频率一致。
3. 耦合自由振动的拍现象
多悬臂梁–流体结构是一个闭合的耦合结构,体系中的悬臂梁振动时通过对液体施加作用引起能量的迁移。当不考虑悬臂梁及液体阻尼时,结构总能量不变。在一般的情况下,体系中梁的振动是各阶模态的叠加,各梁对液体的作用不相同,梁与梁之间有能量的迁移,导致各梁的位移存在拍振现象。以下以一阶自由振动为例,研究多悬臂梁–流体结构中的拍振现象。
3.1. 双梁–液体系统拍振现象
根据文献 [1] 对双悬臂梁–流体耦联结构自由振动的理论求解结果,一般情况下左、右梁位移时程函数可表示为各阶模态的叠加:
(1)
其中
、
为常数,由初始条件决定;
、
分别为为左、右梁的第i阶振型函数,
为耦联系统第i阶频率。代入初始条件,利用振型正交性,可求解
、
,从而获得两个梁的位移时程函数。
为简化计算,将初始条件设为左梁发生一阶振型函数
的初始位移,那么结构将以一阶振动为主。在一定的计算精度内,两梁的位移函数可略去高阶模态项,简化为:
(2)
初始条件为:
;
(3)
设左、右悬臂梁性质相同,此情况在实际工程中很常见,那么振型函数有:
,
,代入解得:
(4)
根据已有的拍振理论,以上两余弦函数频率之差影响拍现象的周期;两余弦函数振幅之比影响拍现象的显著程度,即拍振的最大值与最小值 [4] 。
考虑三种情形:
、
、
,两悬臂梁性质为:
、
、
,左梁发生一阶振型初位移时(端部初位移0.4 mm),计算两梁自由端位移时程,并与ANSYS软件数值模拟结果进行比较,结果如图7所示。因为
和
相差较小,可看成角频率
的振动,以
为调制振动振幅的频率。
由图7可以看出,两个悬臂梁的振动幅值起此彼伏,能量在两个梁之间转移。由于振动理论与ANSYS计算
和
时存在误差,而随着两梁距离的增大,
与
差值将减小,因此
的误差将时会放大,理论计算与ANSYS结果拍振周期误差将放大,如图7(c)所示。
3.2. 三梁–液体系统拍振现象
同样三悬臂梁–流体结构也会发生类似拍振现象,只是各梁位移函数模态叠加项较多,方程求解较复杂。基本求解思路与双悬臂梁–流体结构相同。
取三悬臂梁性质相同,计算参数为:
、
、
,液体长度
。经ANSYS软件计算,耦联结构第一阶的三个模态频率分别为:
、
、
。以左梁发生一阶振型初位移(端部初位移0.76 mm)为初始条件,三梁-液体体系拍振现象ANSYS数值模拟结果如图8所示。
由图8所示,在本文的计算条件下,左梁与右梁振幅起此彼伏,它们通过中梁及液体的耦合发生了明显的能量转移。
4. 结论
本文利用ANSYS有限元软件研究了多悬臂梁–液体耦合体系的模态相互作用及拍振现象,结论如下:
1) 由于流固耦合作用的存在,悬臂梁之间存在相互作用,这种相互作用影响了耦联结构的湿模态,且这种影响随着梁间液体宽度的增加而减弱。
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Figure 7. Beat vibration of double beam-fluid system
图7. 双梁–液体体系的拍振
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Figure 8. Beat vibration of triple beam-fluid system
图8. 三梁–液体体系的拍振
2) 多悬臂梁–流体耦联系统拍振现象是由梁间相互作用产生的模态频率差导致,由于不同模态对不同梁位移函数贡献不同,不同梁的拍现象频率及振幅一般不同。
基金项目
国家自然科学基金面上项目(51879191)资助。
NOTES
*通讯作者。