1. 引言及预备知识
最小公倍式是最小公倍数概念的延伸,是由多项式中的最大公因式推导得出。求最小公倍式是分式运算中通分的基础。在计算最小公倍式的过程中,为保证计算结果的准确性与快速性,不同的情景应当使用不同的计算方法,即对于具体问题,根据所给多项式的条件,选取恰当的方法。文中给出了三种计算最小公倍式的方法,分别为根据定义以及与最大公因式的联系求解、利用因式分解法求解、利用矩阵的初等变换求解。
为了叙述方便,对符号进行如下约定:
表示系数在数域P上的多项式;
表示为
,
的最小公倍式;
表示
,
的最大公因式;
表示
,
的首项系数为1的最小公倍式;
表示
,
的首项系数为1的最大公因式;
表示所有多项式元素的系数在数域P上的多项式矩阵。
首先给出相关的定义及引理。
定义1 设
,
是
中的任意两个多项式,若存在
满足:
1)
;
2)
,
;
3),
的任一个公倍式
,都有
,
则称
为
,
的最小公倍式 [1] 。
定义2 设
,
是
中的任意两个多项式,
中多项式
称为
,
的最大公因式,若它满足下面的两个条件:
1)
是
,
的公因式;
2)
,
的公因式都是
的因式。
引理1:数域P上若多项式
次数大于等于1,则
可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积,唯一性则是指,若存在两个分解式
,
则必有
,且适当排列因式的次序后得
,
其中
为非零常数 [2] 。
引理2:对一个
矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的
初等矩阵。
引理3:n级可逆矩阵A是可逆矩阵的充要条件是A能表示成一些初等矩阵的乘积
.
2. 主要结果
下面给出计算多项式的最小公倍式三种方法。
2.1. 根据定义以及最小公倍式与最大公因式的联系求解
定理1 设
,
是
中的任意两个多项式,设
,m为
的首项系数,则
.
证明 因为
,
所以
,
.
易知存在
,
属于
,可以使得
,
,
.
设
为
,
的任一个最小公倍式,则
,
,
即
,
,
所以可得
,
即
.
最后可推出
.
又易知
是
,
的公倍式,除以m得到首项系数1的最小公倍式所以由定义得证。
注:所以本方法中求最小公倍式先求出最大公因式,然后用
,
的乘积除以最大公因式即可。
2.2. 利用因式分解法求解
定理2 设
,
是
中的两个多项式,由引理2,
,
都可以唯一分解成数域P上一些不可约多项式的乘积
,
,
其中
,
是数域P上首项系数为1的不可约多项式(
,
),
为非负整数,
。
1) 若对任意的
,不存在
,即
,则有
;
2) 对任意的
,若存在
,则令
,并取
为
的次数,则有
.
证明 对于第一种情况结论显然。下述证明第二种情况:还是利用第一种方法,易知,只需证明下列式子即可
,
即
,
的最大公因式为它们的全体相同重因式取较低次幂的乘积,取
,
可以很清楚的知道 ①
; ②
,
的任意其他公因式都是
的因式;所以由最大公因式的定义可得,得证。
注:很多情况下,多项式进行因式分解很复杂繁琐,分解不易,因此使用此方法有一定的局限性。
2.3. 利用矩阵的初等变换求解
定理3 设
,
是
中的任意两个非零多项式,令矩阵
,
则A可经过一系列的初等变换得到R,使得
,
其中
为最大公因式,
即为所求的最小公倍式 [3] 。
证明 由引理2和引理3可知,对多项式矩阵进行一次初等变换等同于左乘一个多项式矩阵,那么有限次的初等变换也可表现为左乘一个可逆矩阵,则证明上述方法只需证存在一个可逆矩阵
,使得
即可。
易知存在
,使得
,
取
,
其中令
,
,m为
的首项系数,则
.
根据方法1的公式可得
,
下证多项式矩阵B可逆
因此多项式矩阵B可逆,所以上述得证。
3. 举例验证
例1 设
,
,用三种方法求
。
方法1 运用辗转相除法得最大公因式
,那么
.
方法2
,
,
所以
.
方法3 设
,
则对A进行一系列的初等变换如下
4. 结论
综上所述,用以上三种方法都可以有效求解多项式的最小公倍式,当然三种方法中第二种方法有着一定的局限性,所以要慎用。